3 √ (a3 ± 6 ) = { a + √ ( ÷ aa ±1) 4 3a. Է 10 15a+ :) b 21a3) 1) &c. Soit propofé, par exemple, de trouver la racine cinquieme de 161900 avec 12 décimales. Je divife par 5 le logarithme de 161900 qui eft 5,2092468: j'ai 1,0418494 logarithme de 11,012 racine approchée ; je fais 11, 012 a : j'éleve 11, 012 à la cinquieme puiffance, & j'ai a' = 161931, 378732020728832, qui excede 161900 de 31 378732020728832. Je fais cet excès b,& j'ai a3—b=161900, donc par la formule √(a3 − b ) = } a+v (aa), j'ai en substituant les nombres, 1 (a3-b)=8,259+V(7,579009-31,37873202072882 13353,607537280 =8,259++V (7,5790090,002349831829315529035114)=8,259 (7,576659168170684470963886) 11,011571372039 racine cherchée. 8,259+2,752571372039 Le calcul pour trouver ces formules eft facile, & l'on peut en continuer la Table pour des puiffances élevées au-deffus de la feptieme, foit par induction, en obfervant la loi que ces formules fuivent, foit en les calculant exprès, felon l'exemple fuivant, qui l'a été pour la racine cinquieme. Soit ỷ (a3 + b ) —a+d, où d exprime une fraction, on a donc a' + b = a + 5a^d+10a3dd+ 10aad3 + 5ad++ds. Et parce que (159) les valeurs des fractions diminuent à proportion qu'on les élève à de plus hautes puiffances, on peut regarder comme très-petits, (& par conféquent négliger) les termes qui font multipliés par les puiffances de d qui paffent le quarré. On peut donc fuppofer a+b= a3+5a+d+10a3dd, ou b 5a+d+10a3dd. Divifant tout par 10a3, § ad—dd, donc (225) ona va ➡d : ajoutant de part & d'autre ja, on a ja+√(aa+11) =a+d = √(as + b). Formule générale pour élever un binome a ± bà une puissance quelconque, & pour en extraire une racine quelconque. 192. Cette formule eft (a+b)mam±mam-1b+ m.m- I.m Ι 777-772-1 am -2 b2± 2.3 1.2. 3.4 -565+ &c. 1.2. 3.4.5 Car fi on forme de fuite les puiffances fucceffivès du binome a ± b, on aura.... (ab)'= Ia2±1b2 (a+b)2 I a ·2 ± 2 a2 b2 + b2 (a+b)'=== 3 4+ 4 a 1 3 b2 + Ő a2 b2 ± 4 a2 b3 + I b← (a + b) 4 (a + b) s I as ± 5a4 b2 + 10a3 b2 ± 10a2 b3 +5a2 ba ± 1b5 ( a + b) 6 — 1 a° ±6a3b3+15a+b2±20a3ba+15a2b÷±6a*b3+1b°&C. Pour trouver une expreffion générale, il faut établir pour une puisfance quelconque la loi des expofants des termes fucceffifs, & celle des coefficients. La loi des expofants fe préfente facilement ce font les nombres naturels depuis i jufqu'à celui qui indique la puiffance, ceux de b vont en croiffant & ceux de a en décroiffant: de forte que l'expreffion générale de cette loi, fans avoir égard aux coefficients, eft la fuite infinie amamı b+ am2 b2 ± am—3 b3 + ain-4b4 ± &c. La Loi des coefficients, à commencer par celui du fecond terme, eft que chacun eft le produit du premier, des deux premiers, des trois premiers, des quatre premiers, &c. termes de la fuite des expofants de a, divifé par le produit du premier, des deux premiers, des trois premiers, des quatre premiers, &c. termes de la fuite des expofants de b. Par exemple, dans la fixieme puiffance les deux fuites des expofants font... 6,5 4, 3 " 5 I 2 3 4 6 6.5 6.5.4 6. 5. 4. 3 6. 5. 4. 3. 2 6.5. 4. 3. 2. I. Si donc on prend I I. 21. 2. 3′ 1. 2. 3. 4′1. 2. 3. 4. 5 1. 2. 3.4.5.6° en réduifant ces fractions aux expreffions les plus fimples, on trouvera 6, 15, 20, 15, 6, 1, & ce font les coefficients des termes confécutifs de la fixieme puiffance de a + b à commencer au fecond terme, coefficient du premier est toujours 1): d'où il fuit que l'expreffion générale de cette loi des coefficients eft la fuite 1, &c. Réuniffant ces deux fuites, on a la formule générale. Certa Cette fuite fert également pour un Polynome quelconque, comme pour p+q+rs; en faifant, par exemple, p+q+ra,&s=b. Elle fert aufli à extraire une racine quelconque, en mettant pour m la fraction qui fert d'expofant à cette racine. Enfin cette formule eft une fuite qui finit là où le coefficient est devenu m l'expofant de la puiffance dont il s'agit: ainfi pour la fixieme puiffance, elle finit au feptieme terme, où m — -6 entre dans le coefficient, & dans tous ceux des termes fuivants, lefquels font tous réduits à zero, à caufe de m 6=0. Calcul des incommensurables. Il y a peu d'équations où l'on ne rencontre des incommenfurables,' c'est-à-dire, des racines de puiffances imparfaites, fur lefquelles cependant il faut faire toutes les opérations qu'exigent les différentes regles de la folution des équations. Ce calcul fe peut faire en deux manieres, l'une qui s'appelle le Calcul des radicaux, en laiffant le figne radical aux termes dont on exprime les racines ; & l'autre qu'on nomme le calcul des puiffances par leurs expofants, en fubftituant des expofants négatifs & fractionnaires à la place des fignes radicaux. Calcul des puiffances par leurs expofants. 