249 LIVRE HUITIEM E. Des Problêmes indéterminés. PROPOSITION GENERALE. 347. TROUVER le lieu d'une infinité de points qui FIG. 184. ayent tous certaines conditions marquées; lorfque ce lieu ne passe point le fecond degré. 1o. On fuppofera comme connues & déterminées deux lignes droites inconnues & indéterminées AP (x); PM (y), qui faffent entr'elles un angle APM donné ou pris à difcretion ; & dont l'une AP ait une origine fixe & invariable en un point A, & s'étende le long d'u ne ligne donnée de pofition; l'autre P M qui détermine toûjours par fon extremité M, l'un des points cherchés, change continuellement d'origine, & foit toûjours parallele à la même ligne. 2°. On tirera les autres lignes que l'on jugera utiles à la folution du Problême, & on les exprimera par des lettres ; fçavoir, les connues par les premieres lettres de l'Alphabet, & les inconnues par les dernieres. 3°. On regardera la queftion comme refoluë, & après en avoir parcouru toutes les conditions, on arrivera enfin à une équation qui ne renfermera que les deux inconnuës x &y mêlées avec des connues. 4°. Cette équation dans laquelle on fuppofe que les inconnues x & y ayent au plus deux dimenfions, étant formée, on en conf truira le lieu felon les regles prefcrites dans le Livre pré-cédent; & le lieu ainfi conftruit refoudra la question. Tout ceci s'éclaircira par les Exemples qui fuivent. EXEMPLE I. 348. Τκουν ROUVER dans l'angle donné BAC le point F16. 184. M, tel qu'ayant mené de ce point les deux droites M F, MG, qui faffent fur les côtés AB, AC, toûjours vers la même part, des angles donnés M FB, MGC; la Art. 306. droite MF foit toûjours à la droite MG en la raison donnée de a à b. Et comme il y a une infinité de ces points, on demande la ligne qui les renferme tous, & qui en eft par conféquent le lieu. Par le point M, que l'on fuppofe être un des points cherchés, ayant mené la ligne M P parallele à AC; on confiderera les deux droites inconnues & indéterminées AP(x), PM(y), comme connuës & déterminées. On prendra fur le côté A B la partie A B➡ a, on tirera les droites BC, BD, paralleles à MF, MG, & qui rencontrent aux points C, D, l'autre côté AC prolongé, s'il eft necessaire; & on nommera les connuës AC,c; BC,f; BD,g. Prefentement menant MQ parallele à AB, les triangles semblables ACB, P MF, & ABD, QM G, donneront ces deux proportions: AC (c). CB (ƒ) :: MP (y). MF =f2, & A B (a). BD (g) :: MQ ou AP (x). MG =; ce qui fatisfait à la premiere condition du Problême, puifque les lignes MF, MG, font toûjours fuppofées paralleles aux deux mêmes droi tes BC, BD, qui font fur les côtés AB, AC, les angles donnés. Or par la feconde condition qui reste à accomplir, il faut que M F (2). MG (†2). MG (**) :: a, b ; d'où gr l'on tire l'équation y qui renferme toutes les con- foit tirée la droite indéfinie A E. Je dis qu'elle fera le lieu Car ayant mené par un de ses points quelconques M les droites MP, M 2, paralleles aux deux côtés AC, A B, & les droites M F, MG, paralleles à B C, BD,& qui font par conféquent fur les deux côtés AB, AC, les angles donnés j on aura à caufe des triangles fembla * bles AHE, AP M, cette proportion; AH (b). ᄐ НЕ (笑) :: AP (x). P M (y) =*, & à cause des triangles semblables ACB, P MF, & ABD, Q MG, bf =* ; & AB (a). BD (g) :: MQ ou AP (x). MG g -**. Et par conféquent MF (E). MG(): a. b. Ce qui étoit propofé. Je n'ai refolu cette question par le calcul, que pour FIG. 185. la rapporter à la Propofition generale, & commencer par des Exemples fimples & aifés à en faire voir l'appli cation; car on peut refoudre ce Problême fans aucun calcul, & d'une maniere plus facile en cette forte. Soient tirées les droites A K, AL, qui faffent fur AB, AC, les angles donnés KAB, LAC, & qui foient entr'elles en la raifon donnée de a à b. Soient menées les droites KM, LM, paralleles aux côtés A B, AC, & qui fe rencontrent au point M; par où, & par le fommet A de l'angle donné BAC, foit tirée la ligne A M: Je dis qu'elle fera le lieu cherché. Car ayant mené d'un de fes points quelconques E les droites ER, ES, paralleles à AK, AL, on aura à caufe des triangles femblables A E R, MAK, & AES, MAL, ces proportions E R. AK:: AE. AM:: ES. AL. Et partant E R. ES:: AK. AL:: a, b. 349. LES EXEMPLE II. Es paralleles AB, CD, étant données de FIG. 186. pofition; trouver le lieu de tous les points M tellement placés entre ces lignes, qu'ayant tiré les droites M P MG; qui faffent avec elles toûjours vers la même part des angles donnés M P B, MGD; elles foient toûjours entr'elles en la raison donnée de a à b. Ayant pris pour l'origine fixe des indéterminées A P (x), un point quelconque A de la ligne AB, & les deux droites inconnuës & indéterminées AP (x), PM (y) étant fuppofées connues & déterminées, on menera les lignes AC, AE, paralleles aux deux droites, MP, MG; & on nommera les connuës AC, c; AE, f; Cela fait, on prolongera P M jufqu'à ce qu'elle rencontre CD en F; & les triangles semblables CAE, F MG, donneront AC (c ). A E (f) :: M F (c —y). MG =f=ƒ3. Or selon la condition du Problême qui reste à accomplir, il faut que MP (y). MG (ffy) :: a. b; d'où l'on tire l'équa a cf tion y = qui renferme toutes les conditions du Probc+ af * Art. 307. blême, & dont le lieu qui eft * une ligne droite indéfi nie H M menée parallelement à A B en forte que A H FIG. 187. acf bc+ éft par conféquent le lieu cherché. EXEMPLE III. 350. DEUX EUX points A, B, étant donnez, en trouver un troifiéme M, tel qu'ayant mené les droites MA, MB ; elles foient toûjours entr'elles en raifon donnée de a à b. Et comme il y a une infinité de ces points M, il est question de décrire le lieu qui les renferme tous. Il peut arriver trois differens cas felon que a eft moindre, plus grand, ou égal à 6. Premier cas. Par le point M, que je fuppofe être un de ceux qu'on cherche, ayant mené la ligne MP perpendiculaire fur AB (car n'y ayant point d'angle donné dans le Problême, on choifit l'angle droit comme le plus fimple), & les deux droites inconnues & indéterminées AP (x), P M (y) étant fuppofées connues & déterminées, on nommera la donnée AB, c; & à caufe des triangles rectangles AP M, BPM, on aura les quarrés♫ M2= xx+yy, BM2 = c c — 2 c x + x x + yy. Or par la condition du Problême, AM (xx+yy). BM (cc — 2 x + xx+yy) :: aa. bb. D'où (en multipliant les extrêmes & les moyens & divifant enfuite ВМ 2 ر A |