FIG. 40.

I

PROPOSITION III.

Theorême.

90. Si l'on mene par un point quelconque M de l'une ov de l'autre des Hyperboles oppofees, une ligne droite Rr perpendiculaire au premier axe A a qu'elle rencontre en P, & terminée par les afymptotes en R&r, je dis que le rectangle de RM par Mr, est égal au quarré de BC, moitié du fecond axe B b.

Il faut prouver que R Mx Mr BC.

Nommant les connues CA, t; CB, c; & les indéterminées CP, x; P M,y; les triangles femblables ACB, CPr, & Acb, CPR, donnent CA (t). C B ou Cb (c) :: CP ( x ). Pr, ou PR=*. Donc RM, ou P R➡P M

сх

Cx

➡➡y; & Mr, ou PrPM= y. Et par conféquent RM Mr= **—yy—BC* (cc) en mettant

tt

fa valeur cx x

tt

cc. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

91. IL eft clair que PM (cc) eft toûjours

tt

ou Pi (**); Et par conféquent

tt

que tous les points des Hyperboles oppofées tombent dans les angles faits par leurs afymptotes; de forte qu'il n'en peut tomber aucun dans les angles d'à côté.

COROLLAIRE II.

-92. Si l'on mene par deux points quelconques M, N, d'une Hyperbole ou des Hyperboles oppofées, deux lignes droites Rr, Kk, perpendiculaires au premier axe, & terminées par les afymptotes: il eft évident que les rectangles RM≈ Mr, KÑ* Nk, feront toûjours égaux entr'eux puifqu'ils font égaux chacun au quarré de la

moitié BC du fecond axe B b. D'où l'on voit que R M. KN:: Nk. Mr.

PROPOSITION IV.

Theorême.

93. Si l'on mene par deux points quelconques M, N, d'une Hyperbole ou des Hyperboles oppofees, deux droites Hh, L1, paralleles entr'elles, & terminées par les afymptotes; je dis que les rectangles HMMh, LN NI feront égaux en

tr'eux.

Il faut prouver que HMMhLN⭑Nl.

Ayant mené les droites Rr, Kk, perpendiculaires au premier axe Aa, il eft clair que les triangles M RH, NKL,& Mrh, Nk l, font femblables; puifqu'ils font for més par des paralleles. On aura donc R M. K N :: HM. LN. Et Nk. Mr:: Nl. Mh. Or* RM, KN::* Art. 9%. Nk. Mr. Donc H M. L N :: NI. Mh. Et par conféquent H.MxMh—LN»Nl. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE I.

3

94. Si l'on fuppofe que la ligne NZ parallele à MH, paffe par le centre C, c'eft à dire, qu'elle devienne CE: il eft clair que les deux points L, I, fe réuniront au centre C; & partant que le rectangle LN NI, deviendra le quarré EC. D'où l'on voit que fi l'on mene d'un point quelconque E, de l'une des Hyperboles opposées au centre C, la droite CE, & par un autre point quelconque M. de l'une ou de l'autre de ces Hyperboles, une ligne M Hh, parallele à CE, & qui rencontre les afymptotes en H & h; le quarré de CE fera égal au rectangle de H M par Mh.

I

COROLLAIRE II.

95. Si l'on mène par un point quelconque Ñ, de l'une des Hyperboles oppofées, une ligne droite Ll, terminée par les afymptotes, & qui rencontre l'une ou

l'autre de ces Hyperboles en un autre point n; les par. ties LN, In, de cette droite prifes entre les points des Hyperboles & la rencontre des afymptotes, feront égales entr'elles. Car nommant LN, a; Nn, b, nl, c; on aura LN-NI (ab➡ac)=HM×Mh=L n* n l. (bc➡ac), d'où l'on tire LN (a)=ln (c).

COROLLATRE
RE III.

96. Si l'on fuppofe dans le Corollaire précedent que la ligne Nn, terminée par les Hyperboles oppofees., paffe par le centre C, c'est à dire, qu'elle devienne le premier diametre E Dil est évident que les deux points L,l.fe réuniront au centre C; & qu'ainfi NL deviendra E,& nl, CD. D'où l'on voit que tout premier diametre DE, eft divifé en deux également par le centre C. COROLLAIRE IV.

97. Si deux lignes droites Mm, Nn, parallèles entr'elles, font terminées par une Hyperbole ou par les Hyperboles oppofées, & rencontrent une afymptote aux points H, L; je dis que les rectangles MH Hm, NLxLn, feront égaux entr'eux. Car prolongeant, s'il eft neceffaire, ces deux lignes, jufqu'à ce qu'elles rencontrent l'autre afymptote aux points h,; les parties * Art. 95. MH, mh, & Ni, nl, feront egales* entr'elles : & partant, puifque HMMb=LÑ* Nl, il s'enfuit que

FIG. 41.

