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Fig. 44. 45:46.

Fig. 40. 41. 42. 43. donnera toujours ASD=ASC-
AŠB. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

On trouveroit de même ASD=AS B-ASC, fi S étoit dans
un des angles opposez DAC, KAF.

PART.III. La Fig. 44. donne ASD=BAD-+BSD, la Fig. 45. donne ASD=BAD--BSD, & la Fig. 46. donne AŠD=BSD-BAD. Donc ( prep.nom. 1.2.3.) ce cas du point S sur le côté AB prolongé de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 44.45:46. donnera toûjours ASD=ASC. Ce qu'il falloit 3. démontrer.

On trouveroit de même ASD=ASB, si le point Sétoit

quelque part sur l'autre côté AC prolongé. .
1.6.47. PART. IV. La Fig. 47. donne ASB=BAD-7BSD ;
.480.49.

la Fig. 48. donne ASB=BAD-BSD, & la Fig. 49. don-
ne ASB=BSD-BAD. Donc (prep. nomb. 1. 2.3. ) ce cas
du point S placé quelque part sur la diagonale AD pro-
longée, comme on le voit dans les Fig. 47. 48. 49. don-
nera toujours ASB==ASC. Ce qu'il falloit 4o. démontrer.

COROLLAIRE I.
F1,6. 37. Si presentement du point S on mene SM , SN, per-
: jufqu'a 45. pendiculaires en M, N, sur AB, AD, prolongées ; s'il est

necessaire, comme SG est ( constr.) perpendiculaire en G
sur AC prolongée ; l'on aura les aires triangulaires ASD
=ADxSN, ASB=ABRSM , & ASC=ACxSG.Or,

1°. La Part. 1. donne ASD=ASB-+ASC dans les Fig. 28.39 37; 38. 39. qui ont le point S dans le complement BAF

de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours

ADxSN=ABxSM+ ACxSG , ou ADxSN=ABX
SM-+ACxSG.

On trouveroit la même chose, de la même maniere, fi
S étoit dans l'autre complement CAE de l'angle capital

BAC.
F1,0. 40. 2°. La Part. 2. donne ASD=ASC--ASB dans les Fig.
*10,42. 43. 40. 41. 42. 43. qui ont le point S dans un des angles

opposez DAB, KAE. Donc en ce cas on aura toûjours

& suivantes

F1 G 37.

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FADxSNSACxSGABxSM , ou ADxSN=ACxSG
-ABXSM.

On trouveroit de même ADxSN=ABxSM-ACxSG, fi le point S étoit dans un des angles opposez DAC, XAF.

3o. La Part. 3.donne ASD=ASC dans les Fig. 44. 45. F16.4 46. qui ont le point S sur le côté AB prolongé ou non, 450 466 de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toujours ADxSN=ACxSG, ou ADxSN=ACxSG.

4°. La Part. 4. donne ASB=ASC dans les Fig. 47.48. F16. 47. 49.qui ont le point S sur la diagonale AD prolongée ou non. Donc en ce cas on aura toujours - ABxSM= ACx SG,ou ABxSM=ACxSG.

48.49.

COROLLA IRE II.

Paisque ( Corol. 1. nomb. 3.) ADRSN=ACxSG dans le F16:44.8 cas du point S pris ou donné sur le côté AB prolongé fuivantes

jusqu'à 471 : ou non, de l'angle capital BAC, comme dans les Fig. 44.45-46. & que ( Corol. 1. nomb. 4: 1 ABxSM=ACX SG dans le cas de ce point S pris sur la diagonale AD prolongée ou non , du parallelogramme quelconque ABDC, menée par cet angle capital BAC, comme dans les Fig. 47.48.49. On voit que dans le premier de ces deux cas on aura toûjours SG.SN::AD. AC. Et dans le second, SG.SM:: AB. AC. D'où l'on voit en general que si d'un point S, pris ou donné à volonté sur un des côtez AB, AC,ou sur la diagonale AD ( qui passe par leur angle BAC) d'un parallelogramme quelconque ABDC, on mene deux perpendiculaires sur les deux autres de ces trois lignes prolongées ou non ; ces deux perpendiculaires seront toujours entr'elles en raison reciproque des deux côtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme proposé quelconque , sur lefquels ces deux perpendiculaires sont à angles droits.

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C'est ce qu'on a déja vû autrement démontré dans le
Corol. 10. du Lemme 8.

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FIG: 392

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42.

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SCHOL I E. Ce n'a été que pour démontrer par la même méthode 42.& fui tous les cas du present Lem. 16. qu'on a employé dans

jurqu'à 49.

tous la perpendiculaire SG au côté AC de l'angle capital
BAC ; car on peut aisémnement s’en passer dans les cas
des Fig. 39.42. 44. 45. 46. 47. 48.49. & même la
démonstration en fera plus simple que par cette voye ge-

nerale. En effet, FIG:39:

1°. Dans les Fig. 3 9. 42. les triangles ASC, BAD, de bases égales AC, BD, & compris entre ces mêmes paralleles , étant ainsi égaux entr'eux, l'on aura tout d'un coup ASD=ASB-+BAD=ASB-+ASC dans la Fig. 39. & ASD=BAD-ASB=ASC-ASB dans la Fig. 42. le tout conformément à ce qu'on a trouvé de l'autre maniere pour ces deux Fig. 39.42. dans les démonstrations des Part. I. 2.

