feront autant de fublimitez, & P, R, autant de puiffances fublimes dans les Fig. 52. 55. 56. mais dans la Fig. 54. il n'y aura que AE, & P, qui le foient: AF y fera une profondeur, & R une puiffance profonde. Dans la Fig. 53. il n'y aura non plus que AF de fublimitez, & R de puiffances fublimes ; & cela fans aucune profondeur, la direction de la puiffance P, qui y eft ( Hyp.) perpendiculaire à celle AX du poids K, y rendant AE nulle

ou zero.

THEOREME I

Fondamental de la presente Section II.

I. Lorsqu'un poids quelconque K de pefanteur dirigée fuivant KX, eft foûtenu feulement avec des cordes GP, HR, par deux puiffances P, R, en équilibre avec luis les directions KX, PG, RH, de ces poids & de ces deux puiffances feront toûjours en même plans toutes trois passeront par un méme point A, ou feront paralleles entr'elles, & de maniere direction XK prolongée du poids, paffera toûjours entre les

deux autres PC, RH.

que

la

من

II. Du concours des puiffances P, R, il refultera une force qui en ce cas d'équilibre fera toûjours égale au poids K, d'une direction en ligne droite avec celle KX de ce poids.

III. Si fur cette direction XK prolongée, que la démonftration de la part. 1. va faire voir paffer toûjours (en ce cas d équilibre) par A à travers l'angle PAR des cordes PG,RH, auffi prolongéess on prend dans cet angle (quel qu'il foit) depuis fon fommet Aune partie quelconque AD, fur laquelle comme diagonale, on faffe un parallelogramme ABDC, qui ait pour côtez des parties AB, AC, des directions des cordes PG, RH, ou des puiffances P, R, appliquées à ces cordes: le poids K fera toûjours à chacune de ces puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec lui, comme la diagonale AD de ce parallelogramme ABDC, fera à chacun de fes côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions.

IV. En ce méme cas d'équilibre, fi les puissances P, R, font entr'elles comme les parties quelconques AB, AC, de

que

de

leurs directions, ou (ce qui revient au même) fi du concours A de leurs directions on en prend des parties AB, AC, qui foient entr'elles comme ces deux puissances P, R, & ces deux côte AB, AC, on faffe un parallelogramme ABDC; fa diagonale AD fera toûjours en ligne droite avec la direEtion KX du poids K; & ce poids K fera encore alors à chacune de ces deux puissances P, R, comme cette diagonale AD du parallelogramme ABDC à chacun de fes côte AB, AC, correspondans fur leurs directions.

V. Reciproquement fi la direction KX du poids K, prolongée vers D, paffe le long du plan, par le concours A, & à travers l'angle PAR des cordes PG, HR, prolongées, aufquelles les puiffances P, R font appliquées & que ce poids foit à chacane de ces deux puiffances comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC, fait comme dans la part. 3. fera à chacun de fes côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions; ce poids K fera pour lors en équilibre avec ces deux puissances P, R.

VI. Reciproquement encore fi la direction KX du poids K fe trouve en ligne droite avec la diagonale AD du parallelogramme ABDC, fait comme dans la part. 4. & que ce poids foit à chacune des deux puiffances P, R, comme cette diago nale AD fera à chacun des côtez AB, AC, qui leur répon dent fur leurs directions dans ce parallelogramme ABDC; ce poids K fera pour lors en équilibre avec ces deux puissan

ces P, R.

DEMONSTRATION.

PART. I. Le Corol. 15. du Lem. 3. fait voir 3. fait voir que dans l'équilibre ici fuppofé, la direction KX du poids K doit toujours paffer le long du plan de celles PG,RH, des puiffances P, R , par leur point de concours A, à travers l'angle PAR qu'elles font entr'elles ; & les Corol. 2. 3. du Lem. 6. font voir que lorfque cet angle fera infiniment aigu par l'éloignement infini de fon fommet A, ces trois directions KX, PG, RH, feront paralleles entr'elles dans le même plan, & dans le même ordre qu'au

paravant. Donc en ce cas d'équilibre ces directions feront toutes trois en même plan, par un même point, ou paralleles entr'elles ; & celle KX du poids K fera toujours entre les deux autres PG, RH. Ce qu'il falloit 1°

démontrer.

PART. II. Le nomb. 1. du Corol. 1. du Lemme 3. fait voir que du concours des puiffances P, R, il doit refulter au point A, & confequemment auffi au corps K une force nouvelle fuivant quelque ligne AD qui paffe par A à travers l'angle PAR compris entre les directions de ces deux puiffances, fuivant laquelle ligne AD ce corps feroit tiré par le concours de ces deux puiffances, de même que fi au lieu de l'être par elles enfemble, il ne l'étoit en même fens fuivant cette ligne AD, que par une puiffance égale à la force refultante du concours de ces deux-là; & que ce corps ainfi tiré fe meuvroit effe&tivement (4x. 2.) fuivant cette ligne de A vers D, fi quelqu'autre force ou réfiftance ne s'y oppofuit. Donc n'y ayant ici (Hyp.) que la pefanteur de ce poids K qui s'y oppofe, non feulement cette direction AD de la force refultante du concours des deux puissances P, R, dans l'équilibre ici fuppofé, doit être ( Lem. 3. Corol. 2. nomb. 1.) en ligne droite avec la direction KX du poids K, ou de fa pefanteur; mais encore cette force doit (Lem, 3. Covol. 2. nomb. 3.) être égale à cette pefanteur; c'est-à-dire Lem. 3. Corol. 2.) être égale & directement oppofée à cette même pefanteur. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

