bre des termes de la progreffion, ce produit est é gal à la fomme de tous les termes.

M. de la Hire propose un emethode generale pour les Quarrés impairs, & elle a quelque rapport avec la Theorie des Mouvements compofés, fi utile & fi féconde dans la Mechanique. Comme elle confifte à décomposer les mouvements, & à les refoudre en d'autres plus fimples, de même la methode de M. de la Hire confifte à refoudre en deux quarrés plus fimples & primitifs, le quarré qu'il veut construire. Mais il n'étoit pas fi aifé de découvrir ou d'imaginer ces deux quarrés primitifs dans le quarré composé ou parfait, qu'il l'est d'appercevoir dans un mouvement oblique un mouvement parallele, & un perpendiculaire.

S'il faut, par exemple remplir magiquement avec les 49 premiers nombres de la progreffion naturelle les 49 cellules d'un quarré qui a 7 de racine, M. de la Hire prend d'un côté les 7 premiers nombres depuis l'unité jufqu'à la racine 7, & de l'autre 7 & tous fes multiples jufqu'à 49 exclufivement, & comme il n'a par-là que 6 nombres il y joint o, ce qui fait cette progreffion Arithmetique de 7 termes, auffibien que la premiere, 0,7, 14,21,28,35,42.

Enfuite avec fa premiere progreffion repetée à la maniere de M. Poignard il remplit magiquement le quarré de 7 de racine. Pour cela il écrit d'abord dans les 7 cellules de la premiere bande horisontale les 7 nombres propofés, felon tel ordre que l'on veut, car cela eft abfolument indifferent, & il eft bon de remarquer ici que ces 7 nombres feuls peuvent être arrangés en 5040 manieres differentes dans une feule bande. L'arrangement qui leur fera donné dans la premiere bande horifontale, quel qu'il foit, eft le fondement de celui qu'ils auront dans toutes les autres. Pour la feconde bande horisontale, il faut mettre dans fa premiere cellule, ou le 3eme, ou le 4 , ou le seme, ou le Geme, qui fuit le premier de la premiere bande horisontale, & aprés cela écrire les 6 au

eme

tres de fuite. Pour la troifiéme bande horisontale, on observe à l'égard de la feconde, le même ordre qu'on a ob fervépour la feconde à l'égard de la premiere, & toûjours ainfi jufqu'à la fin. Par exemple, fi on a rangé les 7 nombres dans la premiere bande horisontale felon l'or. dre naturel, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. on peut commencer la feconconde bande horisontale par 3, ou par 4, ou párs, ou par 6, mais fi on l'a commencée par trois, la troifiéme doit commencer par 5, la quatrième par 7, la cinquié me par 2, la fixiéme par 4, la feptiéme par 6. Le com mencement des bandes qui fuivent la premiere, étant ainfi déterminé, nous avons déja dit que les autres nombres s'écrivoient tout de fuite dans chaque bande felon l'ordre qui a été arbitrairement choifi pour la premiere.

Par ce moyen, il est évident qu'aucun nombre ne se ra repeté deux fois dans une même bande, quelle qu'elle foit, & par confequent les 7 nombres 1. 2. 3. 4. 5. 6. étant toûjours dans chaque bande, ils ne pourront faire que la même fomme.

On voit déja dans l'exemple prefent que l'arrange ment des nombres dans la premiere bande ayant été choifi à volonté, on a pu continuer les autres bandes de 4 manieres differentes, & puifque la premiere bande a pu avoir 5040 arrangements differents, ce font 20160 manieres differentes dont le Quarré Magique de 7 nombres repetés peut être construit.

L'ordre des nombres dans la premiere bande étant déterminé, fi l'on prenoit pour recommencer la feconde le 24 ou le dernier, M. de la Hire a remarqué que dans un de ces cas une des bandes diagonales auroit toûjours le même nombre repeté, & que dans l'autre cas, ce feroit l'autre diagonale. Par confequent l'une ou l'autre diagonale feroit fauffe, à moins que le nombre repeté 7 fois ne fût 4, car 4 fois 7 eft égal à la fomme de 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. & en général dans tout quarré conftruit d'un nombre de termes impair en progreffion Arithmetique, une des diagonales feroit fauffe

par ces

deux constructions, à moins que le nombre toûjours repeté dans cette diagonale ne fût le terme du milieu de la progreffion. Or il n'eft nullement neceffaire de prendre des termes en progrefion Arithmetique, & on peut faire fuivant la regle de M. de la Hire un Quarré Magique de tels nombres qu'on voudra qui ne fuivent aucune pogreffion. Deplus, quand même on les prendra en progreffion Arithmetique, il y aura un trés-grand nombre de quarrés, où le terme toûjours repeté dans une des diagonales en vertu de la conftruction ne fera point le terme du milieu de la progreffion, car cela dépend de l'ordre qu'on aura donné aux nombres de la premiere bande. Il a donc falu excepter de la Methode générale les deux conftructions qui produifent la repetition continuelle d'un même terme dans l'une des deux diagonales, & marquer feulement le cas où cette repetition n'empêcheroit pas la diagonale d'être jufte. Ce cas ayant été abfolument exclus, quand nous avons trouvé que le quarré de 7 pouvoit avoir 20160 conftructions differentes, il eft clair qu'il doit en avoir davantage, & même beaucoup davantage.

