Art. 10. COROLLAIRE II. 15. Il est évident * qu'il n'y a que la ligne ZAL pa 13. rallele aux ordonnées à l'axe A P, qui puiffe être tangen-. te de la parabole MA M au point A origine de l'axe ;, puifqu'il n'y a que cette feule ligne qui paffant par le point A, & étant continuée de part & d'autre, ne rencon tre la parabole en aucun autre point, & n'entre pas dedans. FIG. 4. &S. DEFINITIONS... 9. Si l'on mene par un point quelconque M de la parabole un diametre M O, une ordonnée M P à l'axe A P, & une ligne droite MT qui coupe fur l'axe AP prolongé au delà de fon origine A, la partie AT égale à AP; toutes les lignes droites, comme NO, menées des points de la parabole parallelement à MT, & terminées par le diametre MO, font appellées Ordonnées à ce diametre. 10. Si l'on prend la ligne q troifiéme proportionnelle à AT, MT; cette ligne q fera nommée le Parametre du diame tre MO. COROLLAIRE I. 16. Si l'on nomme l'indéterminée AP ou AT, x ; il : eft clair que MT =qx, puisque AT ( x ), MT :: MT. q.. COROLLAIRE II. 17. A Cause du triangle rectangle MPT, le quarré : 2 2 * Art. 7. MT (qx ) = PT (4 xx)+M P2 * (px); d'où en divi fant par x, l'on tire q=4x+P. C'est à dire que le parametre q d'un diametre quelcon. que MO, furpaffe le parametre p de l'axe du quadruple de AP (x). COROLLAIRE. III. 18. Si l'on tire du point M au foyer F la droite MF, Art. g., on aura MF*=AP÷A F. Or felon la définition s le AF, le parametre de l'axe étant p➡4 A F, le parametre du diametre MO fera *q=4 AP+4AF. Donc le pa- *Art. 17. rametre q d'un diametre quelconque MO, vaut quatre. fois la ligne MF tirée de fon origine M au foyer F. 19. LE PROPOSITION IIL Theorême. E quarré d'une ordonnée quelconque ON au dia- F16. 4. 5. metre MO, eft égal au rectangle du parametre q, par la partie MO de ce diametre, prife entre fon origine M & la rencon tre O de l'ordonnée. Il faut prouver que O̟N'=q* MO. Ayant mené l'ordonnée NQ à l'axe AP, laquelle rencontre le diametre MO au point R, & tiré OH parallele à MP, on nommera les données AP ou AT, x; P M ou RQ,y; & les intéterminées OR ou HQ, a; MO ou PH, b; les triangles semblables TPM, ORN, donneront cette proportion TP (2x). P M (y) :: OR (a), RN-2. Cela pofé. 2x Puisque (fig.4.) NQ = R Q (y) —RN (22), ou RN (—) — R Q (y), & AQ=AH (x+b) — HQ(a); lorfque le point N tombe du côté de l'axè AP par rapport au diametre MO; & qu'au contraire (fig. 5.) NQ =RQ(y) +RN (22), & AQ=AH (x+b) + HQ (a), lorfqu'il tombe du côté oppofé on aura 2x QN =yy➡"""+^^2), & AQ=x+b➡a, sçavoir aayy dans le premier cas, & dans le fecond. Or* AP *Art. 85. (x). AQ(x+b±a) :: PM (yy). QN = yy + 1IJ by x 4. On formera donc len comparant ensemble ces B * Art. 16. FIG. 4.& S. deux valeurs de Q Ñ ̊, l'égalité y y+2"+"?"—yy✈ ayy x anyy, d'où en effaçant de part & d'autre yy± 4x x 2 x divifant par yy, & multipliant par 4xx, l'on tirera OR COROLLAIRE GENERAL. 20. IL eft vifible que ce qu'on a démontré dans la propofition premiere par rapport à l'axe AP, à ses ordonnées PM, & à fon parametre p, s'étend par le moyen de cette derniere propofition à un diametre quelconque MO, à fes ordonnees ON, & à fon parametre q. Or comme les articles 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 & 15 fe tirent de la premiere propofition, & fubfiftent egalement, foit que les angles AP M foient droits, ou bien qu'ils ne le foient pas, il s'enfuit que fi l'on imagine dans ces articles que la ligne AP, au lieu d'être l'axe, foit un diametre quelconque, qui ait pour ordonnées