de l'ordre aprés 148191123155 4106|12|137

le premier, qui eft un de plus que le cinquiéme qu'on a pris, & au contraire dans l'autre bande diagonale ils font les quatrié

2315541061213714 81911 10612137 148 19 11 2 3 1 5 5 4 1481911 23 15 5 4 106 12137 231554 10 6 121; 7 14 81911 106121371 4 819 I 1 2 3 ISS4 1481911231554 10 6 1 21 37 23155410 6 1 21 3|7|14| 8 1 | 2 | 1

9

mes, qui eft un de moins. Et fi le nombre impair est aussi divisible par une des parties de 6 comme 3, la diagonale où les nombres font les fixièmes de l'ordre, aura des nombres repetés de cinq en cinq, qui eft le quotient du nombre 15 divifé par 3. Ce fera la même chose pour d'autres

nombres.

On pourra donc auffi prendre pour le premier nombre de la feconde bande horizontale, le premier après le premier de l'ordre, & par confequent tous les nombres en defcendant dans toutes les bandes verticales feront de fuite comme ceux de l'ordre, & comme ceux de la bande diagonale qui defcend de gauche à droite doivent être d'une unité plus avancés dans l'ordre, ils feront les feconds de l'ordre propofé. Mais ceux de la bande diagonale qui descend de droite à gauche, doivent être d'une unité moins avancés ; ils feront donc tous les mêmes, comauffi ceux de fes paralleles.

Il s'enfuit donc de-là que tous les nombres de cette bande diagonale étant les mêmes, elle ne fera pas jufte fi ce nombre étant multiplié par la racine n'est égal à la fom

me de tous les nombres de l'ordre, & il fera le moyen dans une progreffion arithmetique.

Dans cette difpofition toutes les bandes paralleles & correfpondantes à cette diagonale, auront auffi chacune partout un même nombre, c'eftpourquoy elles ne réüffiront pas.

Ce fera auffi la même chose fi l'on prend pour le premier de la feconde bande horizontale le dernier de l'ordre; car alors la bande diagonale qui defcend de gauche à droite aura tous les mêmes nombres, comme auffi fes paralleles.

COROLLAIRE I.

Pour les Propofitions précédentes.

On pourra connoître d'abord fi un ordre de nombres pourra réüffir dans une difpofition donnée & dans un Quarré donné, puifqu'on voit fuivant la nature du Quarré si le défaut sera dans les verticales ou dans les diagonales.

Mais on voit generalement que lorfque les racines des Quarrés font des nombres premiers, toutes les conftru. ctions peuvent être bonnes, en obfervant ce qui vient d'être dit pour les diagonales, qui ont partout le même nombre, foit qu'on prenne le premier aprés le premier de l'ordre, ou bien le dernier pour commencer la seconde bande horizontale.

COROLLAIRE II.

les

On peut encore former ces Quarrés par les bandes verticales au lieu des horizontales, comme on a fait cy devant, en y observant les mêmes regles des horizontales. Mais on remarquera que fi un Quarré a été fait par verticales & en descendant, il se trouvera difpofé comme s'il avoit été fait par les horizontales; mais alors la repetition de l'ordre fe trouve en fens contraire: par exemple, fi dans la feconde verticale on avoit pris le fecond nombre de l'ordre de la premiere en defcendant pour recom

mencer celle-cy dans un Quarré de 7 de racine, & le Quarré étant tout difpofé fuivant cette methode, il fe trouvera auffi difpofé comme s'il avoit été fait par les horizontales, en recommençant les bandes inferieures par le cinquièmes de l'ordre, à caufe que 5 eft le complément jufqu'à la racine de celui qui a fervi pour recommencer les verticales.

s

Enfin un Quarré fait par les verticales étant couché fur le côté, fera de même que s'il avoit été fait par les horizontales; mais par une repetition qui fera le complément jufqu'à la racine, de celle qui a fervi à le former.

Puifque la formation des Quarrés par les verticales eft la même que celle des horizontales, nous nous fervirons des horizontales dans la fuite.

COROLLAIRE III.

