Af-1f; & que dans fon oppofée xaz, on a auffi tofjours MF-Mfa Faf ou a F-AF.

COROLLAIRE III.

74. IL fuit de la définition cinquième.

1°. Que le fecond axe Bb, eft divifé en deux parties égales par le centre C; car les triangles rectangles ACB, ACb, feront égaux, puifqu'ils ont des hypothenuses égales AB, Ab, & le côté AC commun.

2o. Que fi l'on prend fur le fecond axe Bb, la partie CE égale à la moitié C du premier, & qu'on tire l'hypothenufe A E: le fecond axe Bb fera plus grand, égal, ou moindre que le premier Aa ; felon que la droite C F, eft plus grande, égale, ou moindre que l'hypothenuse AE; parce que l'hypothenufe Ab, prise égale a CF, fe trouvera auffi pour lors plus grande, egale, ou moindre que l'hypothenuse A E.

3°. Que fi l'on prend fur le premier axe Aa de part & d'autre du centre C, les parties CF, Cf, égales chacune à l'hypothenuse A B du triangle rectangle CAB, formé par les deux demi-axes CA, CB : les points F, f, feront les deux foyers.

COROLLAIRE IV.

75. Les mêmes chofes étant pofées, fi l'on nomme CF ou AB, m; CA, ou Ca, t; le triangle rectangle АСВ, donnera BC-mm-tt. Or A F=mt, & Fam+t; F* & partant A F Fa-mm-tt. D'où il eft évident que le quarré de la moitié C B du fecond axe Bb, eft égal au rectangle de AF par Fa parties du premier axea, prifes entre l'un des foyers F, & fes deux extremités, A, a.

COROLLAIRE V.

76. IL fera maintenant facile de décrire les Hyperboles oppofées dont les deux axes Aa, Bb, font donnés, & dont l'on fait que l'axe Aa doit être le premier. Car

*

ayant trouvé * fur le premier axe da, les foyers F, f› * Art. 74. on attachera dans le point F, le bout d'un fil FMO, duquel l'autre bout O, fera lié à l'extremité d'une longue regle o Mf, mobile fur fon autre extremité f autour du foyer f, & dont la longueur O Mf doit être moindre ou *Art. 71. plus grande que la longueur du fil OMF, de la ligne Aa. Ayant enfuite décrit par le moyen de cette regle & de ce fil, deux Hyperboles oppofées XAZ, xaz, comme l'on a enfeigné dans la définition premiere, il eft évident qu'el les auront pour premier axe, la ligne Aa, & pour fecond, la ligne Bb. Et c'eft ce qu'on demandoit.

Plus la regle O Mf, fera longue, & plus les portions des Hyperboles oppofées, qu'on décrira par le moyen de cette regle, feront grandes; de forte qu'on les peut aug. menter autant que l'on voudra, en augmentant également la longueur de la regle & celle du fil.

PROPOSITION. I.:

Theorême.

77. Si l'on mene l'ordonnée MP au premier axe A ́ ̈à, & qu'on prenne fur cet axe prolongé la partie AD égale à MF, du côté du foyer F lorfque le point M tombe fur l'Hyperbole XAZ, & du côté du foyer f lorfqu'il tombe fur fon oppofée xaz; je dis que CA. CF CP. CD.

Ayant nommé comme auparavant les données CA ou Ca, t; CF ou cf, m; & de plus les indéterminées CP, x, PM,y; & l'inconnuë CD, z, on aura dans le premier cas, AD ou MFt, a D ou Mfq+1, F P➡x-m ou mx (felon que le point P tombe au deffous ou au deffus du foyer F), Pf=x+m: & dans le fecond cas, AD ou MF-2+t, a Dou Mf-t FP=x+m, Pf=x-m ou mx felon que le point P tombe au deffus ou deffous du foyer f.

Cela pofé, le triangle rectangle MPF donnera zzzz Let t=y y + x x 2m x+mm; fçavoir, dans le premier

cas,

dans le fecond ; & l'autre triangle rectangle MPF donnera z2z+tt—y y+xx+2mx+mm; fçavoir, dans le premier, & — - dans le fecond.

Maintenant, fi l'on retranche par ordre dans le premier cas, chaque membre de la premiere équation de ceux de la feconde ; & au contraire dans le fecond cas, chaque membre de la feconde de ceux de la premiere, il vient 4t2=4mx ; d'où l'on tire CD ( 2 ) =TM*. Donc CA(t), CF (m) :: CP (x) CD (z). Ce qu'il falloit, &c. COROLLAIRE.

L

t

mx

t

78. Il est évident que fi l'on nomme les données CA ou Ca, t ; CF ou Cf, m; & l'indéterminée C P ̧ x ; on aura toûjours MFt,& Mf="+t, lorsque le point M tombe fur l'Hyperbole AZ, qui a pour foyer le point F.: & qu'au contraire on aura MF +t, & Mf= & Mf="xt, lorsque le point M tombe fur fon opposée xaz, qui a pour foyer le point ƒ.

t

t

PROPOSITION II.