193. Lorsqu'on connoît la nature des expofants des puiffances, on ne trouve aucune difficulté dans leur calcul. Ainfi, pour les ajouter, il faut les joindre avec leurs fignes; pour les fouftraire, il faut changer les fignes des coefficiens (& non des expofants) de celle qu'on veut retrancher. Pour les multiplier, il faut ajouter leurs expofants, fi le multiplicateur & le multiplicande font des termes femblables, finon il faut les écrire à côté les uns des autres fans mettre de fignes entre deux. Pour les divifer, fi ce font des termes femblables, il faut fouftraire l'expofant du divifeur de celui du dividende; s'ils ne font pas femblables, il faut les mettre en fraction. Enfin, pour les élever à des puiffances quelconques, ou pour en extraire la racine quelconque, il faut multiplier leurs expofants par l'expofant entier ou fractionnaire, qui répond à la puissance ou à la 1acine en queftion. Par exemple, la fomme de a" & de am eft a"-+-am, leur différence est P n+ m leur quotient eft am, leur puiffance p eft ap, am: leur racine q, c'est-à-dire, leur puissance ૧ La fomme de an & de b-m eft a"-+bm, la différence eft a"-b—m ¿ tient est aR -m ou an bm par la même raison. ( Remarquez bien ces deux dernieres expreffions ). Leur puiffance m eft amn, b-mm, leur racine p n m est ab- ou bien P m bp Du calcul des Radicaux. 194. Pour abréger, nous mettrons ici des formules feulement, au lieu de regles exprimées en longs difcours; elles n'en feront que plus claires. En fe rendant ces formules familieres, on retiendra plus aifément la pratique du calcul, & alors ou les démonstrations dont nous n'avons indiqué que quelques-unes, fe préfenteront d'elles-mêmes à l'efprit, pour peu qu'on y faffe réflexion, ou bien en fubftituant des expofants aux Radicaux, on trouvera facilement que les opérations fur les Radicaux, reviennent à celles que l'on fait dans le calcul des puiffances par leurs expofants. Il faut remarquer d'abord que lorfque l'expreffion d'un incommenfurable eft telle, qu'elle puiffe être divifée fans refte par quelque quantité élevée à une puiffance indiquée par l'expofant de la racine, alors on peut réduire cette expreffion à une plus fimple, en écrivant cette quantité comme un coefficient de la racine, & en mettant feulement le quotient fous le figne radical. 3 Par exemple, l'expreffion Vaab eft telle, que le quarré de a peut divifer aab: je mets donca v bà la place de Vaab; l'expreffion V 432 est telle, que 432 peut être divifé fans refte par le cube de 3 qui eft 27, par le cube de 6 qui eft 216, & par le cube de 2 qui eft 8; car +2 -3 432 216 3 3 3 3 16, = 54; & 2: on peut donc réduire √ 432 à l'une de ces trois expreffions équivalentes 3 √ 16, 2 V 54, 6 V2. De même dans ✔ a ba ̧ la quantité a b+ peut être divifée par la quatrieme puiffance de ab, je puis donc mettre ab va à la place de V a bör 4 On trouvera de même que V b'd aag P dans un radical g 197. Pour réduire en entier la fraction qui eft sous le figne radical P V 9 198. Pour réduire à un même expofant les deux radicaux bu Quand il y en a plufieurs, on les réduit fucceffivement deux à deux. 199. Pour ajouter enfemble deux radicaux, on les écrit à la fuite l'un de l'autre avec leurs fignes. Mais s'ils étoient tels, qu'ayant un mêmè expofant, la quantité fous le figne fût auffi la même, par exemple, fi on n avoit à ajouter & V 200. Pour fouftraire deux radicaux, il faut changer le figne du coeffi cient de celui qu'on veut fouftraire; & s'ils ont le même expofant, & la même quantité fous le figne, alors on doit prendre la différence des Formule.... Car en ôtant le figne radical, cette formule b" d' |