REMARQUE I. Rien n'eft d'un fi grand ufage dans le calcul, que des Tables amples & exactes des quarrez & des cubes dans leur fuite naturelle depuis l'unité. In tenui labor, at tenuis non gloria. Plufieurs Auteurs en ont donné. Les plus amples que je connoiffe font celles de Job Ludolff pour les quarrez jufqu'à 100000, & celles de pour les cubes jufqu'à 12000. Mais ces Tables, & fur tout celles des cubes, ont un tres-grand défaut : c'eft qu'il faut s'en rapporter aveuglément à l'habileté du Calculateur & à l'exactitude de l'Imprimeur : Au lieu que par le moyen des differences pour les quarrez, & des differences de differences pour les cubes, on pourroit former des Tables qui porteroient avec elles leur preuve démonftrative. C'est ainfi que font conftruites les grandes Tables Trigonometriques de Pitifcus fur un rayon de 100000. 00000. 00000. & les logarithmiques de Briggius. Voici un modele de conftruction pour les Tables des quarrez & des cubes par la feule addition. On pourroit en conftruire de même pour les autres puiffances plus élevées; mais cela ne feroit prefque d'aucun ufage, & coûteroit trop de travail & de dépense. TABLE DES QUAR REZ Il eft auffi difficile, pour ne pas dire impoffible, de se les Tables fupputées à l'ordinaire: ce qui fait qu'on est toûjours dans l'incertitude quand on s'en fert. C'est un ouvrage à entreprendre fous les aufpices & par ordre de l'Augufte Protecteur des Arts & des Sciences. On sentira mieux l'efprit de la methode dans les exemples fuivans. Exemples de la formation des Quarrez & des Cubes d'une progreffion Arithmetique donnée, comme 3, 10, 17, 24, 31, &c. Raci Quarrez Diff. 1. ||Raci- Cubes & Diff. 1. Diff. 11. nes. & diff. 1. Dans les quarrez naturels les premieres differences,3, 5,7,9, &c. font fi fimples, qu'on n'a pas befoin de les trouver par l'addition continuelle de la feconde difference toûjours égale 2; & de même dans les cubes naturels les fecondes differences 12, 18, 24, 30, 36, &c, n'ont pas befoin d'être trouvées par l'addition continuelle de la troifiéme difference toûjours égale 6. Mais dans ces deux exemples on ne neglige rien, & tout eft formé regulierement par addition, excepté la fuite des racines, 3, 10, 17, 24, &c: & on devroit auffi la former par addition conti nuelle, fi la difference étoit beaucoup plus grande, comme 27, 66, 105, 144, &c. Il REMARQUE II y a long-tems qu'on fçait que la feconde difference des quarrez naturels eft 2, & la troifiéme difference des cubes eft 6: Mais perfonne, que je fçache, n'a trouvé ni démontré tout le reste depuis le Theoreme II. Ce qui fuit eft entierement neuf. Soit l'équation quelconque du fecond degré, Je dis que fi l'on donne à x la fuite des valeurs d'une progreffion Arithmetique quelconque, comme d. de. dze. d + 3e. &c. les fecondes differences des derniers termes ou homogenes de comparaison reprefentez par c, feront toutes égales à zaee, c'est à dire au double du quarré de la difference des termes e multiplié par le coëfficient de la haute puiffance a. DEMONSTRATION. Donc+axx+bx+add±zade+aee+bd+bec. Soit 3°. xd 2 e. Donc+axx+bx=+add±4ade±4aee±2bd+2be—c. Les premieres differences font 2ade+aee+be +rade+3aee+be. Donc la feconde difference eft 2 aee. Ce qu'il falloit démontrer. Et fuppofant def, on aura d+2e=fe. d3ef2e. Et la démonstration fera la même pour les trois valeurs f. fe, f+ze, que pour d. d-te. ditze. & ainfi de fuite à l'infini, Donc, &c. COROLLAIRE I. Si a=1, c'est à dire fi l'équation eft préparée en fai fant fant évanouir le coefficient de la haute puiffance pour avoir feulement +xx+bx=c, la feconde difference continuelle & toûjours égale fera 2ee=2aee. Si l'on fuppofe encore e=1, c'est à dire fi l'on prend pour les valeurs d'x ces nombres d. d+1. d―+2. &c. cette feconde difference fera 22 ee. On pourra former par addition la fuite de tous les homogenes de comparaison, & par consequent la fuite de toutes les équations du fecond degré arithmetiquement femblables. Par exemple. Soit l'équation propofée 7xx-+5x=c. Si je prends pour x les termes d'une progreffion Arithmetique donnée, comme 3, 11, 19, 27, 35, &c. dont la difference continuelle eft 8, j'auray fuivant la formule du Theoreme a=7&8=e, & la feconde difference continuelle toûjours égale des derniers termes c, ou des homogenes de comparaison fera 2aee, c'est à dire 2× 7×64-896. Diff. I. Diff. II. Six=3, donc 7xx+5x=78 &c. 896 &c. &c. &c. Soit 2°. l'équation proposée xx+5x=c, & foient encore les valeurs d'x, 3, 11, 19, 27, 35,&c. on aura par la fubftitution Diff. I. Diff. II. xx-+5x=24 |