87 LIVRE QUATRIE ME. ON DEFINITION. N entend par le terme general de Section Conique, chacune des trois lignes Courbes dont l'on vient de parler dans les Livres précedens; fçavoir, la Parabole l'Ellipfe, l'Hyperbole ou les Hyperboles oppofees. PROPOSITION I Theorême. 640 136. Si par I par l'extremité A d'un diametre quelconque A a FIG. 63. & d'une Ellipfe, ou d'un premier diametre Aa d'une Hyperbole, l'on mene une parallele AG à fes ordonnées PM, qui foit égale à fon parametre; & qu'on tire de l'autre extremité a, la droite a G, qui coupe en O une ordonnée quelconque P M prolongée s'il eft neceffaire : je dis que le quarré de l'ordonnée PM eft égal au rectangle de AP par PO. Il faut prouver que PMAP PO. Selon les articles 41 & 55. du fecond Livre, 81. & 118. du troifiéme, on aura A a. A G :: AP Pa. PM. Or à caufe des triangles femblables a AG, a PO, il vient Aa. AG :: Pa. PO :: A P≈ Pa. A P× PO. Donc PM = AP× PO. Ce qu'il falloit démontrer.` COROLLAIRE. 137. DE-LA il est évident que le quarré d'une ordonnée quelconque PM à un diametre Aa, est toûjours moindre dans l'Ellipfe, & toûjours plus grand dans l'Hyperbole, que le rectangle fait du parametre AG 20. FIG. 65, par la partie AP de ce diametre, prife entre fon origi ne ou extremité A, & la rencontre P de l'ordonnée; Art. 7.& au lieu que dans la Parabole * ils font égaux. Or c'est à cause de cette proprieté, que Apollonius, furnommé le Grand Geometre, a impofé aux Sections Coniques les noms. que nous avons marqués: car il a voulu donner à entendre par celui de Parabole, la jufteffe ou exactitude; par celui d'Ellipfe, le défaut ou manquement ; & par celui d'Hyperbole, l'excès qui fe trouve dans la comparaison des quarrés des ordonnées P M avec les rectangles correspondans A P× AG. FIG. 66. & PROPOSITION IL Theorême. 138. DANS une Ellipse tout diametre A a, & dans les 67 Hyperboles oppofées tout premier diametre Aa eft divifé en deux également par le centre C, & ne rencontre la Section qu'en deux points. On a démontré cette Propofition dans les articles 50 du fecond Livre; 96 & 103 du troifiéme. 139. I PROPOSITION IIL Théorême.. I ne peut y avoir qu'une feule tangente LAL qui paffe par un point donné A fur une Section Conique. Cette Propofition fe trouve démontrée dans les arti cles 21 du Livre premier ; 56 du Livre fecond; & 107: du troifiéme. PROPOSITION IV. Theorême. 140. LES tangentes LAL, lal, qui passent par les extremités A, a, d'un diametre quelconque d'une Ellipfe, ou de deux deux Hyperboles oppofees; font paralleles entr'elles. 141. UN diametre quelconque étant donné dans l'Ellipse ou dans les Hyperboles oppofées ; je dis que la pofition du diametre qui lui eft conjugué, est déterminée de maniere qu'il ne peut y en avoir qu'une feule. Car 1°. Si la Section est une Ellipfe, ou qu'étant les Hyperboles oppofées le diametre donné Aa foit un premier diametre, il eft clair felon l'article 56 du Livre fecond, & la définition 13° du troifiéme Livre, que fon conjugué Bb fera parallele à la tangente LAL., qui paffe par l'une de fes extremités A. Donc *&c.. 2o. Si la Section étant les deux Hyperboles oppofées, le diametre donné Bb eft un fecond diametre, la chofe a été démontré dans l'article 115 du troifiéme Livre. COROLLAIRE. * Art. 139. 142. Il est donc évident qu'une Section Conique étant donnée avec un de fes diametres, la pofition des ordonnées à ce diametre, fera déterminée de maniere ... que chacune n'en peut avoir qu'une feule, & qu'elles font... · toutes paralleles entr'elles. Car elles doivent être paralleles dans la Parabole à la tangente qui paffe par l'ori-Art. 21. ` gine du diametre donné, & dans les autres Sections au diametre conjugué au diametre donné. PROPOSITION VI Theorême. 