FIG. 157.

I

COROLLAIRE IV.

303. Si d'un point donné ▲ fur une Hyperbole, l'on tire deux droites A FAG, terminées par fes Afymptotes; & que d'un autre point quelconque M de la même Hyperbole, ou de fon opposée, on tire deux autres droites MH, M K, terminées aussi par fes Afymptotes, & paralleles aux deux premieres AF, AG: je dis que FA AG-HM MK.

Car 10. Lorfque les deux points A, M, tombent fur la même Hyperbole ; ayant joint ces deux points A, M, par une ligne droite qui rencontre les Afymptotes en P & Q, les triangles femblables PAF, PMH, & QMK, QAG, donneront ces deux proportions, A F. MH :: * Art. 302. A P. MP * :: MQ. AQ :: MK. AG. ce qui donne, en multipliant les extrêmes & les moyens,

FAX AG=H M× MK.

2o. Lorfque les points A, M, tombent fur les deux Hyperboles oppofées ; ayant mené par le point donné A & par le centre C, le diametre AB, & tiré les droites BD, BE, paralleles à AF, AG, & terminées par les mêmes Afymptotes; il eft clair que les triangles CAF, CBD, & CAG, CBE, feront femblables & *Art. 294. de plus égaux entr'eux, puifque * CA CB. C'est pourquoi B DAF, & BE—AG ; & partant DB × BE FAX AG. Or felon le cas précédent K M× MH DBB E. Donc auffi FA AGK M× MH.

AVERTISSEMENT.

Je laiffe les autres proprietés des Afymptotes, & des Diametres conjugués, parce qu'elles fe tirent de cellesci fur le plan, comme l'on a fait dans le troifiéme Livre; mon deffein n'étant ici que de faire voir de quel. le utilité peut être la confideration du Solide, pour démontrer tout à la fois & fans aucun calcul, les pro

prietés de tous les Diametres, des Tangentes, & des Afymptotes; d'où dépendent toutes les autres. C'eft ce que je crois avoir executé d'une manière fort aisée, & entierement nouvelle; puifque je ne me fuis point fervi de lignes coupées harmoniquement, comme ont fait les Geometres Modernes après Mrs. Pafchal & Defcartes ; ce qui les a obligés d'avoir recours à un grand nombre de Lemmes, dont les démonstrations feules me paroiffent auffi longues que celles de tout ce Livre.

206

LIVRE

SEPTIE ME..

Des Lieux Geometriques..

DEFINITION I

OIENT deux droites inconnues & indéterminées

F16. 158. SAP, PAL, qui faffent entr'elles un angle APM don

159.

F16. 158.

né ou pris à volonté, & dont l'une AP que j'appellerai toûjours x ait un commencement fixe au point A, & s'étende indéfiniment le long d'une ligne droite donnéede pofition, & l'autre PM que je nommerai y, en change continuellement, & foit toûjours parallele à elle même: c'est à dire que toutes les droites PM doivent être paralleles entr'elles. Soit de plus une équation qui ne renferme que ces deux inconnuës x & y mêlées avec des connuës, & qui exprime la relation de chaque indéterminée AP (x) à fa correfpondante PM (y). La ligne droite ou courbe qui paffe par les extremités de toutes les valeurs de y, c'est à dire, par tous les points M, eft appellée en général un Lieu Geometrique, & en particulier le Lieu de cette équation.

1

Suppofons, par exemple, que l'équation y➡ doive exprimer toûjours la relation de AP(x) à. PM (y)· qui font entr'elles un angle donné ou pris à volonté. APM. Ayant pris fur la ligne AP la partie A B—a, & de B mené BE➡b parallele à PM & du même côté, la droite indéfinie E fera nommée en général un Lieu Geometrique, & en particulier le Lieu de cette équation. Car ayant mene d'un de fes points quelconques M la droite M P parallele à BE, les trian-gles femblables ABE APM, donneront toûjours cette proportion, AB (a). BE (b) :: AP (x). PM (y)=. Et partant la droite. E eft le lieu de tous les points M.

