point M décrira dans ce mouvement l'Ellipfe qu'on

cherche.

PROPOSITION

7C. DEUX

Problême.

XIV.

EUX diametres conjugués A a, Bb, d'une Ellipfe

étant donnés ; la décrire par plufieurs points.

PREMIERE MANIERE.

F1

Ayant mené par l'une des extremités A de l'un des dia- FIG. 34. metres donnés A a, une parallele indéfinie DAD à fon conjugué Bb, on tirera A perpendiculaire à AD,& egale à la moitié CB du diametre Bb, on joindra OC; & on décrira un cercle du centre 0, & du rayon OA. Cela fait on menera librement de part & d'autre de CA, autant de lignes CD, CD, &c. qu'on voudra; & ayant tiré des points D, D, &c. où elles rencontrent la ligne DAD, au centre O, les lignes DO, DO, &c. qui coupent la circonference du cercle aux points N, N, &c. on menera des droites NM, NM, &c. paralleles à OC, lefquelles rencontrent aux points M, M, &c. les droites correfpondantes CD, CD, &c. fur lesquelles on marquera de l'autre côté du centre C des points m, m, &c. qui en foient également éloignés. Il est évident que la ligne courbe qui paffera par Art. 63. tous les points M, M, &c; m, m, &c. ainfi trouvés,aura pour diametres conjugués les droites A a, Bb.

SECONDE MANIER E.

*

Ayant pris fur l'un des demi diametres CB, de peti. FIG. 35. res parties CE, EE, &c. égales entr'elles, de telle grandeur qu'on voudra, & autant que ce demi-diametre en pourra contenir; on lui menera les perpendiculaires E D, ED, &c, qui rencontrent la circonference circulaire décrite du centre C & du raïon CB, aux points D, D, &c. Ayant joint A B, on tirera par celui des points E, qui est le plus proche du centre C, la ligne EP parallele à A B,

* Art. 43.

& 55.

qui rencontre CA au point P. On prendra fur le diame metre A a de part & d'autre du centre C, autant de parties PP, PP, &c. égales à CP, qu'il en pourra contenir; & on menera par tous les points P, P, &c. des paralleles MP M, M P M, &c. au diametre Bb, fur chacune: defquelles on prendra de part & d'autre du point P, des. parties P M, PM, égales chacune à fa correfpondante ED. Je dis que la ligne courbe qui paffe par tous ces points M, fera l'Ellipfe qu'on demande.

Car nommant les données CA, t; C B ou CD, c; & les indéterminées CP, x; PM,y; on aura à caufe des triangles femblables CAB, CPE, cette proportion CA (t), CB ( c) : : C P ( x). CE=. Et à cause du triangle

t

3.

CED rectangle en E, le quarré E Dou PM (yy)= CD ̊ (cc) — CE (**). La ligne P M sera donc * une ordonnée au diametre Aa. Et comme cette démonstration convient à toutes les lignes P M ; puifque chaque CP eft toûjours à fa correfpondante CE, en raifon de CA à CB: il s'enfuit que la Courbe qui paffe par tous les points M trouvés comme cy-deffus, fera l'Ellipfe qu'on demande.

A

LIVRE TROISIE M E.

De l'Hyperbole.

DEFINITION S..

4.

YANT attaché sur un plan en un point ƒ l'une des FIG. 36. extremités d'une longue regle fMO, en forte qu'elle puifle tourner librement autour de ce point fixe f, comme centre; on attachera à son autre extremité O, le bout d'un fil OM F, dont la longueur doit être moindre que celle de la regle, & duquel l'autre bout sera attaché en un autre point F, pris auffi fur ce plan. Maintenant, fi l'on fait tourner la regle fMO autour du point fixeƒ, & qu'en même temps l'on fe ferve d'un ftile M pour tenir le fil OM F, toûjours également tendu, & fa partie MO toute jointe & comme collée contre le bord de la regle : la ligne courbe AX décrite dans ce mouvement, est une portion d'Hyperbole.

Si l'on renverse la regle de l'autre côté du point F, on décrira de la même forte l'autre portion AZ de la même Hyperbole.