143. DANS. Les Hyperboles oppofées tout premier diametre A a, divife M Def.12,II. & 14, III. & d'autre de ce diametre dans des pofitions contraires; font parfaitement femblables & égales entr'elles. Car ayant pris fur le diametre Aa ( prolongé lorsqu'il s'agit des Hyperboles oppofees,) de part & d'autre du centre C deux parties quelconques CP, Cp, égales en*Art.45.55. tr'elles ; & mené de part & d'autre les ordonnees PM, 85 & 118. pm,il eft clair que ces ordonnées font égales entr'elles, * Art. 142. & que les angles CPM, Cpm, font * egaux. Si donc l'on conçoit que le plan Cpm feparé de celui qu'on voit ici, soit placé de l'autre côté du diametre A a dans une pofition contraire, en forte que la droite Cp tombe sur CP, & pm, est fur PM; il eft vifible que le point a tombe* Art. 138. ra * fur le point A, & le point m fur le point M. Et comme cela arrivera toûjours de quelque grandeur qu'on puiffe prendre les parties C P, Cp; il s'enfuit que tous les points m de la portion am, tomberont exactement sur tous les points M de la portion AM ; & qu'ainfi ces deux portions fe confondront l'une avec l'autre. Ce qu'il falloit démontrer. FIG. 68.69. PROPOSITION VII. Theorême. 144. Si l'on mene par un point quelconque P d'un diamè70.71. tre Aa d'une Section Conique (prolongé lorsque la Section étant une Hyperbole, c'eft un premier diametre) une parallele MPM aux ordonnées à ce diametre ; je dis qu'elle rencontrera la Section en deux points M, M, également éloignés de part & d'autre du point P, & non en davantage : Et récipro quement que fi une ligne M M terminée par une Section Conique, eft coupée en deux également par un diametre A a en un point P, autre que le centre, elle fera parallele aux ordonnées à ce diametre. Ceci a été démontré dans les articles 9, 11 & 20 du Livre premier 43, 45 & 55 du Livre fecond; 83, 85 & 118 du Livre troifiéme. 1 COROLLAIRE I 145. DE LA il est manifeste que fi une ligne quelconque M M terminée par une Section Conique, eft coupée en deux également par un diametre Aa en un point P autre que le centre; toutes les paralleles à cette ligne terminées par la Section le feront auffi. PROPOSITION VIIL Problême. 146. UNE Scition Conique étant donnée, en trouver un diametre. Ayant mené deux droites M M, N N, paralleles entr'elles, & terminées par la Section; on tirera par leurs points de milieu P, 2, une ligne droite A a qui fera un diametre. Car* le diametre qui paffe par le point P milieu de * Art. 145. M M, doit auffi pafler par le point milieu de N N. COROLLAIRE L 147. Si l'on mene en même forte un autre diametre I quelconque Dd; il eft clair que la Section Conique fera *Def. 9, III.. une parabole * lorfque Dd eft parallele à Aa; une Ellip- Def. 7, I.. fe lorfque D d rencontre A a au dedans de la Section; &* Def. 9, II., enfin une Hyperbole ou les Hyperboles oppofées lorf- * que les diametres Dd, Aa, fe rencontrent en un point C hors de la Section ; & dans ces deux derniers cas que le point de rencontre Ceft le centre. Cela eft une fuite des définitions des diametres de ces trois lignes courbes. Lorfque l'Ellipfe eft donnée toute entiere, il fuffit pour avoir le centre de mener un diametre Aa; car sa gran deur étant déterminée par la rencontre de l'Ellipfe, n'y a qu'à le divifer par le milieu en C. Il en eft de même *Art. 5o.. Lorfque les Hyperboles oppofées font données. il Art. 96. |