metrique, que ce qui fe pouvoit faire par le moyen de la ligne droite & du Cercle feulement. Tout le refte étoit mechanique. M. Defcartes a fait voir que cette feverité étoit injuste, & que non feulement les autres Sections Coniques, mais une infinité d'autres Courbes qui meritoient d'être appellées Geometriques à auffi bon titre que le Cercle, devoient donner auffi des folutions Geometriques. Depuis lui, on a fixé plus précisément par la Geo. metrie des Infiniment petits l'idé des Courbes geometriques & des mechaniques, telle que nous l'avons rapportée dans l'Hiftoire de 1704. * Mais cela n'empêche pas que * p. 1192 les Courbes Geometriques n'ayent toûjours entre-elles differents degrés de fimplicité. Non feulement celles dont les Equations montent à un degré plus haut, font inconteftablement les moins fimples, mais dans un même degré elles peuvent l'être plus ou moins. Ainfi dans le fecond degré le Cercle eft plus fimple que les autres,aprés lui c'est la Parabole, & l'Hiperbole prise par rapport fes Afimptotes eft celle qui l'eft le moins. Dela il fuit que si un Problême indéterminé du second degré peut être refolu par deux ou plufieurs des quatre Courbes, il faut preferer la plus fimple. Cette plus grande fimplicité dans la folution fait une partie de ce qu'on ap. pelle fon elegance, le refte confifte à la tirer plus immédiatement de ce qui eft donné dans la Question, & à faire entrer une moindre quantité de principes étran gers & auxiliaires.

Ce que nous avons dit fur les Problêmes indéterminés du fecond degré étant bien conçû, on voit d'un coup d'œil à quoi fe reduisent en général les Problêmes dé terminés de ce même degré. Dabord puifqu'ils font dé terminés, ils n'ont qu'une inconnue, & par confequent ils ne peuvent jamais dépendre de l'Hiperbole entre fes Afimptotes. Ils n'ont qu'un quarré inconnu, & s'ils ont un fecond terme, il n'empêche pas que l'on n'ait toû jours par les grandeurs connues la valeur du rayon fur lequel il faudra décrire un Cercle, s'il en eft befoin. Enfin

puifqu'ils font déterminés, ils n'ont qu'un certain nombre de folutions, & puifqu'ils font du second degré, ils n'en peuvent avoir que deux réelles tout au plus, d'où il fuit qu'il ne peut y avoir dans la circonference du Cercle plus de deux points qui les refolvent, or ces deux points ne peuvent être déterminés que par l'interfection d'une ligne droite & de cette circonference. Je fuppofe toûjours que l'on n'employe que le Cercle, puifqu'il feroit vitieux d'employer une autre Courbe, quand même on le pourroit.

Lorfque ces Problêmes font impoffibles, ou, ce qui eft la même chofe, lorsque leurs deux folutions, ou les deux Racines de leur Equation, font imaginaires, on trouve que le Cercle tel que le demande leur construction, & la ligne droite tirée comme elle le demande auffi, ne peuvent fe couper.

Le Cercle n'est pas même toûjours neceffaire pour ces Problêmes, & quelquefois l'interfection de deux lignes droites fuffit. La raison en eft que l'on peut avoir deux Equations indéterminées du premier degré ou à la ligne droite, qui ayent chacune les deux mêmes inconnuës. Alors le Problême qui a conduit à ces deux Equations est déterminé de fa nature, parce qu'on peut toûjours, en chaffant par le moyen des deux Equations indéterminées l'une des deux inconnuës, le reduire à une feule. Il arrive quelquefois que par cette reduction, l'inconnuë qui refte feule monte au fecond degré & a un fecond terme, & par confequent le Problême eft en ce cas un Problême déterminé du second degré. Mais il y a deux manieres de le conftruire, ou par les deux Equations indéterminés, ou par la feule Equation déterminée. Si on le conftruit de la premiere maniere, il est visible que le lieu de chacune des deux Equations indéterminées n'é. tant qu'une ligne droite, & le Problême étant détermi né, les deux Equations ne peuvent avoir rien de commun qui fourniffe la folution, que l'interfection de leurs lieux, ou de leurs deux lignes droites. Si on conftruit le Pro

blême de la feconde maniere, on doit encore trouver la même interfection, puisque la nature du Problême n'a pas changé.

Comme le raisonnement que nous venons de faire ne dépend pas de ce que les deux Equations indéterminées qui en ont produit une déterminée, étoient du premier degré, & qu'il fubfifteroit de même à l'égard des autres dégrés, on peut établir ce principe général, que quand deux Equations indéterminées d'un degré quelconque. ont les deux mêmes inconnuës, & que l'Equation déterminée, à laquelle par confequent on peut toûjours les reduire, monte à un dégré fuperieur, le Problême qui eft alors neceffairement déterminé fe refout toûjours par l'interfection des lieux ou lignes qu'il auroit falu dé crire pour la résolution des deux Equations indétermi nées. Il ne faut les Problêmes peuvent oublier pas que être conftruits ou par les deux Equations indéterminées ou par la feule Equation déterminée.

fe

Il n'y a point d'Equation déterminée du quatrième degré qui n'ait pu être produite par deux Equations indéterminées du fecond, & par confequent tout Problême déterminé du quatrième degré fe refout par les interfections de deux d'entre les quatre Courbes qui naisfent du Cone.. Il est clair que deux Sections Coniques, le Cercle & la Parabole, par exemple, ne peuvent couper qu'en quatre points tout au plus, auffi une Equation déterminée du quatrième degré ne peut-elle avoir plus de quatre racines réelles, & fi elle en a d'imaginaires, il y aura un pareil nombre d'interfections qui manque. ront aux deux Sections Coniques, ce qui peut fervir à faire voir le merveilleux accord de l'Algebre & de la Geometrie.

