née P M * ira toûjours en diminuant; d'où il fuit que * Art. 44. la ligne droite CM, qui paffe par le centre, ne rencontre l'Ellipfe qu'en un point M du même côté de l'axe; & il en eft de même pour le point m pris de l'autre côté. Donc &c. DEFINITIONS. II. Si l'on mene par un point quelconque M de l'Ellipfe, FIG. 21. 22. un diametre M Cm, une ordonnée M P à l'un ou l'autre axe Aa, & une ligne droite MT, en forte que CT foit troifiéme proportionnelle à CP, CA; le diametre SCS parallele à MT, eft appellé Diametre conjugué au diametre Mm; Et réciproquement le diametre M m eft dit conjugué au diametre Ss: de forte que les deux enfemble font appellés Diametres conjugués. Toutes les lignes droites menées des points de l'Ellipfe parallelement à l'un de ces deux diametres, & terminées par l'autre, font appellées Ordonnées à cet autre. Ainfi NO parallele au diametre Ss, est Ordonnée à son conjugué M m. 13. La troifiéme proportionnelle à deux diametres conjugués, eft appellée Parametre du premier de la proportion. Ainfi la troifiéme proportionnelle à Mm, Ss, eft appellée Parametre du diametre Mm. COROLLAIRE. 51. Si l'on nomme la donnée CA, t; & les indéterminées CP, x; PT, s; il est clair, felon la définition 11o que CT (x+5)=; & qu'ainfi sx=tt−xx =AP Pa. * tt * Art. SI. PROPOSITION V. Theorême. 52. S.1 l'on mene par les extremités M., S, de deux diatres conjugués Mm, Ss, deux ordonnées MP, SK, à un axe Aa: je dis que la partie CK de cet axe, prife entre le centre &la rencontre de l'une des ordonnées SK,eft moyenne proporttonnelle entre les deux parties AP, Pa, faites par la rencon tre de l'autre ordonnée MP. Il faut prouver que CKAP Pa. Ayant nommé les connues CA,t ; CP, x; PT, s ; &. l'inconnue CK, m; on aura APxPa-tt-xxsx,,. & AK *Katt-mms xxxmm en mettant pour tt fa valeur xxsx. Cela pofé, la proprieté de Art. 42. I'Ellipfe* donnera APPa(sx). AK× Ka (sx+xxmm)::: PM. KS :: TP (ss). C K (mm). à caufe des triangles femblables TPM, CKS. D'où l'on tire en multipliant les extrêmes & les moyens, & en tranfpofant à l'ordinaire, CK (mm qu'il falloit démontrer. =5x=AP-Pa. Ce COROLLAIRE. 53. PUISQUEÇK➡=tt—xx, il * Art. 41% CK ou AK Ka—xx. AK× Ka (xx). SK = -3 2 Or* CA' (tt), CB (cc):: Et CA (tt). CB (cc) :: AP × På (t tmx x). PM-cc. De plus à cause des tt 2 triangles rectangles CPM, CKS, on aura le quarré C Mou CP+PM = XX + cc_"**, & le quarré CS ou C K +KS = ttxx+. Donc CM+CS=tt+cc.. C'est à dire que la fomme des quarrés de deux diametres conjugués quelconques Mm, Ss, eft égale à la fomme. des quarrés des deux axes Aa, B b.. E PROPOSITION VI Theorême. 54. Le quarré d'une ordonnée quelconque ON au diametre Mm, eft au rectangle de MOxOm fait des parties de ce diametre ; comme le quarré de fon conjugué Ss, eft au quarré du même diametre M m. 3 Il faut prouver que ON. MO*Om:: Ss. Mm'. Ayant mené les paralleles NQ, OH, à l'axe Bb, & la parallele OR à fon conjugué Aa, qui rencontre au point R l'ordonnée NQ prolongée, s'il eft neceffaire; on nommera les données CP, x; PM,y; CA, t; PT, s ; & les indéterminées HQ ou OR, a; CH,b; & on aura à cause des triangles femblables CPM, CHO,& MPT, N RO, ces deux proportions C P (x), PM (y) :: by CH (b). HO ou R Q = Et TP (s). PM (y):: OR Puifque (fig. 21.) NQ eft toûjours la difference de RQ (22), RN (~2), & co la fomme de CH (b), HQ (a), lorfque le point N tombe entre les points M, S, ou m, s; & qu'au contraire (fig. 22.) NQeft toû jours la fomme de RQ, RN, & Co la difference de CH, H2, lorfque le point N tombe par tout ailleurs: bbyy 2abyy aayy on aura N2= !