b x

a

1

De même fi yyaaxx exprime la relation de FIG. 159. AP à PM, & que l'angle AP M foit droit ; la circonference d'un cercle qui a pour rayon la droite, A B

prise fur la ligne AP, fera appellée en général un Lieu Geometrique, & en particulier le Lieu de cette équation. Car ayant mené d'un de fes points quelconques M, la perpendiculaire MP (y), on aura toûjours par la proprieté du cercle, P M (yy) D P x P B ( a a—xx) en prenant BD pour le diametre de ce cercle. D'où l'on voit que fa circonference eft le lieu de tous les points M.

1

REMARQUE.

304. Si après avoir supposé que les PM tendent F 16. 158. vers un certain côté de la ligne AB, comme vers Q, 159. on suppose ensuite qu'elles tendent vers le côté oppo. fé, comme vers G ; il faut remarquer que leurs valeurs deviennent négatives de pofitives qu'elles étoient, & qu'ainfi on a pour lors P My. De même fi après avoir fuppofé que les points P tombent d'un certain côté par rapport au point A, comme du côté de B, on fuppofe enfuite qu'ils tombent du côté oppofé, comme vers D; les AP deviendront négatives de pofitives qu'elles étoient, & on aura par confequent AP, Les pofitives de ces valeurs s'appellent auffi Valeurs vraies ; & les négatives, Valeurs fauffes. Or un lieu Geometrique doit pafler par les extremités de toutes les valeurs tant vraies que fauffes de l'inconnuë y, qui répondent aux valeurs tant vraies que fauffes de l'autre inconnuë x. Si donc l'on mene la droite AG parallele à PM, un lieu Geometrique pourra fe trouver dans les quatre angles BAQ, BAG, GAD, DAQ, comme dans le fecond exemple (fig. 159.), ou feulement dans quelques-uns de ces angles comme dans le premier (fig. 158.). Car fuppofé dans le fecond exemple, qu'on fasse d'abord AP-x, & P My, en prenant le point M fur le quart QB de la circonference; fi enfuite le point M

=

eft pris fur le quart GB, on aura A P➡x,& PM=-y; s'il eft pris fur DG, on aura A P——x,& PM ——y; & enfin s'il eft pris fur DQ, on aura AP——x, & P My ; & il viendra toûjours dans tous ces cas par la proprieté du cercle, la même équation yyaaxx ; parce que les quarrés dey & de+x font les mêmes dans tous. ces cas, fçavoir yy & xx. De même dans le premier exemple, fi en prenant d'abord le point M du côté de E fur AE,. dans l'angle QAP, on fait AP = x; & P M➡y; Ce. point M pris enfuite fur EA prolongée du côté de A dans l'angle GA D, donnera A P=-x,& PM——y ; & à caufe des triangles semblables ABE, APM, on formera cette proportion A B (a). B E ( b ) :: A P \—x ). · PM (y)- b*; & partant y= qui eft la même

1

x

bx.

équation que l'on trouve en fuppofant que le point M tombe dans l'angle B AQ.

AVERTISSEMENT.

Lorsqu'il s'agira dans la fuite de construire le lieu d'une équation donnée, on fuppofera toûjours que AP ( x ) & PM (y) foient pofitives, c'est à dire que tous les points M tombent dans le même angle B A2 Et on prendra pour le lieu de l'équation donnée la portion du lieu qui fera renfermée dans cet angle..

DEFINITION II.

Les anciens Geometres ont appellé Lieux plans, ceux qui font des lignes droites, ou des cercles; Solides, ceux qui font des Paraboles, des Ellipfes, ou des Hyperboles. Mais les Modernes diftribuënt les lieux Geometriques en differens degrés : ils comprennent fous le premier tous ceux où les inconnuës x & y n'ont qu'une dimenfion dans leurs équations; fous le fecond, tous ceux où elles n'en ont que deux ; fous le troifiéme, tous ceux où elles n'en ont que trois & ainfi de fuite. Où l'on · doit