A

LIVRE SECO N D.

De l'Ellipfe.

DEFINITIONS.

I.

YANT attaché fur un plan les deux bouts d'un fil FIG. 16. FM f, en deux points F, f, dont la distance Ffloit moindre que la longueur du fil, on fe fervira d'un stile M, pour tenir ce fil toûjours tendu ; & conduifant ce ftile autour de ces deux points, en forte qu'il revienne au même point d'où il étoit parti: ce ftile décrira dans ce mouvement, une ligne courbe, qui fera nommée Ellipfe.

2.

Les deux points fixes F, f, font nommés les deux Foyers.

3.

La ligne Aa, qui paffe par les deux Foyers F, f, & qui eft terminée de part & d'autre par l'Ellipfe, est appellée le premier ou le grand Axe.

4.

Le point C, qui divife par le milieu le premier Axe Aa, eft nommé le Centre de l'Ellipse.

La ligne Bb, menée par le Centre C, perpendiculairement au premier Axe Aa, & terminée de part & d'autre par l'Ellipfe, eft appellée le fecond ou le petit Axe:

6.

Les deux Axes Aa, Bb, font appellez enfemble, Conjugués: de forte que le premier Axe A a, eft dit conjugué au fecond B b; & reciproquement le fecond Bb, conjugué au premier A a.

7.

Les lignes MP, M K, menées des points M de l'EL lipfe parallelement à l'un des Axes, & terminées par

FIG. 17.

FIG. 16.

l'autre, font appellées Ordonnées à cet autre Axe: ainfi MP eft Ordonnée à l'Axe A a, & M K à l'Axe Bb.

8.

La troifiéme proportionnelle aux deux Axes, eft appellée Parametre de celui qui eft le premier terme de la proportion. Ainfi fi l'on fait comme le premier Axe A a, eft au fecond Axe Bb, de même le fecond Bb, à une troifiéme proportionnelle p; cette ligne p fera le Parametre du premier Axe.

9.

Toutes les lignes droites qui paffent par le centre C, & qui font terminées de part & d'autre par l'Ellipfe, fontappellees Diametres.

10.

Une ligne droite qui ne rencontre l'Ellipfe qu'en un feul point, & qui étant continuée de part & d'autre, n'entre point dedans, mais tombe au dehors, est appellée Tangente en ce point.

REMARQUE.

31. Si l'on conçoit que les deux foyers F,ƒ, & le centre C fe reüniffent en un feul point, il eft vifible que l'Ellipfe fe changera alors en un Cercle qui aura pour rayon la droite C M, égale à la moitié de la corde C M C, attachée par ces deux bouts au point C, qui en fera le centre. On pourra donc confiderer un cercle comme une espece particuliere d'Ellipfe, dans laquelle la distance des foyers eft nulle, de forte que tout ce qu'on démontrera dans la fuite de l'Ellipfe, telle que puiffe être la distance de ces deux foyers, se peut auffi appliquer au cercle, en suppofant que cette distance devienne nulle.

COROLLAIRE I.

32. IL fuit de la définition premiere, que fi l'on mene d'un point quelconque M de l'Ellipfe, aux deux foyers F,f, les droites MF, Mf, leur fomme fera toûjours la même.

COROLLAIRE II.

33. LORSQUE le point M tombe en A, il eft vifible que M F devient AF, & que Mf devient Af: de même lorsque le point M tombe en a, il eft encore visible que MF devient a F, & que Mf devient af. On aura donc A F + Aƒ, ou 2 A F+Fƒ±a F+aƒ, ou 2 af+fF; & partant AF-af. D'où il suit:

1°. Que la fomme des deux droites M F, M f, est toûjours égale au premier axe Aa, puisque Mƒ+ MF =Aƒ+AF=Aƒ+fa.

2°. Que la distance Ff des foyers, eft divisée en deux parties égales par le centre C, puifque CAAF ou CF Ca-afou Cf.

=

I

COROLLAIRE III.

34. Si de l'extremité B du second axe B b, l'on mene aux deux foyers F, f, les droites BF, Bf; il eft clair que les triangles rectangles BCF, BCf, feront égaux ; & qu'ainfi l'hypothenuse BF, est égal à l'autre hypothenuse Bf : & par confequent BF, ou Bƒ=CA ou Ca, puifque * B F + Bf⇒ A a. On prouve de même * Art. 33* que Fb ou bf CA ou Ca. D'où l'on voit :

1°. Que le fecond axe Bb, eft divifé en deux parties égales par le centre C; car les triangles rectangles F. B, Fcb feront égaux, puifqu'ils ont des hypothenufes égales FB, Fb, & le côté FC commun.

