Ayant mené par l'origine A du diametre donné la ligne A E qui faffe avec ce diametre de part ou d'autre, l'angle PAE égal à l'angle donné K, & trouvé * fur * Art. 14. cette ligne (prolongée de l'autre côté de A lorsqu'elle & 20. ne tombe point dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL) le point M où elle rencontre la parabole, on menera par le point du milieu de la ligne AM, une parallele QD au diametre AP, qui rencontre la tangente AL au point D ; & on divifera QD par le milieu. en B. Je dis que la ligne BQ eft le diametre qu'on cherche, qu'il a pour origine le point B, & pour parametre une troifiéme proportionnelle à B Q, & Q A.

Art. 11.

Car 1°. La ligne AM étant divifée en deux parties égales au point par le diametre BQ, elle fera ordonnée ** de part & d'autre à ce diametre ; & comme les lignes BQ, & 200 AP font paralleles entr'elles, l'angle B QA que fait le diametre BQ avec fon ordonnée QA fera égal à l'angle PAM égal à l'angle donné K ou fon complement à deux droits. 2°. Le point du milieu B de la ligne Q D fera l'origine de ce diametre, puifque AQ en eft une & 23. ordonnée. 3°. Le parametre du diametre Best ✶ la * Art. 19. troifiéme proportionnelle à BQ, QA.

* Art. 22.

Lorfque l'angle donnné K n'eft pas droit, il eft clair FIG. 8. qu'on peut mener de part & d'autre du diametre A P deux differentes lignes AE qui faffent avec ce diametre des angles égaux à l'angle donné K ; & qu'ainsi on pourra toûjours avoir deux folutions differentes, en obfervant que fi l'une des deux lignes AE tomboit fur la tangente AL, le diametre donné AP fatisferoit luimême à la question. Mais lorsque cet angle K eft droit, comme l'on ne peut mener qu'une feule ligne AE qui F16. 9. faffe avec le diametre AP un angle droit, il s'enfuit qu'on ne peut avoir alors qu'une folution; & qu'ainsi * * Art. 23. le diametre cherché fera l'axe.

il eft à remarquer que les deux diametres BQ, B Q, qui fatisfont au Problême lorfque l'angle donné K n'est F16, 10, pas droit, font femblablement pofés de part & d'autre

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de l'axe AP, & que leurs parametres font égaux: ce qui fe voit par la conftruction même, en fuppolant que le diametre donné AP foit l'axe, & en menant deux. differentes lignes AE, AE de part & d'autre. Car les triangles rectangles ALM, AL M, & A D Q, ADQ étant visiblement égaux & semblables entr'eux, les lignes AD, AD; DQ, DO; leurs moitiés BQ, BQ; & les * Art. 19. ordonnées QA, QA feront egales entr'elles; * & par confequent les parametres le feront aufli.

FIG. II.

COROLLAIRE.

28. IL eft donc évident, 1°. qu'il n'y a qu'un feul diametre qui faffe avec fes ordonnées des angies droits; & qu'ainfi il ne peut y avoir qu'un feul axe. 2°. Qu'on peut toûjours trouver deux differens diametres, qui fasfent avec leurs ordonnées des angles égaux à un angle donné, lorfque cet angle n'eft pas droit ; que ces deux. diametres feront femblablement pofés de part & d'au tre de l'axe, & qu'ils auront des parametres égaux.

29. UN diametre étant donné avec la tangente qui passe par fon origine, & fon parametre ; décrire la parabole par un

mouvement continu.

PREMIERE MANIER È..

Si le diametre donné étoit l'axe, on la décriroit felon l'article 4o; mais lorsqu'il ne l'eft pas, foit M o le diametre donné, & TMS la tangente qui paffe par fon origine M. Cela pofé.

On prendra fur le diametre Mo prolongé au delà de fon origine M, la partie M.D égale au quart de fon parametre ; & on & on tirera une perpendiculaire indéfinie DE à MD. On menera M F qui faffe avec la tangente TM S un angle FM T égal à l'angle O MS; & ayant pris M F égale à MD, on décrira felon la définition

premiere, une parabole qui ait pour directrice la ligne DE, & pour foyer le point F. Je dis qu'elle fera celle qu'on demande.

Car, 1°. La ligne M O étant perpendiculaire à la directrice DE, fera parallele à l'axe; & par confequent un diametre felon la definition 7o. 2°. La ligne TMS sera tangente en M. 3°. Le parametre du diametre Mo fera quadruple de M F.

SECONDE MANIER E.

Art. 25.

* Art. 18.

Soit AP le diametre donné, & LAL la tangente qui FIG. 12. paffe par fon origine A. Cela posé.

Ayant pris fur le diametre AP prolongé au delà de fon origine la partie AG egale à fon parametre, & mené A une droite indefinie DG D qui falle avec AG l'angle AGD égal à l'angle GAL pris du même côté ; on fera mouvoir une ligne droite indéfinie D M le long de G D toujours parallelement à AG, en entraînant par fon extrêmité D le côte DA de l'angle DAM égal à l'angle GAL, & mobile par fon fommet autour du point fixe A. Je dis que l'interfection continuelle M de la ligne DM & du côté A M, décrira dans ce mouvement la parabole qu'on demande.

Car menant MP parallele à A L, les lignes MP, G D feront égales entr'elles, puifque l'angle APM ou GAL étant égal à l'angle AGD, elles feront également inclinées entre les paralleles GP, DM. Or les triangles AGD, MPA font femblables: car l'angle MPA où GAL est égal à l'angle AGD; & l'angle PMA ou MAL égal à l'angle GAD, puifque retranchant des angles égaux GAL, DAM, le même angle DAL, les reftes doivent être égaux. On aura donc AG. GD ou PM:: PM. AP,

& partant GA× APPM; d'où il clair que PM eft ** Art. 19. une ordonnée au diametre AP qui a pour origine le & 21. point A, pour tangente la ligne LAL, & pour parame

tre la ligne AG. Ce qu'il falloit, &c.

Si le diametre AP étoit l'axe, alors les lignes GD, F 1 G. 13.