Parfait. la Le Quarré parfait se fera par 3134273837283332 combinaifon des deux primitifs, comme on a fait les autres précedens. 7583 62 614 578 184722434421|48|17| 5015541112531649 1055145 15213569 4223461920452441| |6325965 60 64 392635 3029362540 La démonftration en eft auffi évidente les raifons des prépar cedentes Propofitions, en confiderant que dans ces primitifs les nombres des cellules correfpondantes font tous differens; ce qui dépend de l'ordre dans lequel ils font placés. On voit que par ces combinaisons differentes il se formera un tres-grand nombre de differens Quarrés. PROPOSITION VI.. 1 Faire un Quarré avec les nombres d'une progression Ayant formé le Quarré parfait par quelqu'une des methodes précedentes, comme par la cinquiéme Propofition, en faisant l'un des primitifs comme le premier de la troifiéme Propofition, & le fecond comme le premier de la quatrième Propofition; fi l'on ajoûte quel nombre on voudra comme 7 à tous les nombres du Quarré parfait qui font plus grands que celui de la moitié du Quarré, on aura encore un Quarré parfait, dont la moitié des nombres fuivra la même progreffion que l'autre moitié: mais cette progreffion fera interrompue en ce que le plus petit des plus grands furpaffera de 8 le plus grand des moindres; ce qu'on peut voir dans l'exemple fuivant. Aaa iij Cette Propofition eft évidente, puifque dans les primitifs qui ont fervi à faire le Quarré parfait, il y a dans toutes les bandes tous les nombres pris deux à deux qui font complémens les uns des autres, COROLLAIR E, On pourra auffi ajoûter à tous les nombres de la premiere moitié, qui font les moindres nombres du Quarré parfait, tel nombre qu'on voudra, & à l'autre moitié auffi tel nombre qu'on voudra, pourvu que le nombre ajoûté à la derniere moitié foit plus grand que le nombre ajoûté à la premiere; car fans cela il y auroit des nombres repetés dans le Quarré quoiqu'il fût parfait. S'il y a un Quarré de nombres dans l'ordre naturel', enforte que chaque bande horizontale foit dans la même progreffion Arithmetique telle qu'on voudra, & que les bandes verticales foient auffi chacune dans une même progreffion Arithmetique telle qu'on voudra, comme on voit icy dans le Quarré de 4 de racine; on pourra faire un Quarré parfait avec ces nombres, & en plusieurs ma nieres. J'entens par nombres dans l'ordre naturel, ceux qui vont toûjours en augmentant comme on voudra, Nombres 791113 16182022 25272931 34 36 38 40 Primitif des Racines. 30 2 3 O I 2 032 032 I Requis. 347 2231 401 31625 11382718 9362920 Primitif des 2 2 8 8 88 2 6644 Parfait. On prendra la plus petite des deux progreffions, qui eft icy 2, dont on formera comme avec des nombres fimples un Quarré primitif, & ces nombres feront 2, 4, 6, 8; & l'autre primitif fera fait avec les racines à l'ordinaire 0,1,2,3. Ces deux primitifs fe feront par quelqu'une des methodes précedentes. De ces deux Quarrés primitifs on en fera le parfait, en substituant la valeur des racines qui feront icy 8, qui eft le plus grand terme du premier primitif. 6302012 Enfuite comme le premier terme du Quar ré parfait est 2, fa difference à 7 qui eft le premier des donnés, est 5; on ajoûtera s aux quatre premiers termes du Quarré parfait 2, 4, 6, 8, en les laiffant à leur place dans ce Quarré. Maintenant la feconde ligne des nombres donnés commençant par 16 dans l'ordre de la progreffion 2 qu'on a prife, & fa difference à 10 qui eft le fuivant aprés 8 dans le Quarré parfait, étant 6, on l'ajoûtera aux quatre nomǝ bres fuivans 10, 12, 14, 16 de ce Quarré parfait, & on les laiffera à leurs