Du Mouvement des Corps pefants le long des plans inclinés. CLXXVII. THEOREME. Un corps qui defcend fur un plan incliné, eft follicité dans fon mouvement par une force accélératrice conftante, qui eft à la gravité, comme la hauteur du plan incliné eft à fa longueur. & Pour le démontrer, foit (Fig. 86.) le mobile M qui defcend le long du plan incliné A B. Que la gravité foit repréfentée par la ligne verticale CG, que l'on achève le parallelogramme CEGF, en menant des points C & G les lignes CF, GE parallèles au plan incliné, & les lignes CE, GF perpendiculaires au même plan. Il est évident que la force CG pourra fe décompofer en deux autres CE & CF, dont la première perpendiculaire au plan fera détruite par fa réfiftance, tandis que la feconde CF fubfiftera toute entière, & fera defcendre le mobile. Comparant à préfent les deux triangles CFG, ADB, on voit qu'ils font rectangles, & que de plus les angles DAB, GCF compris entre des côtés parallèles, font égaux. Donc ils font femblables; & leurs côtés homologues donnent la proportion, CF: CG::AD: AB; c'eft-à-dire, la force qui accélère le mouvement du corps le long du plan incliné, eft à la gravité, comme la hauteur du plan incliné est à sa longueur. Les Les trois derniers termes de cette proportion étant toujours les mêmes, en quelque point du plan incliné qu'on fuppofe le mobile, il s'enfuit que le premier terme a toujours même valeur, & que par conféquent la force accélératrice le long du plan eft conftante. CLXXVIII. COROLLAIRE I. Donc on peut appliquer à la defcente des corps le long des plans inclinés, tout ce qu'on a démontré plus haut fur le mouvement uniformément accéléré. On peut conclure, dis-je, que dans le mouvement fur les plans inclinés, les viteffes acquifes font comme les tems; les efpaces parcourus comme les quarrés des tems; &c. CLXXI X. COROLLAIRE II. Si d'un point L (Fig. 86.); pris dans la hauteur du plan incliné, on abaisse fur fa longueur une perpendiculaire LH, le mobile qui defcend le long du plan incliné, arrivera au point H, dans le même tems qu'il arriveroit au point L en tombant verticalement. Car appelons le tems que le mobile employeroit à parcourir AL, & foit s l'efpace qu'il parcourroit dans le même tems en defcendant le long du plan incliné. L'efpace A L fera à l'efpaces, comme la gravité eft à la force accélératrice le long du M à plan incliné (Num. CLXVII.); c'est-à-dire, comme la longueur du plan incliné eft à fa hauteur Num. CLXXVII.). Donc on aura AL:s :: AB AD. Or AB: AD:: AL: AH, caufe de la fimilitude des triangles rectangles ADB, AHL, qui ont un angle commun en A. Donc AL: s: AL AH. Les deux antécédents étant égaux dans cette proportion, il faut que l'on ait s=AH; & par conféquent l'efpace parcouru fur le plan incliné pendant le tems t, eft précisément la partie comprife entre le point A & le point H où tombe la perpendiculaire LH. CL X X X. COROLLAIRE III. Dans un cercle, toutes les cordes tirées de l'une des extrémités d'un diamètre vertical, font parcourues dans le même tems que ce diamètre. Pour le démontrer, prenons une corde quelconque AI (Fig. 87.), tirée de l'extrémité fupéricure A du diamètre vertical. Si de l'extrémité inférieure L du même diamètre, on mène la ligne LI, elle fera évidemment perpendiculaire fur la la corde, puifque l'angle AIL appuyé fur le diamètre eft droit. Donc (Num. CLXXIX.) un mobile employeroit le même tems à décrire le plan incliné AI, qu'à parcourir la ligne verticale AL. Il fuit de là, que toutes les cordes tirées de l'ex trémité fupérieure du diamètre vertical, feroient parcourues dans le même tems. Il eft aifé de démontrer la même chofe pour les cordes telles que GL, que l'on tireroit de l'extrémité inférieure du même diamètre. Car ayant mené par le point A la corde AH, parallèle à GL, ces deux cordes qui feront des angles égaux avec le diamètre AL, feront égales & également inclinées à l'horizon. Donc G L fera parcourue dans le même tems que AH, & par conféquent dans le même tems que le diamètre AL. CLXXX I. COROLLAIRE IV. La hauteur & la longueur d'un plan incliné font entr'elles comme les tems employés à les parcourir. Car ayant abaiffé du point B (Fig. 86.), perpendiculairement à la longueur, la ligne B L' jufqu'à la rencontre de la hauteur prolongée; nommonst le tems employé à parcourir la hauteur AD, t' le tems employé à parcourir la longueur AB, & par conféquent (Num. CLXXIX.), celui qui feroit néceffaire pour parcourir verticalement AL'. Les efpaces AD, AL, font entr'eux comme les quarrés des tems employés à les parcourir (Num. CLXIII.). Donc tt: AD: AL'. Or AL AB 2 : car dans le triangle rectangle AB L', AB AD: =ADXAL'. Donc tt': AD: · 1; ť CLXXXI I. COROLLAIRE V. La viteffe acquife par un corps pefant qui parcourt la hauteur d'un plan incliné, eft égale à celle qu'il acquerroit en parcourant la longueur du même plan. En effet, nommons v la vîteffe acquise en parcourant la hauteur AD (Fig. 86.), v' la vîtesse acquife en parcourant la longueur AB, & enfin "la vîteffe qu'un mobile acquerroit en parcourant la ligne AL'. On aura d'abord v:v":: AD: AB; parce que les lignes AB & AL étant parcourues dans le même tems, les viteffes acquifes en les parcourant font comme les forces accélératrices, qui font elles-mêmes dans le cas préfent, comme AD eft à AB (Num. CLXXVII.). Mais les espaces AD, AL' font comme les quarrés des vîteffes acquifes en les parcourant (Num. CLXV.). Donc y2:"2:: AD: AL'::AD: AB AD 2 AD: AB. Donc auffi vv": AD: AB; & par conféquent vv". Donc enfin vv. On voit par là, que fi l'on avoit plufieurs plans de même hauteur, mais différemment inclinés, les |