Les Problêmes déterminés du troifiéme degré peuvent trés-facilement être élevés au quatrième. Il n'y a pour cela qu'à multiplier par leur inconnuë, qui eft unique, toute l'Equation égalée à zero. Ils fe refolvent donc alors par des interfections des Courbes du Cone. Et com

me la multiplication qu'on a faite n'a en rien changé leur nature, il s'enfuit que les Problêmes déterminés du troifiéme & du quatrième degré font précisément de la même efpece & du même ordre. Seulement on ne peut trouver pour les Problêmes du troifiéme degré que trois intersections de leurs Courbes tout au plus, parce que leurs Equations ne peuvent avoir plus de trois racines réelles. Puifqu'un Problême du quatrième degré peut n'avoir que trois folutions réelles, & même moins, un Problême du troifiéme degré peut monter au quatriéme, fans en recevoir aucun changement. Quoiqu'il femble être contre la fimplicité d'élever un Problême que l'on veut refoudre à un degré plus haut que celui qu'il avoit naturellement, il eft vifible que cette fimplicité qui n'eft qu'apparente est sacrifiée à une plus grande facilité de l'operation,

Il ne fera pas hors de propos d'observer ici, que quand une ligne foit droite foit courbe coupe une Courbe en deux points, fi l'on imagine que les deux points d'intersection se raprochent jufqu'à fe confondre enfemble, ils deviendront un point d'atouchement, & de là il suit qu'un point d'attouchement vaut deux points d'interfeetion, & doit être conté pour deux folutions d'un Problê. me. Auffi trouve t'on toûjours à de femblables points deux racines égales, & c'eft par là que M. Defcartes parvint à fa fameufe Methode des Tangentes.

Quoiqu'il foit indifferent, quant à la folution des Problêmes déterminés du troifiéme & du quatrième degré, de les conftruire ou par les deux Equations indeterminées, ou par la feule déterminée, M. Guifnée remarque qu'il faut le plus fouvent préferer la premiere forte de conftruction, parce que comme elle enferme deux inconnuës, elle donne en même temps & l'Abfciffe & l'Or. donnée correspondantes aux points qui refolvent le Problême, au lieu que par l'autre construction qui ne roule

que fur une inconnuë, on n'auroit que l'une de ces deux grandeurs, aprés quoi il faudroit encore chercher l'autre,

Il reste maintenant à parler des Problêmes indéterminés qui paffent le fecond degré. Tout Problême indéterminé, ou, ce qui eft la m me chole, ayant deux inconnuës, ne peut ne peut fe refoudre que par quelque Courbe, qui dans toute fon érenduë ou du moins dans une certaine partie de cette étenduë, reprefente par fes Abfciffes & par fes Ordonnées les deux inconnues du Probleme. Si, par exemple, on a dans une Equation une inconnuë dont le cube foit égal ou au quarré d'une ligne donnée multiplié par une autre inconnue, ou au quarré de cette feconde inconnue multiplié par une ligne donnée, c'est là un Problême indéterminé du troisieme degré, qui ne peut fe refoudre que par une Courbe qui dans le premier cas s'appelle premiere Parabole cubique ; & dans le fecond, feconde Parabole cubique. La Defcription de cette Parabole fera la construction du Problême. Il en est ainsi de tous les autres Problèmes plus élevés à l'infini, & des Courbes qui leur répondent.

La construction des Problêmes indéterminés qui paffent le fecond degré, n'est donc que l'art de décrire des Courbes differentes des quatre Sections Coniques. Cet art en géneral confifte à donner à l'une des deux inconnuës une valeur arbitraire,moyennant quoi la valeur de l'autre inconnue vient à être neceffairement déterminée, & par là on a un des points de la Courbe qu'on veut décrire. Une autre valeur arbitraire donnée encore à la même inconnue détermine une autre valeur pour la feconde inconnu, & c'eft là encore un autre point de la Courbe, que l'on a de cette maniere par points trouvés les uns aprés les autres, ou plûtôt, que l'on se contente de pouvoir trouver.

Par exemple, s'il est question de décrire la premiere Parabole cubique, on prendra pour l'inconnue qui recevra fucceffivement les valeurs arbitraires celle qui dans l'Equation monte au cube, & en même temps on tirera une ligne droite indefinie qui fera l'axe de la Courbe, & aura une origine fixe & déterminée d'où l'on contera les 1705.

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