ceffaire, jufqu'à ce qu'elle rencontre l'afymptote CB en H, les triangles femblables CKS, CDH, don. neront CK (t). KS ( c ) :: CD (s), DH. Et par t tant A H ou l' Q="". On aura donc MP × PN 2nx t ( y y + 22 x y — 2 ry), 2 AP PQ ( x ) :: E B ( n ). m CB (m):: KS. CS. Puifqu'en multipliant les extrêmes & les moyens on retrouve l'équation précédente. Or les lignes KS, CS, demeurent toûjours les mêmes en quelque endroit de la Section que tombent les droites MN, AP, parce que le diametre L K qui paffe par le milieu de MN, pafle auffi* par le milieu de toutes les paralleles * Art. 145. à MN terminées par la Section, en quelque endroit qu' elles fe rencontrent. Donc &c. On peut démontrer ce Corollaire immédiatement, & F 16. 96. fans avoir recours au Theorême, en cette forte. Soient les données CK-t, KS ou CO=c, CS=m, & les indéterminées CDs, A D ou DI=r, AD DI—r, A P = x & PM-y. Les triangles femblables CSK, APF,¡donnent PF, AF ou DG; Et partant G M ou m m tx m m. GN−y+−r, CG+s. Orà caufe des triangles femblables C KS, CDH, CG 2, on aura CK (1). KS (c) :: CD (5). DH=“ :: CG (~+s). G Q x t tx m GQ-GM ==+. M2×2N -rr-*AH*HI* Art. 97. -DI ———rr; d'où l'on tire (en effaçant de tt part & d'autre css-rr, & transposant d'une part tous tt les termes où y fe rencontre) cette équation yy+2cxy, 27y: +2*, laquelle étant reduite en propor FIG. 98. (2 + 2rx) :: KS (c). CS (m). Ce qu'il falloit dé montrer. La démonstration eft la même pour les Hyperboles oppofées à quelques fignes près. COROLLAIRE. X. POUR L'HYPERBOLE OU LES HYPERBOLES OPPOSE'ES. 174. IL fuit du Corollaire précédent. 1o. Que s'il y a deux droites paralleles entr'elles MN, HG, terminées par une Hyperbole ou par des Hyperboles oppofées, & qui rencontrent une afymptote CS aux points Q, I ; & qu'on mene par deux points quelconques A, B, de la Section deux paralleles AP, BD, à l'afymptote CS, qui rencontrent ces lignes aux points P, D: les rectangles MPx PN, 2 AP P Q feront entr'eux, comme les rectangles HD × DG, 2 B D ×D 1 ; & partant on aura MP×PN. HD* DG :: AP×PQ. BD DI. 2o. Que s'il y a deux droites paralleles entr'elles MN, HG, terminées par une Hyperbole ou par des Hyperboles oppofées, & qui rencontrent une afymptote cs aux points 2.1;& qu'on mene par un point quelconque A de la Section, une parallele AO à CS, 'qui rencontre ces lignes aux points P, 0: on aura (en concevant dans le cas précédent que BD tombe fur AP) cette proportion, MP PN. HOOG:: AP × PQ. A0×01 :: AP. PO. puifque P Q —01. 3°. Que s'il y a une ligne droite HG terminée par une Hyperbole ou par des Hyperboles oppofées ; & qui rencontre une asymptote CS en 1 ; & qu'on mene par deux points quelconques de la Section A, B, deux paralleles AO, BD, à CS, qui rencontrent cette ligne aux points O, D: on aura HOOG. HD* DG :: AO O I. B D × DI. Cela eft encore une fuite du premier cas, en concevant que la ligne MN tombe fur HG. COROLLAIRE X I. 175. Si l'on conçoit qu'une ligne droite B D qui ren- F1 G. 92. contre une Section Conique en deux points B, D, fe meuve parallelement à elle même jufqu'à ce qu'elle rase la Section, c'eft à dire, jufqu'à ce qu'elle devienne la tangente LS: il eft clair que les deux points d'interfection B, D, fe reüniflent alors au point touchant L ; & qu'ainfi on peut confiderer un point touchant comme deux. points d'interfection qui tombent l'un fur l'autre. Or cela pofé, on voit naître des Corollaires 1, 2, 5, 10, plu fieurs cas dont voici les principaux. 1o. S'il y a deux tangentes KS, LS, qui fe rencontrent en un point S, & deux autres droites MN, AR, paralleles à ces tangentes & terminees par la Section, lefquelles fe rencontrent en un point P; je dis que MP ز PN. AP & PR :: KS. LS. Ceci a été démontré dans le Theorême à l'égard de la Parabole : mais pour les autres Sections, concevant dans le premier Corollai re que F G tombe fur la tangente KS, & BD fur LS; il eft clair que les deux points d'interfection F, G, le reüniffent au point touchant K, comme auffi les deux B, D, au point touchant Z; & qu'ainfi les rectangles FQ × QG, B Q × QD, deviennent les quarrés AS.S. 20. Si dans une Ellipfe ou dans des Hyperboles oppofées, l'on mene