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Donc ( en renversant ) BD. DC::m.n. Ce qu'il falloit
faire du démontrer.

LEM ME XI V.
Deux points A,B, étant donnez à volonté , mener du pre-

FIG. 34 mier A deux lignes AD, AC, de grandeurs données P, 2. & du second B, une ligne BC , laquelle soit divisée en D, C, par ces deux-, en raison donnée de m à n : c'est-à-dire , en sorte qu’on ait ici tout à la fois AD=P, AC=2.0 BD. DC:: m.n.

SOLUTION. Soit menée AB

par les deux points donnez A, B, & sur elle prolongée du côté de B", soit prise AE. AB::n.m. Des centres A, E, & des rayons AF="#"xP, EF=Q, soient décrits deux arcs de cercles qui se coupent en F; ensuite après avoir mené AC, FC, paralleles à EF, EA, & qui se coupent en C, soit menée BC, que la droite AF coupe en C. Cela fait, je dis que AC=, AD=P, & que BD. DC:: m.n.ainsi qu'il est ici requis.

DEMONSTRATION. Car le parallelogramme AEFC résultant de cette construction, rendant AC=EF ( Hyp.)=Q, CF=AE, & les triangles ADB, FDC, semblables entr'eux ,

donne premierement AC=Q ; secondement , FD. AD :: FC. AB :: AE. AB (constr.):: n.m. D'où résulte ( en composant ) m=+n. m:: AF( "##rxP). AD=P. Troisiémement enfin BD. DC:: AB. FC:: AB. AE (constr.):: M. n. Donc cette même construction donnera ici tout à la fois AC=Q, AD=P, & BD. DC::m.n. Ce qu'il falloit

ز

montrer.

LEM ME XV. Soit une ligne droite xo mobile autour d'un de ses points F 10.353 Bfixe, qui la divise en deux branches ou parties BX,BO, telles 364

L

qu'on voudra : imaginons-la se mouvoir de Xo en autour de ce point fixe B. Par un autre point quelconque A soient menées des points X,X, 0,w, les quatre droites XA 2XA, 0A,wA, sur lesquelles du point B tombent autant de perpendiculaires BD, Bd, BP, Bp. Je dis que la branche qui se sera ainsi approchée du point A en Bx , pendant que l'autre BO (moindre , plus grande , ou égale à elle ; il n'importe ) s'en sera éloignée en Baw, donnera toujours BP.BD > Bp. Bd. c'està-dire BP à BD en plus grande raison que Bp à Bd.

DEMONSTRATION

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Après avoir pris Xb, xß, chacune égale à BO ou à Bw, fur OX, wx, soient menées bm, fu, perpendiculaires sur AX, Ax, prolongées s'il en est besoin. Cela fait,

1°. En prenant Bw ou son égale Rx pour le sinus total, l'on aura (.Déf. 9. Corol. 1.) Ru à Bp comme le linus de l'angle Bxj est au sinus de l'angle Bop, ou ( Déf

. 9.Corol. 1. ) comme le sinus de l'angle BxÅ est au finus de l'ange BwA;& confequemment aussi ( Lem. 8. Corol. 2.) comme Awest à Ax, c'est-à-dire, Ru. Bp:: Aw. Ax. Mais les triangles ( constr.) semblables Bxd, 3xxy donnant Bd. Bu :: BX. Bx ( constr.) :: BX. BO. Donc ( en multipliant par ordre ) Bd. Bp :: BXxAw. BOxAx.

2°. En prenant encore BO ou son égale bX pour le finus total, l'on aura de même ( Déf. 9. Corol. 1.) BP à bm comme le finus de l'angle BOP elt au sinus de l'angle bXm; & confequemment aufli ( Lem. 8. Corol. 2. ) comme AX est à AO ; c'est-à-dire, BP.bm:: AX. AO. Mais les. triangles ( constr.) semblables bmX, BDX, donnent bm. BD::6X.BX ( constr.) :: BO. BX. Donc (en multipliant par ordre ) BP.BD:: BOXAX.BXXAO.

Ces nomb. 1. 2. donnant ainsi Bd. Bp:: BXxAw.BOXAx. Et BP.BD:: BOXAX. BXxAO. l'on aura ( en multipliant parordre ) BPxBd. BDxBp::BOxAXxBXxAw. BXxAOX BOxAx:: AXxAw. AOXAx. Mais la construction donnant AX> Ax,& Aw> A0, donne pareillement AXX

A > AOxAx. Donc aussi BPxPd> BDxBp; & par consequent BP. BD > Bp. Bd. Ce qu'il falloit démontrer.

AUTRE DEMONSTRATION. Soit menée la droite BA, & pour abreger nos expressions , soit Sla caracteristique des sinus , en sorte que (BAO, SBAX, &c. signifient les sinus des angles BAO, BAX, &c. Cela posé, le Corol. 2. du Lem. 8. donnera BO. AO:: /BAO. SABO. Le même Corol. 2. du Lem. 8. donnera aussi AX. BX:: SABX. SBAX ( Déf. 9. Corol. 2.) :: SABO. SBAX. L'on aura de plus AO. AX:: AO.AX. Donc ( en multipliant ces trois analogies par ordre) l'on aura BO. BX:: ÅOxBAO. AXx/BAX. Par un semblable raisonnement on trouvera de même Bw. Bx :: Awx/BAW. Axx/BAx. Mais (Hyp.) BO. BX::BQ. Bx. Donc aussi AOX/BAO. AXxfBÁX:: Awx[BA.AxxBAx. Et consequemment AOXAxx (BAOX/BAZZAXXAwxfBAXX SBAw; d'où résulte AXxAw. AOxAx:: /BAOx/BAx. SBAXx/BAW. Mais la conitruction donnant AX> Ax, & Aw> AO , donne AXXAw> AOXAx. Donc aussi SBAOX/BAx>SBAXx/BAw. Or en prenant AB pour le sinus total, l'on aura (Déf. 9. Corol. 1.) BP-/BÃO, BD=SBAX, Bp=/BAW, & Bd=SBAx. Donc BPxBd> BDxBp. Par consequent BP.BD > Bp. Bd. Ce qu'il falloit encore démontrer.

