Si le point donné M tomboit fur l'un des côtés du parallelogramme, prolongé à difcrétion il eft clair que ce Problême feroit alors impoffible, puifque ce côté rencontreroit la Section en trois differens points; ce qui ne peut être.

179.

COROLLAIRE

DE-LA

E-LA on tire encore la manière de décrire une Section Conique, qui ait pour diametre une ligne A B donnée de pofition, pour centre le point donné C, deux ordonnées à ce diametre les droites MP,

& pour

КО.

=

*Art. 149.

Car ayant pris fur le diametre AB la partie CL égale à Co, & mené L F parallele & égale à OK; il est clair qu'elle fera * une ordonnée au diametre AB, & *Art.45.55 qu'ainfi prolongeant KO en H, & F L en G, en forte 85. 118. que OH OK, & LG L F, les droites égales & paralleles KH, FG, feront deux doubles ordonnées au diametre AB. D'où l'on voit que la Section doit être décrite autour du parallelogramime FG HK, & paffer par le point donné M ; ce qui fe fera par le moyen du Corollaire précédent.

*

Comme cette queftion fe réduit à celle du Corollaire précédent, qui fe réduit au Problême ; & que felon le Corollaire premier, on ne peut trouver qu'une feule Section qui y fatisfaffe: il s'enfuit de même qu'on ne peut décrire qu'une feule Section qui rempliffe les conditions de ce dernier Corollaire.

PROPOSITION XV.

Problême..

* Art. 144.

180. DE'CRIRE une Section Conique qui passe par FrG. 102. cinq points donnés F, M, K, G, N; & démontrer qu'il n'y & 103. en peut avoir qu'une feule..

Ayant joint quatre des points donnes par deux lignes droites FG, MN, qui fe rencontrent au point R, on menera par le cinquieme point donne K deux droites KD, KH, paralleles aux droites FG, MN, & qui les rencontrent aux points E, Q. On prendra fur ces deux lignes prolongees, s'il eft neceffaire, les points D,H, tels que MR RN. GR× RF :: ME× EN. KE× ED. Et FR≈ RG, MK× RN : : FQ × QG. HQ × QK. en observant que les points K, D, ou K, H, doivent tomber de part & d'autre du point de rencontre E, ou Q, lorfque les points M, N, ou F, G, tombent auffi de part & d'autre de ce même point, & au contraire. On menera enfuite par les points de milieu des paralleles DK, FG, & MN, KH, les droites LI, AB, qui s'entre* Art. 179. coupent au point C. On décrira enfin la Section Conique qui a pour diametre la ligne AB donnee de pofition, pour centre le point donne C, & pour ordonnees les deux droites MP, KO. Je dis qu'elle faustera au Problême, & qu'il ne peut y avoir que celle-la.

* Art. 166.

*

Car les deux points D, H, feront à la Section qui paffe par les cinq points donnés F, M, K, G, N, & * Art. 146. ainfi les lignes LI, AB, en feront deux diametres,

Ø 147.

qui en détermineront par conféquent le centre par leur point d'interfection C. Il est donc évident que la Section Conique qui pafle par les cinq points donnés, doit avoir néceflairement pour diametre la ligne A donnee de pofition, pour centre le point C, & pour ordonnées au diametre AB les droites MP, KO. Or comme il n'y a qu'une feule Section Conique qui puiffe remplir ces conditions, il s'enfuit que ce fera celle qu'on demande, & qu'il ne peut y avoir que celle-là.

S'il arrive que les diametres A B, LI, foient paral*Art. 147. leles entr'eux ; la Section fera alors une Parabole qu'on décrira par l'article 170.

1

1238

LIVRE CINQUIE' M E.

De la comparaifon des Sections Coniques entr'elles, de leurs Segmens..

LEMME I.

181. Si la difference de deux quantités diminuë continuellement, en forte qu'elle devienne enfin moindre qu'aucune gran deur donnée; je dis que dans cet état, ces deux quantités feront égales.

Car fi elles ne l'étoient pas, on pourroit affigner entr'elles quelque difference; ce qui eft contre l'hypothese.

LEMME II.

182. Si la raifon de deux quantités eft telle que l'antecedent demeurant toujours le mème, fa difference avec fon confequent diminue continuellement, en forte qu'elle devienne enfin moindre qu'aucune grandeur donnée, je dis que dans cet état, ces deux quantités feront égales.

Car par le Lemme précédent, l'antecedent fera égal Art. 181, à fon confequent; & ainfi les quantités dont ils expriment le rapport, feront égales.

