A

1

Fro. 44. 45:46.

F1.6.47. 480.49.

F 16. 37.
& suivantes

Fig. 40. 41. 42. 43. donnera toujours ASD ASC-
ASB. Ce qu'il falloit 2o. démontrer.

On trouveroit de même ASD=ASB-ASC, si s étoit dans un des angles oppofez DAC, KAF.

PART. III. La Fig. 44. donne ASD=BAD+BSD, la Fig. 45. donne ASD=BAD-BSD, & la Fig. 46. donne ASD=BSD-BAD. Donc (prep.nom. 1.2.3.) ce cas du point S sur le côté AB prolongé de l'angle capital BAС, comme on le voit dans les Fig. 44.45.46. donnera toûjours ASD=ASC. Ce qu'il falloit 3°. démontrer.

On trouveroit de même ASD=ASB, si le point S étoit quelque part sur l'autre côté AC prolongé.

PART. IV. La Fig. 47. donne ASB=BAD+BSD; la Fig. 4.8. donne ASB=BAD-BSD, & la Fig. 49. donne ASB-BSD-BAD. Donc (prep.nomb.1.2.3.) ce cas du point S placé quelque part sur la diagonale AD prolongée, comme on le voit dans les Fig. 47.48.49. donnera toûjours ASB=ASC. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

COROLLAIRE I.

Si presentement du point S on mene SM, SN, perjusqu'a pendiculaires en M, N, fur AB, AD, prolongées, s'il est necessaire, comme SG est (constr.) perpendiculaire en G sur AC prolongée; l'on aura les aires triangulaires ASD =AD×SN, ASB=AB×SM, & ASC=AC×SG. Or,

FLG 37.

38.39.

F1, c. 40.

1o. La Part. 1. donne ASD ASB+ASC dans les Fig. 37.38.39. qui ont le point S dans le complement BAF de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours ADxSN=ABSM+ACxSG, ou ADxSN=ABx

SM+ACxSG.

On trouveroit la même chose, de la même maniere, fi S étoit dans l'autre complement CAE de l'angle capital BAC.

2°. La Part. 2. donne ASD ASC-ASB dans les Fig. 1. 42. 43. 40. 41. 42. 43. qui ont le point S dans un des angles opposez DAB, KAE. Donc en ce cas on aura toûjours ADxSN=ACxSG-ABxSM, ou ADxSN=ACxSG

-AB-SM.

On trouveroit de même ADxSN=ABSM-ACxSG, si le point S étoit dans un des angles opposez DAC, KAF.

3°. La Part. 3. donne ASD=ASC dans les Fig. 44. 45. F1644 46. qui ont le point S sur le côté AB prolongé ou non, 45.46. de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours

ADxSN=ACxSG, ou ADxSN=ACxSG.

4°. La Part. 4. donne ASB=ASC dans les Fig. 47-48. FIG. 47. 49. qui ont le point S sur la diagonale AD prolongéeou 48.49. non. Donc en ce cas on aura toujours + AB×SM=ACx SG, ou ABxSM=ACxSG..

COROLLAIRE II.

Puisque (Corol. 1. nomb. 3.) ADxSN=ACxSG dans le FIG. 4478 cas du point S pris OL donné fur le côtér AB prolongé fuigante ou non, de l'angle capital BAC, comme dans les Fig. 44.45-46. & que (Corol. 1. nomb. 4.) ABxSM=ACx SG dans le cas de ce point S pris sur la diagonale AD prolongée ou non, du parallelogramme quelconque ABDC, menée par cet angle capital BAC, comme dans les Fig. 47.48.49. On voit que dans le premier de ces deux cas on aura toûjours SG. SN:: AD. AC. Et dans le second, SG. SM:: AB. AC. D'où l'on voit en general que si d'un point S, pris ou donné à volonté sur un des côtez AB, AC, ou fur la diagonale AD (qui passe par leur angle BAC) d'un parallelogramme quelconque ABDC, on mene deux perpendiculaires fur les deux autres de ces trois lignes prolongées ou non ; ces deux perpendiculaires feront toujours entr'elles en raison reciproque des deux côtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme proposé quelconque, sur lefquels ces deux perpendiculaires sont à angles droits.

FIG.39.

vantes jufqu'à 49.

C'est ce qu'on a déja vû autrement démontré dans le
Corol. 10. du Lemme 8.

SCHOLIE.