Mais, fi fans changer la longueur de la regle, ni celle du fil, on attache l'extremité de la regle en F, & celle du fil enf, on décrira en la même forte une autre ligne cour be xaz opposée à la premiere AZ, qui eft encore appellée Hyperbole, & les deux ensemble font nommées Hyperboles oppofées.

2.

Les deux points fixes F,f, font nommés les Foyers.

3.

La ligne A a, qui paffe par les deux foyers F, f,& qui eft terminée de part & d'autre par les Hyperboles oppofées, eft appellée le premier Axe.

4.

Le point C, qui divife par le milieu le premier axe A a, eft nommé le Centre,

5.

Si l'on mene par le centre C une perpendiculaire in définie B b au premier axe A a ; & que du point A, comme centre, & de l'intervalle CF, on décrive un arc de cercle qui la coupe aux points B, b: la partie Bb de cette. perpendiculaire, eft appellée le fecond Axe.

6

Les deux axes Aa, Bb, font appellés ensemble Conjugués, de forte que le premier axe Aa, eft dit Conjugué au fecond Bb; & reciproquement le second Bb, Conjugué au premier A a.

7.

Les lignes MP, M K, menées des points M. des Hy.. perboles opposées parallelement à l'un des axes conjugués, & terminées par l'autre, font appellées Ordonnées à cet autre axe. Ainfi M Pest Ordonnée au premier axe A a, & MK au fecond Bb.

8.

La troifiéme proportionnelle aux deux axes, eft appellée Parametre de celui qui eft le premier terme de la. proportion. Ainfi fi l'on fait comme le premier axe A a, eft au fecond axe Bb, de même le fecond axe Bb, à une. troifiéme proportionnelle p; cette ligne p fera le Parametre du premier axe A a.

9.

Toutes les lignes qui paffent par le centre C, font appellées Diametres : ceux qui rencontrent les Hyperboles oppofees, premiers Diametres, & ceux qui ne les rencon-, trent point, quoique prolongées à l'infini, feconds Dia

metres.

10.

&

Une ligne droite qui ne rencontre une Hyperbole qu'en un feul point, & qui étant continuée de part d'autre, n'entre point dedans, mais tombe, au dehors, eft appellée Tangente en ce point..

REMARQUE.

REMARQUE.

71. ON a N a dit dans la premiere définition que la lon- FIG. 37. gueur du fil FMO doit être moindre ou plus grande que celle de la regle fMO, dont la raison est que s'il étoit égal à cette regle, le ftile M décriroit dans ce mouvement, une ligne dont tous les points M feroient également diftants des deux points F,f, puifque retranchant du fil & de la regle, la partie commune MO, les reftes MF, Mf, feroient toûjours égaux entr'eux. D'où il eft vifible que cette ligne ne feroit autre qu'une ligne droite indefinie Bb, menée perpendiculairement à la droite Ff par fon point de milieu c..

L

C.

COROLLAIRE I

72. Iz fuit de la définition premiere, que fi l'on me. FIG. 36. ne d'un point quelconque M, de l'une des Hyperboles oppofées, aux deux foyers F, f, les droites MF, Mf, leur difference. fera toujours la même. Car elle fera toujours égale à la difference qui fe trouve entre la longueur de la regle & celle du fil.

COROLLAIRE II.

73: LORSQUE le point Mtombe en A, il est visible que MF devient AF, & que Mf devient Af; & de même lorfque le point M tombe en a, en décrivant l'Hyperbole oppofée xaz; il eft encore visible que MF devient a F, & que Mfdevient af. Donc puifque la difference de ces deux droites eft par tout la même, on aura Af AF ou Ff2 AF-a Fafou Ff-2 af; & partant A Faf. D'où il fuit:

1°. Que la distance Ffdes foyers, est divisée en deux parties égales par le centre C; puisque CA+AF ou CF=Ca+af ou Cf.

2°. Que la difference des deux droites M F, Mf, est toûjours égale au premier axe Aa; puifque dans l'Hy. perbole XAZ, on a toûjours M f—M F—A ƒ—A Fou

G