2°. Dans les Fig. 44.45:46. les triangles ASD, ASC, étant sur mêmes bases As, & entre mêmes paralleles AS,CD ;'on voit encore plus promptement que ces deux triangles sont égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé dans la démonstration de la Part. 3.

30. Dans les Fig: 47.48.49. les triangles égaux ABD, ACD, ayant des hauteurs égales sur leur base commune AD, & ces hauteurs étant aussi celles des triangles ABS, ACS, sur leur base commune AS : ces deux derniers triangles seront aussi égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé pour ces trois Fig. 47.48.49. dans la démonstration de la Part. 4.

L E M M E X Y Í I. F46.90.51

Si plus de deux puissances B, C, D, E, F, G, &c. sont appliquées à autant de cordons attacher ensemble par un seul e même næud commun A, que rien autre chose ne retient, l'équilibre est imposible entre ces puissances ( quelles qu'elles

Joient,

45.46.

1.6. 47 48. 49.

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foient, da quel qu'en soit le nombre.) lorsqu'elles.. Sont dirigées de maniere qu’un plan RS puisse passer par.ce nænd commun A de leurs cordons, sans passer entielles ou entr'eux , ou sans qu'elles soient toutes dans ce plan, c'est-à-dire , sans diviser aucun des angles que ces cordons font entr'eux, & fans qu'ils soient tous dans ce même plan.

DEMONSTRATION. Il est visible qu’un plan RP, qui rencontreroit ainsi en 11e.sos A tous les cordons des puissances supposées auroit toutes ces puissances tirantes d'un seul côté par rapport à lui, comme dans la Fig. so. ou quelques-unes tirantes vers ce seul côté-là, pendant que toutes les autres tireroient suivant ce plan comme dans la Fig. S1. Donc de quelque maniere que l'on combine toutes ces puissances, il ne ré sultera du concours de toutes qu’une impression totale vers le côté o.1 il y aura des puissances hors le plan supposé. Donc il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre

toutes ces puissances, ausquelles rien d'ailleurs ( Hyp.) ne s'oppose. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I. Donc quelques soient les directions de plus de deux cordons ( en quelque nombre qu'ils soient) attachez ensemble par un seul & même næud, & quelques puissances qu'on leur applique , une à chacun, l'équilibre sera impossible entre ces puissances.

i'. Dans le cas de tous les cordons en même plan, fi le prolongement de quelqu'un d'eux ne divise pas quelqu'un des angles que les autres cordons font entr'eux; puisqu'un autre plan que le leur, mené suivant ce cordon-là, les rencontreroit alors tous en leur noud

commun sans paller entr'eux, & sans qu'ils fussent cous dans ce plan.

2°. Dans le cas des mêmes cordons en plans differens, -fi quelqu'un de ces plans prolongé ne passe pas à travers des cordons des autres plans; puisque celui-là sera

M

lui-même un plan qui rencontrera tous ces cordons en leur næud commun fans passer entr'eux.

COROLL AIRE I I. Il Cuit encore de ce Lemme-ci, que quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils soient encore ) attachez ensemble par un seul & même noud , qui soit regardé comme le centre d'un cercle, ou d'une sphere; que si ces cordons ne font

pas répandus en plus d'une demi-sphere , lorsqu'ils sont en plans differens, & en plus d'un demi-cercle, s'ils sont en même plan ; quelques puissances qu'on leur applique , une à chacun, elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles suivant ces directions ; puisqu'on pourra faire passer un plan par le næud commun'; sans qu'il passe entre ces cordons, & sans qu'ils soient tous dans ce plan.

LEM ME X VIII.

I. Lorsque tous les cordons issus d'un même nænd, font dirigez suivant un méme plan', & répandus en plus d'una demi-cercle , il n'y en a aucun qui prolongé par de-ce nænd commun, ne palle entre les autres cordons, c'est-à-dire , à travers quelqu'un de leurs angles.

DEMONSTRATION.

Car s'il n'y passoit pas, il seroit le diametre terminant d'un demi-cercle, dans lequel seul lui & les autres cordons seroient alors tous répandus ; ce qui est contre l'hypothefe. Donc, &c.

II. Dans la méme hypothese de tous les cordons dirigez suivant un méme plan , & répandus en plus d'un demi-cercle i quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine sur ce plan

par le næud commun, sans passer par aucun d'eux ; elle passera toú jours de part & d'autre du næud à travers deux des angles que ces cordons font entr'eux.

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