prietés de tous les Diametres, des Tangentes, & des Afymptotes d'où dependent toutes les autres. C'est ce que je crois avoir executé d'une manière fort aifée, & entierement nouvelle ; puifque je ne me fuis point servi de lignes coupées harmoniquement, comme ont fait les Geometres Modernes après Mrs. Pafchal & Defcartes ; ce qui les a obligés d'avoir recours à un grand nombre de Lemmes, dont les démonftrations feules me paroissent auffi longues que celles de tout ce Livre.

FIG. 158.. 159.

F1.0..158.

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LIVRE SEPTIE' M E..

Des Lieux Geometriques.

DEFINITION I.

OIENT deux droites inconnuës & indéterminéesA PM, qui faffent entr'elles un angle APM donné ou pris à volonté ; & dont l'une AP que j'appellerai toûjours x, ait un commencement fixe au point A, & s'étende indéfiniment le long d'une ligne droite donnée de position; & l'autre PM que je nommerai y, en change continuellement, & foit toûjours parallele à elle même: c'est à dire que toutes les droites P M doivent être paralleles entr'elles. Soit de plus une équation qui ne renferme que ces deux inconnues x & y mêlées avec des con-nuës, & qui exprime la relation de chaque indéterminée AP(x) à fa correfpondante PM (y). La ligne droite: ou courbe qui paffe par les extremités de toutes les valeurs de y, c'est à dire, par tous les points M, eft appellée en général un Lieu Geometrique, & en particulier le Lieu de cette équation.

b x

a

Suppofons, par exemple, que l'équation y * doive exprimer toûjours la relation de AP (x) à PM (y) qui font entr'elles un angle donné ou pris à volonté AP M. Ayant pris fur la ligne AP la partie A B=a, & de B mené BEb parallele à PM & du même côté, la droite indéfinie AE fera nommée en général un Lieu Geometrique, & en particulier le Lieu de cette équation. Car ayant mené d'un de fes points quelconques M la droite M P parallele à BE, les triangles femblables ABE, APM, donneront toûjours cette proportion, AB (a). BE (b):: AP (x). PM (y)='*. Et partant la droite A E eft le lieu de tous

b x

les points M:

De même fi yyaa-xx exprime la relation de FIG. 159. AP à PM, & que l'angle AP M foit droit la circonference d'un cercle qui a pour rayon la droite A B ➡a prife fur la ligne AP, fera appellée en général un Lieu Geometrique, & en particulier le Lieu de cette équation. Car ayant mené d'un de fes points quelconques M, la perpendiculaire MP (y), on aura toûjours par la proprieté du cercle, P M (yy)- D P × PB ( a a—x x) en prenant BD pour le diametre de ce cercle. D'où l'on voit que fa circonference eft le lieu de tous les points M.

REMARQUE.

304. Si après avoir fuppofé que les PM tendent F1G. 158. vers un certain côté de la ligne AB, comme vers, 159. on suppose ensuite qu'elles tendent vers le côté oppofé, comme vers G ; il faut remarquer que leurs valeurs deviennent négatives de pofitives qu'elles étoient, & qu'ainfi on a pour lors P My. De même fi après avoir fuppofé que les points P tombent d'un certain côté par rapport au point A, comme du côté de B, on fuppofe enfuite qu'ils tombent du côté oppofé, comme vers D; les AP deviendront négatives de pofitives qu'elles étoient, & on aura par conféquent AP ——¤, Les pofitives de ces valeurs s'appellent auffi Valeurs vraies ; & les négatives, Valeurs fauffes. Or un lieu Geometrique doit pafler par les extremités de toutes les valeurs tant vraies que fauffes de l'inconnuë y, qui répondent aux valeurs tant vraies que fauffes de l'autre inconnuë. Si donc l'on mene la droite 2AG parallele à PM, un lieu Geometrique pourra fe trouver dans les quatre angles BAQ, BAG, GAD, DAQ, comme dans le fecond exemple (fig. 159.), ou feulement dans quelques-uns de ces angles comme dans le premier (fig. 158 ). Car fuppofé dans le fecond exemple, qu'on faffle d'abord AP⇒x, & P M=y, en prenant le point M fur le quart QB de la circonference ; fi enfuite le point M

eft pris fur le quart GB, on aura AP➡x,& PM ——y; · s'il eft pris fur DG, on aura A P——x, & PM ——y; & enfin s'il eft pris fur DQ, on aura AP-x, & P My ; & il viendra toûjours dans tous ces cas par la proprieté du cercle, la même équation yyaaxx ; parce que les quarrés de+y & dex font les mêmes dans tous. ces cas, fçavoir yy & xx. De même dans le premier exemple, fi en prenant d'abord le point M du côté de E fur AE, dans l'angle QAP, on fait AP = x, & P M =y; Ce point M pris enfuite fur EA prolongée du côte de A dans l'angle GA D, donnera A P——x,& PM=—Y; & à caufe des triangles femblables ABE, APM, on formera cette proportion A B (a). B E ( b ) :: A P \—x ). . P M (—y ) ——2≈ ; & partant y=2*, qui est la même équation que l'on trouve en fuppofant que le point M tombe dans l'angle B AQ.

bx

a.

b x

AVERTISSEMENT.

Lorsqu'il s'agira dans la fuite de conftruire le lieu d'une équation donnée, on fuppofera toûjours que AP (x) & PM (y) foient pofitives, c'eft à dire que tous les points M tombent dans le même angle B AQ Et on prendra pour le lieu de l'équation donnée la portion du lieu qui fera renfermée dans cet angle.

DEFINITION II.

Les anciens Geometres ont appellé Lieux plans, ceux, qui font des lignes droites, ou des cercles; Solides, ceux qui font des Paraboles, des Ellipfes, ou des Hyperboles. Mais les Modernes diftribuent les lieux Geometriques en differens degrés ils comprennent fous le premier tous ceux où les inconnuës x & y n'ont qu'une dimenfion dans leurs équations; fous le fecond, tous ceux où elles n'en ont que deux; fous le troifiéme, tous ceux où elles n'en ont que trois ; & ainfi de fuite. Où l'on

doit

doit obferver que les inconnuës x & y ne fe doivent point multiplier l'une l'autre dans le premier degré ; qu'elles ne doivent faire au plus ensemble qu'un produit de deux dimensions xy dans le fecond, un de trois xxy ou xyx dans le troisième, &c.

y

Les termes de l'équation d'un lieu, font regardés comme differens entr'eux lorfque l'une ou l'autre des inconnuës x &y, ou toutes les deux jointes ensemble s'y trouvent avec differentes dimenfions. Ainfi dans le premier degré fi l'on propose l'équation y+6=0, b, c, feront differens ; & de même dans le fecond, fi l'on propofuit yy+cy-fxx +gx+hx−bb+llo, les termes yy, 29, -2cy,. gx+hx,—bb+ll, feroient chacun differens.

les termes y,

fxx

bx

AVERTISSEMENT.

Je n'expliquerai ici en détail que les lieux du premier & du fecond degré ; ce que j'en dirai donnera beaucoup d'ouverture pour conftruire des lieux plus compofés dans les cas particuliers qui fe peuvent rencontrer : on en trouvera même quelques exemples dans la fuite. Mon def fein eft donc de donner dans ce Livre une méthode gérale pour conftruire les lieux du premier & du fecond degré, leurs équations étant données ; & de faire voir que le premier ne renferme que la ligne droite; & que le fecond ne renferme de même que la Parabole, l'Ellipfe & le Cercle, l'Hyperbole & les Hyperboles oppofées.