Theorême.

79. Le quarré d'une ordonnée quelconque PM, au premier axe Aa, eft au rectangle de AP par Pa, parties de cet axe prolongé, comme le quarré de fon conjugué Bb, eft au quarré du premier axe A a.

-3

Il faut prouver que M. AP Pa :: Bb. Aa.

Les mêmes chofes étant pofées que dans la Propofi tion précédente, fi l'on met dans l'équation zz➡2t z +ttyy + x x 2 mx+mm que l'on a trouvée par le moyen du triangle rectangle MPF, à la place de z, fa valeur, on formera toûjours celle-cy ttyy

t

mmxx-mmttttxx+, laquelle étant réduite à une proportion, donne PM (yy). A P≈ Pa ( x x -➡tt) ;;

BC * (mm — tt), CA' (tt) :: Bb. Aa. Ce qu'il falloit ⋆ Art. 75.

démontrer.

COROLLAIRE I.

::

80. Si l'on mene une ordonnée MK au second axe Bb, lequel j'appelle 26; il eft clair que MK=CP (x). & que CK-PM (y). Or PM (yy). AP × Pa ( xx-t Bb (4cc). Aa (4tt). Et partant 4c cxx— 4 c c t t + 4 t t y y ; ce qui donne cette proportionne MK ( x x ). C K +C B · ́(yy+cc) :: Aa (4tt). Bb (4cc).

-2

C'est à dire que le quarré d'une ordonnée quelconque MK au fecond axe Bb, eft au quarré de CK, joint au quarré de C B moitié du fecond axe Bb, comme le quarré de fon conjugué Aa, eft au quarré de ce fecond axe Bb.

COROLLAIRE II. FONDAMENTA L.

chacune

81. Si l'on nomine le premier ou fecond axe Aa; FIG. 38. & fon conjugué Bb, 2c; fon parametre p; de fes ordonnées PM,y; & chacune de ses parties CP,

ز

prises entre le centre & les rencontres des ordonnées,

39.

x; on aura toûjours * PM (yy). CPCA (xx tt) :: * Art. 79. Bb (4cc). Aa (4tt) :: p. A a(2), puifque felon la dé. & 80. finition du parametre Aa (2t). Bb (2 c) :: Bb ( 2 c ).

Poù l'on doit obferver que c'eft le figne

27

lorfque l'axe Aa eft le premier, & qu'ainfi on peut substituer alors à la place de CP-CA, le rectangle AP × Pa qui lui eft égal, & au contraire que c'est le figne + lorfque l'axe Aa eft le fecond. D'où en multipliant d'abord les Extrêmes & les Moyens de la premiere proportion yy. xxtt :: 4cc. 4tt. enfuite de l'autre`yy. xx➡tt :: p. 2 t. l'on tire y y cc, & y y2 xx

tt

22

pt. Or comme cette proprieté convient également à Tous les points des Hyperboles oppofées, & qu'elle en

détermine la pofition par rapport aux axes ; il s'enfuite

xx

que l'équation yy=cc, ou yy
➡cc, ou y y = p * *

tt

2 t

pt, en, exprime parfaitement la nature par rapport à ses axes. COROLLAIRE III.

82. Si l'on mene deux ordonnées quelconques MP, NQ à l'axe Aa, il eft clair que MP.NO: CP + CA.CQ + CA. Car PM.CPCA :: Bb. Aa :: QN.QCA. Donc &c.

.

2

3

Il eft bon de remarquer encore qu'on peut fubftituer à la place de CP CA, & C Q — CA, les rectangles A P× Pa, A Q * 24 qui leur font égaux ; ce qu'il faut toûjours obferver dans la fuite.

I

x

COROLLAIRE IV.

83. Si l'on mene par un point quelconque P de l'ün ou de l'autre axe Aa (prolongé lorfque c'eft le premier ) : une parallele MPM à fon conjugué Bb; elle rencontrera une Hyperbole ou les Hyperboles oppofées en deux point M, M, également éloignés de part & d'autre du point P, & non en davantage. Car afin que les points M, M, foient à une Hyperbole ou aux Hyperbo*Art. 81. les oppofées, il faut que les quarrés de PM (y) pri-. fes de part & d'autre de l'axe Aa, foient égaux chacun à la même quantité c***➡.cc.

FIG. 38. &

39.

tt

COROLLAIRE V.

84. IL fuit de ce queyy➡ cc, que plus CP t (x) prife de part ou d'autre du centre C, devient grande plus auffi chaque ordonnée PM (y) prife de part & d'autre de l'axe Aa, augmente, & cela à l'infini; &. qu'au contraire plus P(x) devient petite, plus auffi PM. (y) diminuë; de forte que (fig.38.) CP (x) étant égale à CA ou Ca (t) lorfque l'axe A a, eft le premier,