Recommencer la feconde bande par tout autre nombre que le fecond ou le dernier de la premiere, ce n'est pas une regle générale. Elle eft bonne pour le quarré de 7, mais s'il s'agiffoit, par exemple, du quarré de 9,& qu'on prît pour le premier nombre de la feconde bande horifontale, le 4ême de la premiere, on verroit que ce même nombre commenceroit auffi la cinquiéme & la huitième bande, & par confequent feroit repeté 3 fois dans la premiere bande verticale, qui par là deviendroit fauffe hormis dans certains cas particuliers, que pareillement le premier & le feptiéme nombre feroient repetés 3 fʊis dans cette même bande, ce qui entraîneroit de femblables repetitions dans toutes les autres. Voici donc comment doit être conçue la Regle genérale. Il faut que le nombre que l'on choifit dans la premiere bande pour recommencer la feconde, ait un expofant de fon quantiéme

tel que diminué d'une unité il ne puiffe diviser la racine du quarré. Si, par exemple, dans le quarré de 7 on a pris pour recommencer la feconde bande, le 3eme nombre de la premiere, cette construction eft bonne, parce que l'exposant du quantiéme de ce nombre qui est 3, moins 1, c'est-à-dire 2, ne peut divifer 7. De même on peut prendre le 4eme nombre de la premiere bande, parce que 4 moins 1, ou 3 ne divife point 7. C'est la même raison pour le seme & 6eme nombre. Mais dans le quarré de 9, le 4 nombre de la premiere bande ne doit pas être pris, parce que 3 divife 9. La raison de cette regle fera évidente, pourveu que l'on obferve un moment, comment fe font ou ne fe font point les retours des mêmes nombres, en les prenant toûjours d'une même maniere dans une fuite quelconque donnée.

eme

Il fuit de là que moins la racine du quarré que l'on construit a de divifeurs, plus il y a à cet égard de manieres differentes de le conftruire, & que les nombres premiers, c'est-à-dire qui n'ont aucuns divifeurs, tels que 5, 7, 11, 13, &c. font ceux dont les quarrés doivent recevoir le plus de variations à proportion de leur grandeur. Les Quarrés conftruits fuivant la methode de M. de la Hire ont une proprieté particuliere, & que l'on n'avoit point encore exigée dans ce Problême. Les nombres qui compofent une bande quelconque parallele à une des deux diagonales, font rangés dans le même ordre que ceux de la diagonale à laquelle cette bande eft parallele, & comme une bande parallele à une diagonale eft neceffairement plus courte qu'elle, & a moins de cellules, fi on lui joint la parallele correspondante qui a le nombre de cellules qui lui manque pour en avoir autant que la diagonale, on trouvera que les nombres des deux paralleles mifes, pour ainfi dire, bout à bout, garderont entre eux le même ordre que ceux de la diagonale. A plus forte raifon ils feront la même fomme, ce qui fait que ces quarrés font encore magiques en ce fens là.

Au lieu que nous avons formé jufqu'ici les Quarrés

ar les bandes horisontales, on pourroit en former par par les verticales, & ce feroit la même chose.

Tout ceci ne regarde encore que le premier Quarré primitif, dont les nombres étoient dans l'exemple propo. fé, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. refte le second primitif, dont les nombres font o. 7. 14. 21. 28. 35. 42. M. de la Hire opere de la même façon fur ce fecond quarré, & il peut être conftruit felon fa methode en 20160 manieres differentes, auffibien que le premier, puifqu'il eft compofé du même nombre de termes. Sa construction étant faite, & par confequent toutes fes bandes compofant la même fomme, il est évident que fi l'on ajoûte l'un à l'autre les nombres de deux cellules correfpondantes dans les deux quarrés, c'est-à-dire les deux nombres de la premiere de chacun, les deux de la feconde, de la troifiéme &c. & qu'on les difpofe dans les 49 cellules correlpondantes d'un troifiéme Quarré, il fera encore magique, puifque fes bandes formées par l'Addition de fommes toûjours égales à fommes égales feront neceffairement égales entre elles. Il s'agit feulement de favoir fi par l'Addition des cellules correfpondantes des deux premiers Quarrés, toutes les cellules du troifiéme feront remplis de maniere que chacune contienne un des nombres de la progreffion depuis un jusqu'à 49 & un nombre different de celui de toutes les autres, ce qui eft la fin & le deffein de toute l'operation.

Sur cela, M. de la Hire démontre que fi dans la construction du fecond Quarré primitif, on a observé en recommençant la feconde bande un ordre par rapport à la premiére different de celui qu'on avoit observé dans la construction du premier quarré, fi, par exemple, on a recommencé la feconde bande du premier par le 3eme terme, & que l'on recommence la feconde bande du fecond quarré par le 4eme, chaque nombre du premier quarré fe combinera une fois par l'Addition, & une fois feulement, avec tous les nombres du fecond, & comme les nombres du premier font ici 1. 2, j. 4. 5. 6. 7. &