I

LEMME III.

183. Si l'on fuppofe fur une ligne courbe quelconque ABG FIG. 104. un arc MN infiniment petit, c'est à dire, moindre qu'aucune grandeur donnée; & qu'on imagine par les extremités de cet arc les ordonnées MP, NQ, à l'axe ou diametre AC, avec les paralleles MR, NS, à ce diametre: je dis que les parallelos grammes PQRM, PQNS, peuvent être pris chacun pour Pefpace PQNM renfermé entre les ordonnées PM, QN, la petite droite PQ, & le petit arc de la courbe MN.

Tous les points d'une ligne courbe ou s'éloignent

continuellement de plus en plus de fon diametre, ou bien s'en approchent continuellement de plus en plus; ou enfin cette ligne courbe eft compofée de plufieurs portions, dont les unes s'éloignent de plus en plus, & les autres s'approchent de plus en plus de fon diametre. Car il eft evident qu'il ne peut y avoir aucune portion dans une ligne courbe, dont tous les points foient éga lement éloignes de fon diametre; puifqu'alors cette por tion ne feroit plus courbe, mais une ligne droite paral lele à ce diametre.

Suppofons 1°. Que l'arc MN foit fur une courbe AMB dont tous les points s'éloignent de plus en plus de fon diametre A C. Si l'on prend du coté du point N l'arc MO d'une grandeur finie, & qu'ayant nommée l'ordonnée O F parallele à MP, on tire les droites O D, ME, paralleles au diametre AC; il eft clair que l'efpace Curviligne PFO M fera plus grand que le parallelogramme infcrit PFE M, & moindre que le parallelogramme circonfcrit PFOD. Or fi l'on imagine que le point O fe meuve fuivant la courbe vers le point M, il eft vifible que le parallelogramme MEOD qui eft la difference des parallelogrammes infcrits & circonfcrits à l'arc OM, diminuëra continuellement jusqu'à ce qu'enfin il devienne nul ou zero dans l'inftant que point O parvient en M. D'où il fuit que lorfque le point O eft arrivé en N, c'est à dire, infiniment près de M, le parallelogramme MEOD, qui devient MRNS, fera moindre qu'aucune grandeur donnée. Il eft donc évi* Art. 181, dent felon le Lemme premier, que les parallelogrammes PQRM, PQNS, deviennent alors égaux entr eux; & par conféquent auffi égaux chacun à l'efpace curviligne PM N. Donc &c.

le

Suppofons 20. Que le petit arc M N foit fur une courbe B M G dont tous les points approchent de plus en plus de ceux de fon diametre CG. Il eft vifible que la démonftration demeure la même que pour le premier cas, en obfervant fimplement que le parallelogramme

circonfcrit PQNS devient infcrit en ce cas-ci.

Suppofons 3°. Qu'une ligne courbe telle que A BG, foit compofée de plufieurs portions dont les unes, comme AB, s'éloignent de plus en plus du diametre AG; & les autres au contraire, comme B G, s'en approchent de plus en plus. Je dis que les points, comme B, qui fépa- . rent ces portions, ne peuvent tomber fur les arcs MN; car fi cela étoit le point B feroit plus près du point M que n'eft le point N ; ce qui eft contre la fuppofition. Il est donc évident que ce dernier cas eft neceffairement renfermé dans l'un ou dans l'autre des deux premiers.

COROLLAIRE Ï.

184. DE LA il fuit que fi l'on mene par tout où l'on voudra une ordonnée CB parallele à PM, & qu'on imagine que la portion de courbe A B foit divifée en une multitude infinie d'arcs infiniment petits, tels que MN; l'espace A C B renfermé par les droites AC, CB, & par la portion de courbe AB, fera égal à la fomme de tous les parallelogrammes tels que PQRM ou PQNS. Il s'enfuit de même que l'espace MPCB renfermé par les droites MP, PC, CB, & par la portion de courbe M B, fera égal à la fomme de tout ce qu'il y aura de ces parallelogrammes dans cet efpace ; & de même dans toute l'étendue de la courbe ABG.

COROLLAIRE II.

185. S'il y a une figure quelconque CMDOC ren. FIG. 105. fermée entre deux paralleles CE, DF, & qu'on imagine par tout où l'on voudra entre ces paralleles deux droites MO, NL, infiniment proches l'une de l'autre, & qui leur foient auffi paralleles; je dis que l'efpace OMNL qu'elles couperont dans la figure CMDOC, fera egal au rectangle d'une d'elles, comme de M O, par leur distance MR ou OS. Car menant la perpendicu