le petit rectangle F K LSM N a. Or comme cela arrive toûjours en quelque endroit de la Courbe AMB qu'on prenne le petit arc M N, il s'enfuit que la fom*Art. 184. me de tous les petits rectangles KLSF, c'est à dire, l'efpace ADEFH fera égal à la fomme de tous les petits rectangles M N xa, c'eft à dire, au rectangle de la courbe AM B par la conftante a. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

244. DE-LA E-LA il est évident que le rectangle de la portion AM par la conftante a, eft egal à l'espace A KFH; & de même que le rectangle de la portion M B par la même ligne a, est égal à l'espace KDE F.

COROLLAIRE II.

- 2

9aaxx

433

2

245. Si l'on fuppofe que la Courbe AM B soit la feconde Parabole cubique, qui ait pour équation * Art. 233. y'—a xx (AP—x, P M—y); on aura * PT=2x; & à cause du triangle rectangle MPT, l'hypothenufe MTV yy+2xx. Mais par la proprieté de la Cour. be HFE, il faut que MP (y). MT (Vyy+; xx) ::a. KF. Ce qui donne KFaa+ xx = aa+2, ay, en mettant pour axx fa valeur y3. D'où l'on voit que la Courbe HFE eft dans ce cas une Parabole, qui a pour axe la ligne AD, dont l'origine eft au point 0, pris de l'autre côté du point D par rapport au point A, en forte que AO-a, & dont le parametre — a: Art. 19. car par la proprieté de cette Parabole le quarre de l'ordonnée KF fera égal au rectangle de Ko par le parametre, c'est à dire en termes analytiques, K F =aa+2ay. Or comme les Trapefes paraboliques * Art. 239. ADEH, AKFH, font quarrables, il s'enfuit qu'on a la rectification tant de la Courbe AM B, que d'une

*

2

de fes portions quelconques A M.

Si l'on veut exprimer au jufte la valeur de la portion A M, on remarquera que AH eft=a; puisque A H =A0x a—a a.. Ainfi ayant nommé la tangente MT,t; la ligne A Kou MP,y; on aura K F, & le Trape

se parabolique FAKH ou* FK*KO — HA*AO * Art. 239.

=at+

3.

8

8aat
273 27

3

2 3

aa—AM xa. C'eft à dire, en, di

visant par a, que la portion cherchée AM;+

— 2a. Ce qui donne cette construction.

27

8 at

277

Ayant mené du point donné M fur la feconde Parabole cubique AMB, la tangente MT qui rencon tre en la ligne K menée par l'origine A de l'axe AC perpendiculairement à cet axe, on prendra fur cette ligne la partie AV=2a; & ayant tiré VC paral. lele à MT qui rencontre l'axe en C, on décrira du centre & du rayon VA un arc de cercle qui coupe c en X. Je dis que la portion M de la feconde Parabo. le cubique A M B fera égale à la fomme des deux droi tes MQ, CX.

27

3

Car à caufe des triangles femblables 7 PM, TAQ2 il eft clair que MQ== MT (†), puisque AP=2 PT; & à caufe des triangles femblables MPT, VAC, il vient MP (y). MT (†). :: AP (4). VC ———, &

8 at

27

a. Donc &c.

partant CX-4

273 27

PROPOSITION XVL

Theorême.

8 at

272

246. SOIT une Hyperbole équilatere E AF, qui ait pour F 16. 128. centre le point C, & pour la moitié de fon premier axe la.

droite CA; avec une Parabole NCS qui ait pour axe la Ligne AC prolongée du côté de C qui en fera l'origine, & pour parametre de l'axe une ligne double de CA. Si l'on mene par un point quelconque N de la Parabole NCS, une parallele NE à CA, qui rencontre l'Hyperbole EAF au point E, & fon fecond axe CL au point L; je dis que l'espace hyperbolique CLEA renfermé entre les droites AC, CL, LE, & la portion EA de l'Hyperbole, est égal au rectangle de la portion CN de la Parabole par la droite AC.