+ 22?3, & c2=aa xx 2ab+bb; fçavoir. Sx & au contraire + 2aby & 2 ab dans le fecond cas. Or** Art. 42. Sx AP×Pa(tt—xx). AQ× Q4 ou CA —CQ (tt—aa±zab—bb) :: PM ̊ (yy). QN2 = 1 y ya ay ya by y—bby. En compa tt-xx rant ensemble ces deux valeurs du quarré de N 2, on formera l'égalité +++ 2abyy + aayy styy—anyy±zabyy—bbyy, dans laquelle effaçant d'une part le ༔ terme + 2y & de l'autre le terme +2abyy tt-xx qui lui eft *Art. 51. égale, puifque * sx=tt_xx, & divifant par yy, il vient bb aa + xx ta abb tt-xx Si l'on multiplie par xx, & qu'on tranfpofe bb, on trouvera aaxx a axt Ou tt xxaaxx 4 bbtt x—bb**; & multipliant tt-xx d'où le premier membre par ssxx, & le fecond par le quarré Maintenant fi l'on nomme le demi diametre C M ou cm, z; on aura à cause des triangles semblables CPM, CHO, cette proportion CP(x). CM (2) :: CH(b). CO=b. Et partant MOOmz. Or les trian gles femblables ORN, CKS, donnent ON. CS :: OR * Art. 57.. (tt—xx➡bb bb). CK (tt_xx) :: MO×·0m xx zx = b b 2 x ) C.M* (23). Puisqu'èn multipliant les extrêmes & les (༢<). moyens, on trouve le même produit. Donc ON ̊. * Art. 50.. MO ×0 m:: CS.CM:: Ss. Mm. Ce qu'il falloit, &c. COROLLAIRE GENERAL. 55. Ix Left vifible que ce qu'on a démontré dans la Propofition feconde par rapport aux deux axes Aa, Bb, s'étend par le moyen de cette Propofition à deux diametres conjugués quelconques Mm, S's. Or comme les articles 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47, 48 & 49, se tirent de la feconde Propofition, & fubfiftent également, foit que l'angle AC B foit droit ou qu'il ne le foit pas ; il s'enfuit que fi l'on fuppofe dans ces articles, que les li-. gnes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes foient deux. diametres diametres conjugués quelconques, ils feront encore vrais dans cette fuppofition : car leur démonftration demeurera toûjours la même ; & il ne faut pour s'en convaincre entierement, que les relire en mettant par tout où se trouve le mot d'Axe celui de Diametre. COROLLAIRE II. 56. COMME les articles 44 & 49, Сомм fubfiftent avec la F 1.6. 23. même force, lorfque les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, font deux diametres conjugués quelconques, tels que Mm, Ss; il s'enfuit que la ligne MT menée par le point M l'une des extremités d'un diametre quelconque Mm, parallelement à fon diametre conjugues Ss, eft tangente en M, & qu'il n'y a que cette feule ligne qui puiffe toucher l'Ellipfe en ce point. D'où l'on voit que d'un point donné fur une Ellipfe, on ne peut mener qu'une feule tangente. COROLLAIRE LII 57. DE-LA il est évident, felon la définition 11o, que: fi l'on mene par un point quelconque M d'une Ellipfe,. une ordonnée M P à l'un ou l'autre axe A a; & qu'ayant pris CT du côté du point P, troifiéme proportionnelle. à CP, CA, on tire la droite MT: cette ligne M T sera tangente en M. Et reciproquement, que fi la ligne MT eft tangente en M, & qu'on mene l'ordonnée MP à l'un ou l'autre axe A a, les parties CP, CA, CT de cer axe, feront en proportion geometrique continuë. I COROLLAIRE I V. 58. Si l'on imagine dans les définitions 11, 12 & 13, & dans les deux dernieres Propofitions, que les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, foient deux diametres conjugués quelconques; on verra que ces Propofitions feront encore vraies, puifqu'elles fe démontreront de la même maniere qu'auparavant : comme il eft évident par l'inspection de la figure 23, où les triangles E. |