les droites PM, QN, & pour parametre la ligne p, ils feront encore vrais dans cette fuppofition; car leur démonstration demeurera la même, & il ne faut pour s'en convaincre entierement , que les relire en mettant partout où se trouve le mot d'axe, celui de diametre. COROLLAIRE II. 21. COMME les articles 10 & is subsistent avec la même force, lorfque la ligne AP au lieu d'être l'axe, eft un diametre quelconque, tel que MO; il s'enfuit que la ligne MT parallele aux ordonnées O N à ce diametre, eft tangente en M, & qu'il n'y a que cette feule ligne qui puiffe toucher la parabole en ce point. D'où l'on voit que d'un point donne fur une parabole, on ne peut mener qu'une feule tangente. COROLLAIRE III. 22. DE LA il est évident selon la définition 9. que fi l'on mene par un point quelconque M d'une parabole, une ordonnee MP à l'axe AP, & une ligne droite MT qui coupe fur l'axe prolongé du côté de fon origine A, la partie AT egale à AP; cette ligne MT fera tangente en M. Et reciproquement que fi la ligne MT eft tangente en M, & qu'on mene l'ordonnée MP à l'axe; les parties AT,. AP, de l'axe feront égales entr'elles. COROLLAIRE IV. 23. Si l'on imagine dans les définitions 9 & 10, & dans la derniere propofition, que la ligne AP au lieu d'être l'axe, foit un diametre quelconque, qui ait pour ordonnées les droites PM, QN; on verra que cette F16, 6, propofition fera encore vraye, puifqu'elle fe démontrera de la même maniere qu'auparavant, comme il est évident par la feule infpection de la fig. 6. où les triangles femblables donnent les mêmes proportions que dans le cas de l'axe. D'où il fuit 1°. Que le Corollaire précedent doit encore avoir lieu, lorfque la ligne AP au lieu d'être l'axe eft un diametre quelconque. 2°. Que le diametre MO peut être l'axe dans cette fuppofition ; & qu'ainfi on peut regarder l'axe comme un diametre qui fait avec les or données des angles droits. I PROPOSITION IV. Theorême. 24. S1 par un point quelconque M d'une parabole, l'on Fic. To mene une ordonnée MP à l'axe, & une perpendiculaire MG la à la tagente MT qui passe par le point M; je dis que partie PG de l'axe fera toujours égale à la moitié de fon pa Car à caufe des angles droits TPM, TMG, on aura *Art. 7. TP (2x). PM (y) :: PM (y). PG = 33 2x — p., en met. FIG. 7. * Art. 22. #Art. 5. FIG. 8.89. PROPOSITION V. Theorême. 25. S1 par un point quelconque M d'une parabole, l'on mene au foyer F la droite MF, un diametre MO, & une tangente TMS; les angles FMT, OMS, faits par la tangente TMS d'un côté avec la droite MF, & de l'autre avec le diametre MO, feront égaux entr'eux. Car menant l'axe AP qui rencontre en 7 la tangente TMS, & l'ordonnée M P à l'axe; on aura* TA+AF ou TF➡AP+AF ou MF. Le triangle TFM sera donc ifofcelle; & par confequent l'angle FTM, ou font égal OMS, fera égal à l'angle FMT. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE. 26. DE-LA il eft clair que la tangente TMS prolon gée indefiniment de part & d'autre du point touchant M, laisse la parabole toute entiere du côté de fon foyer F. Et comme cela arrive toûjours en quelque endroit de la parabole que tombe le point touchant M, il s'enfuit que cette ligne courbe eft concave dans toute fon étenduë autour de son foyer E.. PROPOSITION VI. Problême. trouver 27. UN diametre AP avec la tangente LAL qui passe par fon origine A, & fon parametre étant donnés ; un diametre BQ qui faßse de part ou d'autre avec fes ordonnées, un angle égal à l'angle donné K, fon origine B, & fon para metre. |