Ce n'a été que pour démontrer par la même méthode 42. & fui- tous les cas du present Lem. 16. qu'on a employé dans tous la perpendiculaire SG au côté AC de l'angle capital BAC; car on peut aisémement s'en passer dans les cas des Fig. 39.42. 44. 45. 46. 47. 48. 49. & même la démonstration en sera plus simple que par cette voye generale. En effet,

1°. Dans les Fig. 39. 42. les triangles ASC, BAD, de bases égales AC, BD, & compris entre ces mêmes paralleles, étant ainsi égaux entr'eux, l'on aura tout d'un coup ASD ASB+BAD ASB+ASC dans la Fig. 39. & ASD=BAD-ASB=ASC-ASB dans la Fig. 42. le tout conformément à ce qu'on a trouvé de l'autre maniere pour ces deux Fig. 39.42. dans les démonstrations des Part. 1. 2.

2o. Dans les Fig. 44.45.46. les triangles ASD, ASC, étant sur mêmes bases AS, & entre mêmes paralleles AS, CD;'on voit encore plus promptement que ces deux triangles font égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé dans la démonstration de la Part. 3.

3°. Dans les Fig. 47.48.49. les triangles égaux ABD, ACD, ayant des hauteurs égales fur leur base commune AD, & ces hauteurs étant aussi celles des triangles ABS, ACS, fur leur base commune AS: ces deux derniers triangles feront aussi égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé pour ces trois Fig. 47.48.49. dans la démonstration de la Part. 4.

LEMME XVII.

Si plus de deux puissances B, C, D, E, F, G, &c. font appliquées à autant de cordons attachez ensemble par un seul & même nœud commun A, que rien autre chose ne retient, L'équilibre est impoffible entre ces puissances (quelles qu'elles

Joient

2

Toient, & quel qu'en soit le nombre) lorsqu'elles font dirigées de maniere qu'un plan RS puisse passer par ce nœud commun A de leurs cordons, fans passer entr'elles ou entr'eux, ou fans qu'elles foient toutes dans ce plan, c'est-à-dire, fans diviser aucun des angles que ces cordons font entreux, & fans qu'ils Soient tous dans ce même plan.

DEMONSTRATION.

1.

1G.

Il est visible qu'un plan RP, qui rencontreroit ainsi enis.so: A tous les cordons des puissances supposées auroit toutes ces puissances tirantes d'un seul côté par rapport à lui, comme dans la Fig. 50. ou quelques-unes tirantes vers ce seul côté-là, pendant que toutes les autres tireroient fuivant ce plan comme dans la Fig. 51. Donc de quelque maniere que l'on combine toutes ces puissances, il ne ré sultera du concours de toutes qu'une impression totale vers le côté on il y aura des puissances hors le plan suppofé. Donc il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre toutes ces puissances, ausquelles rien d'ailleurs (Hyp.) ne s'oppofe. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient) attachez ensemble par un feul & même nœud, & quelques puissances qu'on leur applique, une à chacun, l'équilibre fera impossible entre ces puissances.

I

1o. Dans le cas de tous les cordons en même plan, si le prolongement de quelqu'un d'eux ne divise pas quelqu'un des angles que les autres cordons font entr'eux ; puisqu'un autre plan que le leur, mené suivant ce -cordon-là, les rencontreroit alors tous en leur nœud commun fans pafler entr'eux, & fans qu'ils fussent tous dans ce plan.

2o. Dans le cas des mêmes cordons en plans differens, quelqu'un de ces plans prolongé ne passe pas à travers des cordons des autres plans; puisque celui-là sera

M

lui-même un plan qui rencontrera tous ces cordons en leur nœud commun sans passer entr'eux.

COROLLAIRE II.

Il suit encore de ce Lemme-ci, que quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient encore) attachez ensemble par un seul & même nœud, qui soit regardé comme le centre d'un cercle, ou d'une sphere; que fi ces cordons ne font pas répandus en plus d'une demi-sphere, lorsqu'ils font en plans differens, & en plus d'un demi-cercle, s'ils font en même plan; quelques puissances qu'on leur applique, une à chacun, elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles suivant ces directions; puisqu'on pourra faire passfer un plan par le nœud commun, sans qu'il passe entre ces cordons, & fans qu'ils foient tous dans ce plan.

LEMME XVIII.

I. Lorsque tous les cordons issus d'un même nœud, sont dirigez suivant un méme plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, il n'y en a aucun qui prolongé par de-la ce nœud commun, ne passe entre les autres cordons, c'est-à-dire, à travers quelqu'un de leurs angles.

EMONSTRATION.

Car s'il n'y passoit pas, il feroit le diametre terminant d'un demi-cercle, dans lequel seul lui & les autres cordons seroient alors tous répandus; ce qui est contre l'hypothefe. Donc, &c.

II. Dans la méme hypothese de tous les cordons dirigez fuivantun même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine surce plan par le nœud commun, fans paffer par aucun d'eux ; elle paffcra toûjours de part & d'autre du nœud à travers deux des angles que ces cordons font entr'eux.