EXEMPLE VI. 355. SOIENT T imaginées une infinité d'Hyperboles F 1 G. 193. qui ayent toutes pour Afymptotes communes les mêmes droites AP, AO, données de pofition, qui font entr'elles un angle droit PAO; & foient conçues partir d'un point donné C une infinité de perpendiculaires comme CM à ces Hyperboles. On demande le lieu de tous les points M, où chacune des droites CM rencontre l'Hyperbole à laquelle elle eft perpendiculaire. Ayant tiré les mêmes lignes que dans l'exemple precedent, & les ayant nommées par les mêmes lettres, on arrivera de même à cette proportion TP * ( x ). * Art, 107. PM (y) :: CK (b − y). K M (à -x); ce qui donne cette equation yy-by-xxaxo, dont voici* le * Art. 330. lieu. Ayant pris fur l'Afymptote 40 parallele à PM, la partie Db, & mené DL parallele à A P ; on prendra fur cette ligne la partie DE ➡a du côté de PM, & de part & d'autre du point E, les parties E F E G, égales chacune à Vaabbou V÷bb—aa felon que a eft plus grand ou moindre que b. On décrira enfuite de la ligne FG, comme premier axe dans le premier cas, & comme second dans le deuxième, deux Hyperboles oppofées équilateres. Je dis que leurs portions renfermées dans l'angle PAO, feront le lieu de cette équation, & par conféquent celui de tous les points cherchés M. - 04335. Car prolongeant PM (s'il eft neceffaire) jufqu'à ce qu'elle rencontre l'axe FG, en L, on aura l'ordonnée ML = b — y, & la partie E Ix — a ; &* par la * Art. 1273 proprieté des Hyperboles équilateres ELEF (xx—ax+ — bb) — L M ( ; b b —by+yy). Donc &c. Si ab, la conftruction precedente n'a plus de lieu, car la valeur du demi axe EF ou E G devient nulle. Et comme l'équation precedente devient celle ci yy-ay —×××× •, ou y yayaa=xx➡ax➡+÷aa de laquelle extrayant de part & d'autre la racine quar I ī - a ou ya — x ; il s'enfuit que fi l'on acheve le rec FIG. 194. tangle ABCO, & qu'on tire les deux diagonales AC, BO: elles feront le lieu de tous les points cherchés M. Car la diagonale AC eft le lieu de la premiere équation y=x, & l'autre diagonale BO eft le lieu de la deuxième y=a-x. FIG. 19j. REMARQUE I. 356. Si la nature des lignes courbes qui ont pour Afymptotes les droites AB, AO, étoit exprimée par *Art. 229, l'équation generale xy" a" qui renferme les Hyperboles de tous les degrés à l'infini, on auroit T p* (x). PM (y) :: C K (b − y). K M (a — x ) ; ce qui * Art. 237. * Art. 330. m - donne yy-by-xx+ax=x, dont le lieu fe conftruitainfi. m Ayant trouvé le point E comme dans l'exemple, on prendra fur DL de part & d'autre du point E, les parties EF, EG, égales chacune à V÷aa—mbb ou V m bb — — aa ; felon 4n 4 2 que na a eft plus grand ou moin dre mbb. Enfuite de la ligne F G comme premier Si á. b :: vm. √n, l'équation yy-by FIG. 194. fe change en celle-ci yy-ay V? n m m 4m quelle extrayant de part & d'autre la racine quarrée, il vient.. n vient y — a V~=xV" — a√, ou y=x√1⁄2 ; & m m m il fuit m que fi l'on acheve le rectangle ABCO, & qu'on tire les diagonales BO, AC, ces deux lignes droites feront le lieu de tous les points cherchés M: car la diagonale AC eft le lieu de la premiere équation y=× √; & l'autre diagonale B a le lieu de la feconde y=a V 199 m On prouvera de même que dans l'Ellipfe, que les Hy- FIG. 193. perboles oppofées qui font le lieu cherché, doivent être décrites autour du rectangle donné ABCO ; & comme l'axe FG, parallele aux côtés AB, OC, doit être à son parametre en la raison donnée de mà n, il s'enfuit qu'on peut décrire, fi l'on veut, ces Hyperboles par moyen de l'article 176. (Liv. 4.) I REMARQUE IT.. le 357. Si le centre E de l'Hyperbole BF C tomboit F-16. 1937 fur le point 4, & fon axe F G fur la ligne AP; je dis que cette Hyperbole couperoit à angles droits toutes celles qui ont pour Afymptotes les droites AP, AO; ce qu'on peut énoncer ainfi. Soient une infinité d'Hyperboles de tel degré qu'on FIG. 195. voudra, qui ayent toutes pour Afymptotes communes les mêmes droites AP, AO, qui font entr'elles un angle droit ; & foit une Hyperbole ordinaire F M qui ait pour centre le point A, & dont le premier axe F G fitué fur AP, foit à fon parametre comme le nombre m expofant de la puiffance de AP (x) eft au nombre n expofant de la puiffance de P M (y) dans l'équation generale xy” aqui exprime la nature des Hyperboles MA M. Je dis que l'Hyperbole F M coupe à angles droits toutes ces differentes Hyperboles.. L.I. Ayant mené par le point M où elle coupe telle de ces Hyperboles qu'on voudra, une tangente MT à cette Hyperbole, & une perpendiculaire MS à cette tangente, il s'agit de prouver que l'angle TMS fera droit. pour le faire, on tirera MP perpendiculaire fur l'Afymptote AP; & ayant nommé les indéterminés AP,x; PM,y; & la donnée F G, 2t; on aura par la proprieté de l'Hyperbole F M cette proportion FP PG (xx—tt). PM (yy) :: m. n, & partant my y = n xx. myynxx ntt. Or à * Art. 237. cause des angles droits TPM, TMS, il vient TP* (2×). * Art. 121. FIG. 196. PM (y) :: PM (y). PS. Et par confequent AS valeur qu'on vient de trouver nxx-ntt. D'où l'on voit que AS eft troifiéme proportionnelle à AP, AF & qu'ainfi la ligne M S touche l'Hyperbole F M au point M. Ce qu'il falloit démontrer. EXEMPLE VII. 358. LA Parabole BAC étant donnée, on demande le lieu de tous les points M, tels qu'ayant mené de chacun de ces points, deux tangentes MB, MC, à cette Parabole ; l'angle B MC qu'elles comprennent foit toû jours égal à un angle donné. Il· peut arriver que l'angle donné B M C foit aigu, ob. tus, ou droit, ce qui fait trois differens cas. * Premier cas. Lorfque l'angle donné BMC eft aigu. * Art. 160. Ayant mené l'axe AD de la Parabole donnée BAC, qui rencontre les tangentes M B, MC, aux points F, G, on tirera fur cet axe des points touchans B, C, & du point de concours M, les perpendiculaires BD, CE, MP. Et ayant mené M N qui fafle fur l'axe AD l'angle FN M égal à l'angle FMG complement à deux droits de l'angle donné BMC, on nommera les inconnuës & indéterminées AP,x; PM,y; AF, S ; AG,¡ ; |