por

Ayant mené par un point quelconque M de la tion CN de la Parabole, une perpendiculaire MG à la tangente MT qui pafle par ce point, terminées l'une & l'autre par l'axe aux points G, T, & une parallele MB à CA, qui rencontre l'Hyperbole en B, & fon second axe C L en H : les lignes MG, HB, feront égales entr'elles. Car menant l'ordonnée MP à l'axe on * Art. 24. aura ✶ PG=C A ; & à caufe du triangle rectangle MPG, le quarré MGPM+PG=CH+C

3

2

* Art. 127. —* H B, à caufe de l'Hyperbole équilatére EA F; & partant MGH B. Or les triangles rectangles semblables TPM, MPG, donnent MP ou CH. MT :: PG

* Art. 143. Ou CA. MG ou HB. Donc * &c.

247. DE.LA il est évident que le Trapese hyperbolique HLEB eft égal au rectangle de la portion de Parabole M N par la moitié CA du parametre de fon axe.

COROLLAIRE I.

248. Si l'on mene dans l'Hyperbole équilatére EAF deux paralleles quelconques BD, EF; & qu'on tire par leurs extremités des lignes droites BM, EN, DR, FS, paralleles à AC, lefquelles rencontrent le second axe de l'Hyperbole aux points H, L, K, O; la difference des rectangles AC M N, A C×RS, sera

égale (en tirant les droites BE, DF,) à la difference des Trapefes rectilignes HLEB, KOF D.

*

Car le rectangle AC M N eft égal au Trapefe hy. * Art. 247. perbolique HLEB ; & par confequent le rectangle ACMN plus le segment hyperbolique B E fera égal au Trapele rectiligne HLEB: de même le rectangle ACRS plus le fegment hyperbolique DF fera égal au Trapele rectiligne KOF D. Donc puifque les deux fegmens hyperboliques EB, D F, font égaux entr'eux, la * Art. 204. difference des rectangles AC MN, AC RS, fera égale à la difference des Trapefes rectilignes HLEB, KOFD. ·Ce qu'il falloit démontrer.

ES

COROLLAIRE III.

249. Les mêmes chofes étant pofées que dans le Corollaire précédent; fi l'on fait 2 A C. LH :: BH+LE. m. il eft clair que le rectangle AC m¦LH × BH+LE, c'est à dire, égal au Trapefe rectiligne HLE B. De même fi l'on fait AC. KO :: KD+FO. n. il est clair que AC×n est égal au Trapefe rectiligne KOFD. Par conféquent la difference des rectangles * Art. 248. AC× MN, AC RS, fera égale à la difference des rectangles AC xm, AC × n; c'est à dire, en divifant par AC, que la difference des arcs paraboliques MN, RS, fera égale à la difference des droites m, n. D'où l'on voit qu'on peut trouver des lignes droites égales à la difference d'une infinité d'arcs Paraboliques tels que MN, RS.

166

FIG. 129.

LIVRE SIXIE ME..

Des Sections Coniques confiderées dans le Solide..

CHAPITRE PREMIER.

Des trois Sections Coniques en général.

DEFINITIONS.

1.

par un point fixe S élevé au deffus du plan d'un cercle V, on fait mouvoir une ligne droite Sz indéfiniment prolongée de part & d'autre du point S, autour de la circonference du cercle, en forte qu'elle: fasse un tour entier, les deux furfaces convexes produites par la ligne droite indéfinie Sz dans ce mouvement, font appellées chacune feparément Surface Conique, & toutes deux enfemble Surfaces Coniques appofees.

2.

Le point fixe s qui eft commun à l'une & à l'autre Surface Conique, eft nommé Sammet.

Le Cercle XX, Bafe.

3.

4.

Le Solide compris par la base VXY, & par la portion de la Surface Conique que cette base coupe depuis le Sommer S, eft appellé Cone.

La ligne & X menée du Sommet S à un point quelconque de fa base, en est un des Côtés.

6.

La ligne SO menée du Sommet S du Cone par le centre o de la base, en est l'Axe.

7.

On dit qu'un Cone eft droit, lorfque fon axe est per