MHHM-NL Ln.

I

PROPOSITION V.

Theorême.

98. Si l'on mene par deux points quelconques M, N, d'une Hyperbole ou des Hyperboles oppofées deux droites MH, NL, paralleles entr'elles & terminées par une afymptôte ; & deux autres droites Mh, NI, auffi paralleles entr'elles,& terminées par l'autre afymptote ; je dis

que les

rectangles HMMh, NL N1, font égaux entr'eux. Cette Propofition se prouve de la même maniere que la précedente, & il n'y a rien à changer dans la démonstra

tion.

COROLLAIRE I.

99. Si les droites MH, Mh, & NL, Nl, font F16. 42. paralleles aux deux asymptotes ; il eft clair que les parallelogrammes MH Ch, NLCI, auffi bien que les triangles CHM, CLN, qui en font les moitiés, font égaux entr'eux; puifque les côtés de ces parallelogrammes autour des angles égaux H Mb, L NI, font réciproquement proportionnels.

COROLLAIRE I I.

100. LES mêmes chofes étant pofées que dans le Corollaire précedent, il eft vifible que CH HMCL LN, puifque dans cette fuppofition Mh CH, & NICL: c'est à dire, que fi l'on mene par deux points quelconques M, N, de l'une, ou des Hyperboles oppofées, deux droites MH, NL, paralleles à l'une des afymptotes, & terminées par l'autre ; les rectangles CH × HM, C L × NL, seront toûjours égaux entr'eux ; & qu'ainfi CH. CL:: LN. MH.

COROLLAIRE II I:

101. PUISQUE l'extremité A du premier axe, eft un des points de l'Hyperbole, & que la ligne AB, qui coupe en G, l'asymptote CG, eft parallele à l'autre afymp

tote cg; il s'enfuit que le rectangle CHHM fera* Art. 100. toûjours égal au même rectangle CG GA, ou *au quar. * Art. 88,

re CG, c'est à dire, felon la définition 12°, à la puissance de
l'Hyperbole. Si donc l'on nomme la donnée CG, m ; &
les indéterminées CH, x; HM,y; on aura toûjours
CH⭑HM
CH HM (xy) G (mm). Or comme cette pro-
prieté convient également à tous les points des Hyper-
boles oppofées, & qu'elle en détermine la pofition par

2

rapport à fes afymptotes; il s'enfuit que l'équations xy-mm en exprime parfaitement la nature par rapport: à fes afymptotes.

COROLLAIRE IV.

m

102. IL fuit de ce que MH (y)—””

x

, que plus CH(x) augmente, plus au contraire HM (y) diminuë, de forte que CH (x) étant infiniment grande, HM (y) fera alors infiniment petite, c'est à dire, nulle ou zero. D'où l'on voit que l'Hyperbole AM, & fon afymptote CH (étant prolongées) s'approchent de plus en plus, de forte qu'enfin leur diftance devient moindre qu'aucune donnée ; & que cependant elles ne fe peuvent jamais rencontrer, puifqu'elles ne fe joignent que dans l'infini où l'on ne peut jamais arriver. Il en eft de même pour l'autre afymptote Cg.

COROLLAIRE V..

103. ENTRE toutes les lignes qui paffent par le centre C, 1°. Celles qui, comme Aa, tombent dans les angles faits par les afymptotes du côté des Hyperboles, rencontrent chacune des Hyperboles oppofees en un feul point A, ou a; & étant prolongées, elles paffent au dedans de ces Hyperboles. Car à caufe des angles GCA,gCA, & de leurs oppofés au fommet, il eft clair que la ligne A a, s'éloigne de plus en plus de l'une & de l'autre afymptotesau lieu que Art. 102. les Hyperboles oppofées s'en approchent toûjours de plus en plus. 2°. Celles qui, comme Bb, tombent dans les angles d'à côté, faits auffi par les afymptotes, ne peuvent jamais rencontrer les Hyperboles oppofees, quoiqu'on les prolonge à l'infini, puisqu'aucun des points des Hyperboles * ne peut tomber dans ces angles.

*Art. 91.

4.Def. 9.

*

D'où l'on voit que tous les premiers diametres, tombent dans les angles faits par les Afymptotes du côté des Hyperboles, & que les feconds tombent dans les angles

d'à côté,