On peut faire en montant ce qu'on a fait en defcendant pour recommencer les bandes horizontales, enforte qu'une des bandes étant donnée avec la difpofition des fuivantes en descendant, on a auffi la difpofition des précedentes en remontant : car il n'y aura qu'à prendre pour le premier nombre des horizontales précedentes ou fuperieures, le quantiéme aprés le premier de la bande inferieure, qui eft le complément jusqu'à la racine du quantième qu'on prenoit pour recommencer les inferieures. Comme dans l'exemple de la premiere Propofition, fi l'on avoit donné la cinquiéme bande horizontale en defcendant 5, 3,9, 13, 8, 11, 10, & que pour la bande inferieure fuivante on eût pris le fecond 9 aprés le premier, ce qui donneroit pour cette bande 9, 13, 8, 11, 10, 5, 3, il faudroit prendre pour le premier de la bande fuperieure, le cinquiéme 11 aprés le premier, à caufe que s'eft complément de 2 à 7, & cette bande fera comme dans l'exemple 11, 10, 5, 3, 9, 13, 8, en confervant toûjours le même ordre propofé; & ainfi des autres de fuite foit en montant ou en defcendant.

Ces trois Propofitions précedentes ne font qu'une même Propofition, & comprennent la methode generale de

construction que je propofe icy. Je ne les ay feparées que pour faire voir les applications differentes de cette me. thode, & pour la rendre plus facile.

PROPOSITION IV.

On peut faire les mêmes constructions que dans les Propofitions précedentes avec des ordres mutilés, c'est à dire avec des ordres où il y ait moins de nombres qu'il n'y en a dans la racine, en fubftituant des zeros à la place des nombres qui manquent pour remplir l'ordre, où les cellules de la racine; comme auffi avec des ordres où il y aura des nombres repetés.

70662

On en peut voir un exemple dans ce Quarré de 5 de racine, lequel eft rempli 66270 par la premiere Propofition.

Les démonftrations feront les mêmes que celles des Propofitions précedentes.

27 066

066 7 62706

On peut encore combiner deux Quarrés de même ra cine, lefquels feront remplis féparément avec quel ordre on voudra, de quels nombres on voudra, en joignant les nombres ensemble de chaque cellule semblable & fembla blement pofée; & j'appelle ces deux Quarrés les Primitifs, par rapport à celui qui en eft formé, que j'appelle le Quar ré Parfait.

Soit les deux Quarrés Primitifs de 5 de racine chacun, & les nombres & l'ordre du premier. Soient 7, 8,

1. Primitif.

78453

45378

37845

4,5,3, lequel foit rempli 84537 fuivant la difpofition de la

premiere Propofition. Et

S37 8 4

2. Primitif. 5094

42509

914

5101914

1942510

les nombres avec l'ordre du fecond foit 5, 0, 9, 4, 2, lequel foit rempli par la feconde Propofition.

Maintenant fi l'on joint ensemble les nombres de chaque cellule correspondante semblable & semblablement

pofée

Parfait.

|1 2│| 8 |1 3| 9 | S 878717

316126 10

10 951211

pofée dans ces deux Quarrés, on fera le troifiéme Quarré qui fera jufte & parfait. Car puifque la fomme des nombres de toutes les bandes des deux premiers Quarrés eft partout la même, il fe fera auffi une même fomme par l'addition de ces mêmes bandes tant horizontales que verticales & diagonales avec leurs paralleles. Mais il arrive assez souvent dans ces fortes de nombres qu'il y en a plufieurs de repetés dans le même Quarré.

147 9134

Il faut remarquer que la difpofition des deux Quarrés Primitifs doit être differente, comme icy celle du premier a été faite par la premiere Propofition, & celle du fecond par la feconde: Car fi les deux Quarrés Primitifs avoient une même difpofition de leurs nombres dans la repetition de leurs bandes, les nombres qui feroient dans chaque bande y feroient repetés fuivant leur difpofition, & le Quarré ne laifferoit pas pour cela d'être jufte. Et fi on les difpofoit tous deux en prenant le premier & le dernier de l'ordre, il pourroit y avoir une des diagonales qui feroit fauffe, à moins qu'on n'y obfervât ce qui a été marqué dans la Propofition à l'égard des nombres repetés.

Il s'enfuit auffi qu'on peut affembler ou combiner plufieurs Quarrés, comme on en a fait deux dans cette Propofition, & que le Quarré qui en résultera fera parfait, puifque dans toutes les bandes ce ne fera qu'une addition de fommes égales.

PROPOSITION VI

Les nombres qui font en progreffion Arithmetique dans l'ordre des nombres, comme 3, 6, 9, 21, 15, 18, 12, ne font que des cas des Propofitions précedentes; mais on y peut faire quelques remarques particulieres.

Si l'on propofe l'ordre à volonté du Quarré de 7 de racine 3, 5, 2, 1, 4, 7, 6, & qu'on en forme le Quarré par la premiere Propofition, & qu'on prenne auffi l'ordre à volonté des racines de ce Quarré en même progression avec