་་

gent point, puifque dans le triangle ABE l'angle ABE est donné, & la raison (qui dans cet exemple est ́- )

n

=

m

du côté AB (m) au côté BE (n). Or comme l'Hyperbole qui doit paffer par le point H, sera toûjours la même, telle grandeur que l'on puiffe donner à CK (e) * Art. 101. & à KH (p), pourvû que le rectangle CKKH demeure le même, il s'enfuit que l'on conftruira toûjours la même Hyperbole, telle grandeur que l'on puiffe prendre pour l'arbitraire AB)m).

L

EXEMPLE III.

343. Il faut construire le lieu de l'équation donnée xy — ay + bx + c c = o.

Comme pas un des quarrés xx & yy ne le trouve dans l'équation propofée, je puis prendre indifferemment l'une ou l'autre des deux formules, par exemple, la premiere, de laquelle comparant les termes avec ceux de la propofée, j'ai 1o. o, & partant n =o,

n

m

& m = e; je fais m = a. 2o.ousa. 3o. r =—b,

puisqueo. 4°.rs—mp

e

&

partant pb

> n, r, s,p, étant ainfi

déterminées, je conftruis le lieu de la maniere qui

fuit.

Puifque AD (r)=b, je mene parallelement à FIG. 183. P M & du côté oppofe la ligne AD=b ; & puifque BE (n) =o, je tire la droite indéfinie DG parallele à AP fur laquelle ayant pris les parties DC (s) = a, CK (e) = m'a du côté que s'étend AP, je tire la droite indéfinie CL, & la ligne K H = b+==— p parallele à PM & du côté oppofé. Je décris enfuite I'Hyperbole oppofée à celle qui ayant pour Afymptotes les droites CL, CK, paffe par le point H. Je dis

a

que fa portion indéfinie O M renfermée dans l'angle PAS, faite par la droite indéfinie AP & par la ligne AS menée parallelement à P M & du même côté, lera le lieu cherché.

Car GM ou PG+PM=y+b & CG ou C D — D G = α = x; & par confequent CG GMay-xy +ab➡bx=CA× KH (ab+cc); ce qui, en effaçant de part & d'autre le rectangle ab, & tranfpofant à l'ordinaire, donne xy-ay+bx+cc=o qui eft l'équation propofee.

Il auroit été inutile dans cet Exemple de décrire l'Hyperbole qui pafle par le point H; car aucun de fes points ne pourroit tomber dans l'angle PAS, où l'on fuppofe que doivent tomber les points M.

REMARQUE.

344. S'IL arrive qu'en comparant les termes de la formule avec ceux de l'équation donnée, on trouvâr que p=0; on voit qu'il feroit alors impoffible de décrire l'Hyperbole qui en devroit être le lieu, puifque fa puiffance qui est égale au rectangle pe feroit nulle. Mais alors l'équation fe pourroit toujours abaifler, en forte que fon lieu deviendroit une ligne droite; car effaçant par exemple dans la premiere formule du Lemme le terme x = rx + m2 s

elle devient xy.

n

m

mp,
=0, qui étant divisée par 2*

ех
-

- my + "x-rx

-s donne y

* Art. 306. dont le lieu est une ligne droite.

PROPOSITION VI..

Problême.

345. CONSTRUIR

NSTRUIRE tout lieu du fecond degré, fon

équation étant donnée.

Tous les termes de l'équation étant mis d'un même côté, en forte que l'un des membres foit zero, je dif tingue deux differens cas.

Premier cas. Lorsque le plan xy ne fe trouve point dans l'equation donnée. 1°. S'il n'y a que l'un des quarres yy ou xx, le lieu fera une * Parabole. 2°. Si les deux * Art. 310. quarres yy & xx s'y trouvent avec les mêmes fignes, le

lieu fera une Ellipfe ou un cercle. 3°. Si ces deux quar. *Art. 324 rés s'y rencontrent avec differens fignes, le lieu fera

*

une Hyperbole ou deux Hyperboles oppofées rappor- * Art. 332.

tées à fes diametres.

Second cas. Lorfque le plan xy se trouve dans l'équation donnée. 1°. Si pas un des quarrés yy & x x ne s'y rencontre ou feulement l'un des deux, le lieu fera une Hyperbole entre fes Afymptotes. 2°. Si les * Art. 339. deux quarrés yy & xx s'y trouvent avec differens fignes, le lieu fera * une Hyperbole rapportée à fes dia- * Art. 332. metres. 3°. Si ces deux quarrés s'y rencontrent avec les mêmes fignes, on délivrera le quarré yy de frac tions, & le lieu fera une Parabole lorique le quarré de la moitié de la fraction qui multiplie xy eft égal à la fraction qui multiplie le quarre xx; une * Ellipfe *Art. 324. ou un cercle lorsqu'il eft moindre ; & enfin une * Hyper- * Art. 33 2. bole ou deux Hyperboles oppofées rapportées à fes diametres lorfqu'il eft plus grand.

On décrira le lieu felon l'article 310. s'il eft une Parabole, felon l'article 314. s'il eft une Ellipfe ou un cercle; felon l'article 332. s'il eft une Hyperbole ou deux Hyperboles oppofées rapportées à fes diametres; & enfin felon l'article 339. fi c'eft une Hyperbole entre fes Afymptotes. Tout ceci n'eft qu'une fuite de ces quatre articles.

COROLLAIRE.

346. UNE équation du fecond degré étant donnée, comme la Section Conique que l'on trouve par

* Art. 310.

Art. 314. les regles prefcrites eft le lieu de toutes les valeurs tant vraies que fauffes de l'inconnue y, qui répondent aux valeurs tant vraies que fauffes de l'autre inconnuë x; ik s'enfuit qu'il ne peut y avoir que cette feule Section qui foit le lieu de l'équation donnée.

LIVRE HUIT.