places. On fera de même pour les autres nombres fuivans, en prenant la difference entre 18 & 25 qui eft 7, qu'on ajoûtera aux fuivans du Quarré parfait 18, 20, 22, 24, & ainfi jufqu'à la fin, & le Quarré fe trouvera rempli avec les nombres donnés comme il eft requis. On remarquera qu'il faut tantôt ajoûter & tantôt ôter la difference aux nombres du Quarré parfait, felon la grandeur des termes donnés par rapport à ceux de la progreffion dont on a formé le premier primitif. On pourra auffi faire la même chofe avec l'autre progreffion 9, & les autres nombres du premier Quarré primitif feront 9, 18, 27, 36, & les racines vaudront 36. La construction de ce Quarré eft fondée sur les mêmes raifons que celles de la précedente Propofition; c'estpourquoy eft eft bonne. On voit auffi qu'on peut donner autant de constructions differentes de ce Quarré, qu'on en peut former par les differentes difpofitions des primitifs. COROLLAIRE, pro On pourra auffi interrompre par la moitié l'un des ordres des progreffions données, comme fi l'on avoit les nombres donnés dans l'ordre naturel comme ils font icy. Mais alors il faudra former le primitif des 79113 nombres fimples avec les termes de la 1618 20 24 greffion qui eft de fuire dans la même ligne; 31333537 & ayant formé le Quarré parfait comme on 4042 44 46 a fait cy-deffus, on en fera le requis en ajoûtant ou ôtant aux termes du Quarré parfait les differences d'avec les nombres donnés, ce qui fuit de cette Propofition. Ce cas fera la converse de la Proposition V I. ce qui eft facile à voir. REMARQUE Ș. Dans les Quarrés faits par toutes les Propofitions précedentes, on pourra tranfporter les bandes tant horizontales que verticales les unes à la place des autres indiffe remment, foit correspondantes ou non, pourvû que nombres des diagonales fe trouvent toûjours bons, les Il est auffi facile à voir qu'on peut faire le Quarré parfait, enforte que tel nombre qu'on voudra fe trouve dans une cellule marquée ou donnée dans le Quarré. Il faut maintenant expliquer la conftruction des Quar rés d'une racine pairement impaire, PROPOSITION 891597 21994 6 100 3 6340663469623765 3168) 188 11 58712198416 90 13 535056445952475 5 4158 2871257722297426 80 23 C782175 2772792476 30 173 4360465449425745 S148 8811851782891486 20 83 33703664393 2673 5 6 1 38 981 957 9299 496 1093 B Parfait. D On fera d'abord les deux Quarrés primitifs de ce Quarré par la quatrième Propofition, en prenant quel ordre on voudra dans les nombres; & de ces deux primitifs on en formera un Quarré imparfait, comme on le voit icy dans celui de racine 10. Enfuite dans la bande horizontale fuperieure & dans la premiere verticale qui eft à gauche, on laiffera les angles à leur pla8100 694 9 19297 5 91 3 ce, & l'on transportera 33 40 6634626937653168 dans chacune les nombres 8881187 219841690|1 3| d'une moitié dans l'autre, 43 50 56445 95 247.5 54158 chacun dans fa cellule cor78 21 2577222974268073 respondante, enforte que 23 71 7527727924763028 ceux qui étoient égale, 53 60 4654494257455148 ment éloignés des extrê 1811 8178 2891486 208 3 mes le foient encore aprés la tranfpofition, & à mê63 70 3664393 2673 56138 me distance des extrêmes, 98 1 957 9924961093 On fera une femblable tranfpofition des deux feuls nombres du milieu de la seconde bande horizontale fuperieure & de la derniere, & de même de la feconde bande verticale à gauche & de la derniere à droite. Enfin aprés ces changemens on tranfportera le nombre qui fe trouvera dans la cellule marquée A de la premiere bande horizontale fuperieure, laquelle eft la premiere de 1705. Bbb |