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1019449, dont on n'a pas pris la différence, le troifieme; & trouvez le quatrieme, ainsi qu'il fuit.

100000: 31439:: 1019449: 320504.

Ajoutez à ce quatrieme terme 320504, le nombre 914150, dont on a pris la différence avec son précédent, la somme 1234654, est ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an pendant 36 ans.

Pour entendre la raifon fur laquelle cette méthode eft fondée l'on doit faire attention que la différence 31439, eft ce qu'il faudroit prêter pour recevoir 100000 livres au bout de 16 ans, puifque le nombre 882711 livres fait recevoir 100000 livres par an pendant 15 ans, & que 914150 livres les fait recevoir pendant 16 ans : donc puifque la fomme 31439 est devenue 100000 livres au bout de 16 ans, y compris le capital, les intérêts, & les intérêts des intérêts ; au bout du même tems, le quatrieme terme 320504, fera devenu 1019449 livres, qui est alors fuffifant pour faire recevoir 100000 livres par an pendant 20 ans: mais au quatrieme terme 320504, on a ajouté le prêt 914150 qui fait recevoir 100000 livres par an pendant les 16 premieres années, tandis qu'on ne touche rien

fur le prêt ou portion 320504 livres, afin qu'il fe trouve alors fuffifant pour faire recevoir 100000 livres pendant les 20 autres années qui manquent jufqu'à 36 ans.

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Connoiffant un prêt p qu'on veut acquitter, capital & intérêt, dans un tems donné, & en autant de payemens égaux r, un à la fin de chaque année, trouver la valeur des payemens.

Nous avons vu au troisieme Problême que pour recevoir r à la fin de chaque année pendant un tems donné, l'on avoit p=

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=

ar

a+br

zaar+abr aa+rab+669

fi on

fi on

vouloit recevoir r deux fois; p 3a3r+zaabr+abbr

a3+3aab+3abb+b3 9

fi on vouloit recevoir r trois fois, &c. Là on connoiffoit la valeur des payemens égaux r & l'on cherchoit le prêt p qui devoit les procurer; ici on connoît le prêt p, & on demande la valeur des payemens égaux r. En inversant les formules précédentes, l'on aura r= _ap+bp payer en un feul payement; r= aap + 2 abp + b b p pour payer en deux payemens égaux; a 3 p + 3 a a b p + 3 a b b p + b 3 3 pour payer en trois paye

3 a3 + 3 a ab abb

p

a

zaa+ab

pour

mens égaux, &c. Décompofant une de ces va

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leurs, par exemple, la derniere, l'on a r=!

r = 1 x

a

a3 + za ab+3abb+b3

3aa+zab+bb

REGLE.

Ce qui montre que pour avoir la valeur des payemens, il faut élever le denier de l'intérêt a, & le denier de l'intérêt avec l'intérêt a+b, à autant de degrés qu'il doit y avoir de payemens; multiplier le prêt p par la puissance du denier de l'intérêt avec l'intérêt a+b, & divifer ce produit par celui qu'on fera en multipliant le denier de l'intérêt a par le quotient qu'on a en divifant par l'intérêt b la différence des puiffances de a & de a+b. Car on doit remarquer, comme ci-devant, que le dénominateur 3 aa+3 ab+bb de la derniere fraction, eft le quotient que donne la différence 3aab+3abb+b' des troifiemes puiffances de a & de a+b, en la divifant par b.

EXEMPLE.

Soit le denier de l'intérêt a=20, 20, l'intérêt b=1, le prêt p=100 liv. ; & l'on veut payer intérêt & capital en quatre payemens égaux.

Faites les quatriemes puiffances de a=20, & de a+b=21; vous aurez at=160000 & a+b* = 194481: multipliez cette derniere puiffance le prêt p=100, pour avoir le dividende

par

19448100; ôtez 160000 de 194481, pour avoir le refte 34481, qu'il faut diviser par l'intérêt, mais parce que b= 1 le reste 34481 est lui-même le quotient: multipliez-le par a=20; le produit 689620, est le diviseur par lequel divifant le produit ci-deffus 19448100, l'on aura pour quotient 28 liv. 4 f. o d. qui est la valeur de chacun des quatre payemens égaux.

C'eft par ce principe, qu'on a calculé la quatrieme Table; elle montre la valeur des payemens égaux felon le nombre qu'il doit y en avoir pour acquitter un prêt de 100 livres. Ainfi celui qui prête 100 livres, & qui veut en être payé capital & intérêt en cinq payemens égaux, doit recevoir 23 liv. 2 f. o d. à la fin de chaque année, si les intérêts sont comptés fur le pied du denier 20; s'il vouloit être payé en dix payemens égaux, les intérêts fur le pied du denier 16, il devroit recevoir à la fin de chaque année 13 liv. 15 f.o d. & ainfi des autres.

On trouve dans la Table tel nombre de payemens égaux qu'on veut, depuis 1 jufqu'à 50, d'année en année, après quoi ils ne font plus que de cinq en cinq ans jufqu'à 100 ans; ceux qui voudront les avoir d'année en année, il leur fera facile par le moyen des différences,

Les

Les perfonnes qui ont de la peine à faifir le vrai d'un principe, diront, fuivant l'exemple cideffus, que celui qui auroit prêté 100 livres, ne fe trouveroit que 12 livres 16 f. de bénéfice au bout des quatre ans, n'ayant reçu que quatre fois 28 liv. 4 f. & que 100 livres au bout de quatre ans, devroient avoir rapporté 20 livres. Mais qu'on faffe attention que le prêteur reçoit une partie de fon capital à la fin de la premiere année, & que le débiteur ne doit plus payer aucun intérêt pour cette partie pendant les trois autres années. Il en est de même des parties du capital que le prêteur reçoit à la fin de la feconde & de la troifieme année. Le détail fuivant le fera peut-être mieux entendre.

100 liv. of. od. Fonds qui travaille pendant la premiere année.

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586

4

2

6 19

26

17

I

28

Intérêts dûs à la fin de la premiere année.

Somme due à la fin de la premiere année.

Premier payement.

Refte ou fonds qui travaille pendant la feconde année.

Intérêts dûs à la fin de la feconde année.

Somme due à la fin de la feconde année.

Second payement.

Refte ou fonds qui travaille pendant la troifieme année.

Intérêts dûs à la fin de la troifieme année.

Somme due à la fin de la troisieme année.

Troifieme payement.

Refte ou fonds qui travaille pendant la quatrieme année.

Intérêts dûs à la fin de la quatrieme année.

Somme due à la fin de la quatrieme année, qui fait jufte ce qu'il faut pour le quatrieme payement.

Si on veut acquitter une autre fomme quel

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