PART. III. Puifque le poids K eft ( Hyp.) foutenu par de concours des puiflances P, R, &c. en équilibre avec elles, les nomb. 1. 2. 3. du Corol. 2. du Lem. 3. font voir que fa pefanteur doit être égale à la force refultante Lem. 3. Corol. 1. nomb, 1.) de leur concours d'action contre lui, & être dirigée fuivant la même ligne que cette force en fens directement contraire: de forte que la pefanteur de ce poids étant (part. 1.) dirigée fuivant DA,la force refultante du concours d'action des puifLances P, R, contre lui, fera aufli dirigée fuivant la mê

me

me diagonale AD du parallelogramme ABDC. Par confequent cette force ou impreffion refultante du concours de ces deux puiffances P, R, fera non feulement égale & directement oppofée à la pefanteur du poids K, mais encore (Lem. 3. Corol. 5.) elle fera à chacune de ces mêmes puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC est à chacun de ses côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions. Donc auffi le poids K ou fa pefanteur sera de même ici à chacune de ces deux puiffances P, R, comme cette diagonale AD eft à chacun des côtez AB, AC, qui leur répondent dans le parallelogramme ABDC. Ce qu'il falloit 3°. dé

montrer.

PART. IV. Puifque (Hyp.) P. R:: AB. AC. la dire ion de la force résultante du concours de ces deux puiffances P, R, doit être ( Lem. 3. Corel. 1. nomb. 1.. ) de A vers D fuivant la diagonale AD du parallelogramme ABDC. Or dans le cas d'équilibre ici fuppofé, cette direction doit être (part. 1.) en ligne droite avec celle KX du poids K. Donc en ce cas d'équilibre la diagonale AD doit être fur cette direction XK prolongée du côté de K; & confequemment (part. 3.) le poids K doit être ici à chacune des puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec lui, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur leurs directions. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

PART. V. Puifque (Hyp.) le poids K eft à chacune des puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC, prise fur la direction XK prolongée de ce poids, eft à chacun de fes côtez AB, AC, pris auffi fur les directions prolongées AP, AR, de ces deux puiffances, par le concours, & dans le plan defquelles directions paffe (Hyp.) celle du poids K'à travers leur angle PAR; l'on aura ici P. K:: AB. AD. Et K. R :: AD. AC Donc (en raison ordonnée) P.R:: AB. AC. Par confequent (Lem..3. Corol. 1. nomb. 1. 2.) les puiffances P, R, doivent tirer le poids K de A vers D fuviant AD direction

N

(Hyp.) prolongée KX de ce poids dans le plan de leurs cordes, & d'une force contraire à la fienne, laquelle force contraire foit à chacune de ces deux puiffances P, R, comme cette diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez AB, AC, qui leur répondent. Mais la force de ce poids ou fa pefanteur eft aufli (Hyp.) en cette même raifon à chacune de ces deux puiffances. Donc la pefanteur de ce poids K eft ici directement contraire & égale à la force refultante du concours d'action des puiffances P, R, contre lui. Par confequent (Ax. 3.&Corol. I.du princ. gener.) ce poids doit ici demeurer en équilibre avec les deux puiffances. Ce qu'il falloit 5°.dé

montrer.

Autrement. Si le poids K ne faifoit pas ainfi équilibre. avec les puiffances P, R, foit en fa place tel autre poids Z qu'on voudra, qui appliqué fuivant fa direction Ax contre les puiffances P, R, dirigées comme ci-deffus, faffe équilibre avec elles. La part. 3. fait voir que ce nouveau poids Z feroit alors à chacune de ces puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez correfpondans AB, AC, fur leurs directions, c'est-à-dire ( Hyp.) comme le poids K est à chacune de ces deux mêmes puiffances P,R; & par confequent que ce poids K feroit égal à l'autre Z fubfti tué en fa place fuivant fa direction. Donc (Ax. 2.) ce poids K feroit pareillement équilibre ici avec les deux mêmes puiflances P, R. Ce qu'il falloit encore 5o. dé

montrer..

PART. VI. Puifque les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, font ici (Hyp.) entr'eux comme les puiffances P, R, fur les directions defquelles ils fe trouvent, la force refultante du concours de ces deux puis. fances fera ici Lem. 3. Corol. 5. ) de A vers D fuivant AD, & à chacune d'elles comme la diagonale AD de ce parallelogramme BC, eft à chacun de fes côtez AB, AC,, correfpondans fur les directions de ces deux puiffances P, R, c'est-à-dire (Hyp.) comme le poids K eft à chacune