une tangente TX parallele à KS, & qui ·rencontre S Z au point, on prouvera comme dans le nombre précédent, que MP & PN. AP× PR:: TX · ZX. D'où il fuit que KS.LS:: TX'. LX. Et K S. SZ:: TX. LX. C'eft à dire, que fi deux tangentes paralleles KS, TX, rencontrent une troifiéme tangente: LS aux points S, X, on aura KS. LS :: TX. LX. ou KS. TX:: LS LX. 21 3o. Si dans une Ellipfe, dans une Hyperbole ou dans des Hyperboles oppofees, il y a deux tangentes KS, LS, qui fe rencontrent en un point S, & qu'on mene. deux demi diametres Y, CZ paralleles à ces tangenres; je dis quels feront entr'elles comme ces deux demi-diametres. Car felon le Theorême Cr. CZ' :: MP × PN. APPR:: KS. LS, felon le nombre premier. Et par conféquent cr. cz :: K S. LS. 4°. S'il y a deux droites AR, FG, terminées par une Section Conique, lefquelles rencontrent deux tangentes KI, LO, qui leur foient paralleles, aux points I, O; je dis que FO × OG. LO' :: KI. AI × IR. Ce qui est évident en concevant dans le premier Corollaire que BD devient la tangente LO; & MN, la tangente KI. 2 5°. S'il y a deux paralleles AR, BĎ, terminées par une Section Conique, lefquelles rencontrent une tangente KH aux points I, H; je dis que KỈ.AIXIR:: KH'. BH & HD, ou KI. KH :: AI & IR, BH » HD. Ce qui eft une fuite du fecond Corollaire, en concevant que la ligne F G tombe fur la tangente KH. 2 ४ 6°. Si l'on fuppofe dans le nombre précédent que la Section Conique foit une Hyperbole, & que la tangente HK en foit une afymptote; les rectangles B H » HD, AI IR deviendront égaux entr'eux. Car le point tou * Art. 108. chant K fera * alors infiniment éloigné des points H, I, & par conféquent les droites infinies HK, IK, qui ne different entr'elles que d'une grandeur finie HI, doivent être regardées comme égales. Ceci a déja été démontré dans l'article 97. & on ne le repete ici que pour fervir de preuve à ce que l'on vient de dire, & pour faire voir qu'on arrive fouvent aux mêmes verités par des routes bien differentes. 7°. S'il y a deux tangentes KS, LS, qui fe rencontrent en un point S, avec une ligne droite AR terminée par la Section, parallele à l'une d'elles LS, & qui rencontre l'autre KS en un point I ; je dis que KI. AI× IR :: KS.LS. Cela eft vifible en concevant dans le fecond Corollaire que les lignes FG, BD, tombent fur les tangentes KS, LS, - 2 -- 2 8°. S'il y a dans une Ellipfe ou dans les Hyperboles oppofees deux tangentes paralleles KI,TV, qui rencontrent aux points I,, une ligne AR terminée par la Section aux points R, A ; je dis que KI. AI IR :: TV. RV×VA. Cela fuit encore du fecond Corollaire en imaginant que les parallele's MN, FG, tombent fur les tangentes TV, KI. × 9o. S'il y a dans une Parabole deux paralleles M N, FIG. 94. CH, dont l'une foit tangente en C, & l'autre soit terminée par la Parabole, & qu'on mene par deux points quelconques A, B, de la Section, deux diametres A F, BO qui rencontrent ces lignes aux points F, O: il est clair en concevant dans les deux premiers nombres du Corollaire fixiéme que E L tombe fur la tangente CH; 1°. Que MF FN.CO: A F. BO. 2°. Que fi l'on longe FA jufqu'à ce quelle rencontre la tangente CH en Q, on aura MF FN.CQ: AF. A Q. pro 10°. S'il y a deux paralleles MN, KT, dont l'une KT FIG, 98. touche une Hyperbole en K & rencontre une de fes par l'une afymptotes en S, & l'autre M N eft terminée ou par l'autre des Hyperboles oppofées, & rencontre la même afymptote en ; & qu'on mene par deux points quelconques A, B, de la Section, deux paralleles A P, BT, à l'afymptote CS, lesquelles rencontrent ces lignes aux points P, T; on aura (en concevant dans les trois nombres du Corollaire dixième, que la fécante G H tombe fur la tangente RT) 1°. Le rectangle MP PN. KT :: AP × PQ. BT × TS. 2°. En prolongeant PA jufqu'à ce qu'elle rencontre KT en R, le rectangle MP P N. K R :: AP. A R. 3o. Le quarré K T . K R ̊ :: BT × TS. AR RS. 2 11o. S'il y a dans les Hyperboles oppofées deux tangentes paralleles KR, LF; qui rencontrent une afymp. tote CS aux points S, ; & qu'on mene par deux points quelconques A, B, de la Section, deux paralleles AR, BF à l'afymptote CS lefquelles rencontrent ces tangentes |