2°. Que le fecond axe Bb, eft toûjours moindre que le premier Aa; puifque fa moitié BC étant l'un des côtez du triangle rectangle BCF, fera moindre que fon hypothenufe BF, qui eft égale à la moitié CA du

mier axe Aa.

pre

3o. Que fi l'on décrit de l'une des extremitez B du petit ou fecond axe Bb comme centre & du rayon BF égal à CA, moitié du premier ou grand axe Aa, un cercle, il coupera ce grand axe en deux points F, f, qui feront les deux foyers de l'Ellipfe.

ES

COROLLAIRE IV.

35. Les mêmes chofes étant pofées, fi l'on nomme CA ou BF, t; CF, m; le triangle rectangle BCF, donnera BC-tt-mm. Or A F―t—m, & Fa=t+m, & partant AF Fatt mm. D'où il eft évident que le quarré de la moitié CB du petit axe Bb, est egal au rectangle de AF par Fa parties du grand axe A a, prises entre l'un des foyers F, & fes deux extremités A,a. COROLLAIRE V.

36. IL fera facile à present de décrire une Ellipfe dont Art. 34. les deux axes Aa, Bb, font donnez. Car ayant trouvé * fur le premier ou grand axe Aa, les foyers F, f, on attachera dans ces points, les extremités d'un fil F Mf, dont la longueur égalera celle de cet axe; & ayant décrit par le moyen de ce fil, une Ellipfe comme l'on a enfeigné dans la définition premiere, il eft évident qu'elle fera celle qu'on demande.

FIG. 16.

I

PROPOSITION I

Theorême.

37.
Si l'on mene l'ordonnée MP au premier ou grand axe
Aa, & qu'on prenne fur cet axe la partie A D égale à MF;.
Je dis que CA. CF:: CP. CD.

Ayant nommé, comme auparavant, les données CA, t; CF, m; & de plus les indetermnités CP, x; PM PM,y; & l'inconnue CD, ; il peut arriver deux differens cas. Premier cas. Lorfque le point P tombe au deflus du centre C. Comme P F eft toûjours moindre que Pf; il s'enfuit que MF ou A D fera moindre que Mfou a D ; c'est pourquoi AD ou MFt-z, aD ou Mf=t +z, FP=mx ou x-m (felon que le point P tombe au deffous ou jau deffus du foyer F), Pf=x+m. Or les triangles rectangles MP F, MPf, donnent t time.

2+x+2x=yy + mm 2 m x + xx, & t t +2+z+ ·zzyy + mm + 2 m x + xx. Donc fi l'on retranche par ordre chaque membre de la premiere égalité de ceux de la feconde, on aura 4tz — 4 mx ; d'où l'on tire

Second cas. Lorfque le point P tombe au deffous du centre C, comme PF eft toûjours plus grande que Pƒ, il s'enfuit que MF ou AD, fera plus grande que Mf ou a D : c'est pourquoi AD oụ MFt+z, a D ou Mf=tz, PF=x+m, Pfx-m ou mx x (felon que le point P tombe au deffous ou au deffus du foyer f. Or les triangles rectangles MPF, MPf, donnent tt+2+22=yy+ mm + 2 m x+xx', & tt−2tz+22➡yy+mm — 2 mx + xx. Donc fi l'on retranche par ordre chaque membre de la feconde égalité de ceux de la premiere, on aura 4tz4mx; d'où l'on tire encore CD (2). Par confequent en l'un & l'autre cas, on aura CA (t). CF (m) :: CP (x). CD (2). Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE.

38. I L eft donc évident que fi l'on nomme les données CA ou Ca, t; C F ou Cf, m; & l'indéterminée CP,x; on aura toûjours M Ft-, & Mf= mx lorf

t

& Mft +

que le point P tombe au deffus du centre C : & qu'au contraire on aura MFt+, & Mft", lorf qu'il tombe au deffous.

E

PROPOSITION II.

Theorême.

39. Le quarré d'une ordonnée quelconque MP à l'axe Aa, eft au rectangle de AP par Pa, parties de cet axe, conme le quarré de fon conjugué Bb, eft au quarré de l'axe Aa.