TROIS I E'ME DEMONSTRATION. Toutes choses demeurant les mêmes , le Corol. 2. du Lem. 8. donnera,

1°. SBAw. SAwB::Bw. AB (constr.) :: BO. AB.
2°. SAwB. SAxB::Ax. Aw.
3. AxB.BAx:: AB. Bx ( com/tr. ):: AB. BX.

Donc ( en multipliant par ordre) SBA». SBAx:: BOX Ax. AwxBX. Ou SBAx. /BAw:: AwxBX.BOXAx. On trouvera de même /BAO./BAX:: BOXAX. AQxBX. (Donc en multipliant encore par ordre ) SBAOX/BAx. SBAXx BAw:: BOXAXXAwxBX. AOxBXxBOXAx::

AXXAw. AOxAx , c'est-à-dire , AXxAv. AOxAx ::
SBAOX/BAX. /BAXX/BAw.comme dans la précedente
Démonstration 2. Ce qui donnera ici comme là BP. BD>
Bp. Bd. Ce qu'il falloit encore démontrer.

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je dis,

38.39.

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Si sur les deux côtez contigus AB, AC, d'un parallelo& suivantes gramme quelconque ABDC , '& sur la diagonale AD , qui jusqu'à 49. passe par

l'angle BAC ( que j'appelle capital ) compris entre ces deux côtez AB, AC, on fait autant de triangles ASB, ASC, ASD, d'un sommet commun S donné à volonté autre

que le point A , sur le plan de ce parallelogramme ABDC i F16.37

I. Que lorsque ce point s sera dans le complement ( à deux droits ) BAF ou CAF de l'angle capital BAC , comme dans les Fig. 37.38.39. Le triangle ASD construit sur la diagonale AD du parallelogramme proposé ABDC , sera toujours égal à la somme des deux autres triangles ASC, ASB, construits sur les côter AC, AB , de cet angle capital BAC, c'est-à-dire , qu'alors on aura toûjours ASD=ASC-+ASB.

I l. Que lorsque le point donné s sera: dans l'angle capital 141.42. 43. BAC, ou dans son oppofé E AF, comme on le voit dans les

Fig: 40.41.42.43. Le triangle ASD sera toûjours égal à la difference des deux autres ASC, ASB:, defquels le pluss petit aura pour base le côté qui avec la diagonale fait des angles opposez , dans l'un desquels le point s se trouve ,comme ici le triangle ASB , dont la bafe est le côté AB , qui avec la diagonale AD , forme les angles opposez DAB , KAE, dans un desquels ce point s se trouve i c'est-à-dire , qu'alors on aura par tout ici ASD=ASC-ASB.

III. Que lorsque le point s sera sur un des côter ( prolonou non)de l'angle capital B AC du parallelogramme ABDC, comme on le voit sur AB dans les Fig. 44. 45. 46. Le triangle ASD sera toûjours égal à celui qui aura pour bafe l'autre côté contigu AC de ce parallelogramme ; c'est-à-dire, qu'alors on aura toujours ici ASD=ASC.

f1644

45. 46.

& suivantes

IV. Que li enfin le point S est sur la diagonale AD (pro- F 16:47 longée ou non) comme dans les Fig. 47. 48. 49. l'on aura 48.490 toujours ASB=ASC.

DEMONSTRATION. Préparation pour tous les cas. Si du sommet commun S F 10.37. des trois triangles ASD, ASB, ASC, dont il est ici que- jusqu'à 491 stion, l'on mene SG perpendiculaire en G, H, aux côtez paralleles AC , BD, du parallelogramme A:BDC; l'on aura GS, GH, HS, pour les hauteurs des triangles ASC, BAD,BSD, au-dessus de leurs bases AC, BD, perpendiculaires ( constr. ) à ces hauteurs. Par consequent on aura leurs aires ASC=ACxGS , BAD={BDxGHE ACxGH , BSD=ACxHS ; ce qui donne,

Io. BADA+BSD= ACxGHT ACxHS= ACX GH+HS ( dans les Fig. 37. 3.9... 40.42. 44. 47-) — ACxGS=ASC.

2°. BAD-BSD= ACxGH-ACxHS=ACX GH-HS (dans les Fig. 3.8. 39.41.42.45.48.)= ACxGS=ASC.

3° BSD-BAD=ACxHS- ACxGH= ACx HS-GH ( dans les Fig. 43. 46. 49.) = ACxGSASC. Or,

PART. I. Les. Fig. 37. 39. donnent ASD=ASB + F16.372 BAD-+BSD, & les Fig. 3.8. 39. donnent ASD=ASB +BAD-BSD. Donc (prep. nomb. 1. 2. ) ce cas du point S dans le complement BAF de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 37. 38.39. donnera toûjours ASD=ASB-+ASC. Ce qu'il falloit 1o. démontrer.

PAR T... I I. Les Fig. 40.42. donnent ASD=BAD-+ F1 6:40 BSD-ASB,les Fig. 41.42. donnent ASD=BAD-BSD 41. 42 43 -ASB, & la Fig. 43. donne ASD=BSD-BAD-ASB. Donc ( prep. nomb. 1. 2. 3.) ce cas du point S dans un des angles opposez DAB , KAE, comme on le voit dans les

38 39

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