Comme x doit être dans R autant de fois, avec un petit refte r, que y eft dans R avec un petit refter, par l'article 50, nommant q le nombre qui marque combien de fois x eft dans R, & y dans R, on aura Mais ayant fupposé x < z ou x=2, x fera dans z au ༢. moins une fois, & s'il y a un refte, on ne fera de ce refte & du refte r qu'un feul refte qu'on reprefentera, pour abreger, par la même lettre r, & ce refte r sera moindre que x, puifque s'il étoit plus grand on auroit une x de plus, dans R + 2, ainGxt qx+x+x avec un refte r; ainfi R+ On va démontrer que R R 9348 ****, qu'on fuppose égal à, eft plus grand que; & que la fuppofition de moindre Χ R que conduit neceffairement à cette contradiction que R+ est égal à, & en même temps plus grand que & x & y étant les aliquotes pareilles de x & de r, tous les * 61. rapports suivans font égaux * = = qx P'x 9x+x q+3' Mais r étant moindre que y par la fuppofition, qy✈r est 39. moindre que qy+y; & le rapport *39. qx+x* 1x+x surpasse ; or * furpaffè ***. Donc à plus forte raifon + I surpasse 2+. Donc ***** furpaffe. On n'a R+ R- donc pas pû fuppofer, puifqu'on vient de demontrer que + surpasse. Cela vient de ce qu'on a supposé R moindre,que. Ainfi la fuppofition de inégal à menant à une contradiction, il s'enfuit que. Ce qu'il falloit dé 63. SUPPOSE' les deux rapports égaux ;=,& encore les deux rapports égaux, je dis que l'on aura cette proportions. * par ceux-ci, & dans les incommensurables par ny Or il eft évident que 47. = nx mx+x+px+R ny & dans les Donc en remettant, dans ces deux rapports égaux, a au lieu de nx ; d au lieu de ny; b au lieu de mx ; c au lieu de px; e au lieu de my, & ƒ au lieu de py; l'on aura. Ce qu'il falloit de montrer. f g Si l'on avoit tel nombre qu'on voudra de ces rapports égaux deux à deux & = 4;÷=pt=b÷=4, &c. Il est évident, en continuant la même démonstration, que l'on déduiroit de ces rapports égaux deux à deux, cette proportion 64. LORSQUE dans une proportion le fecond & le troifiéme terme font égaux : c'est à dire que le fecond terme sert de confequent au premier rapport, & d'antecedent au fecond rapport, & que la proportion n'a par consequent que trois termes: on l'appelle une proportion continue, & le terme moyen s'appelle moyen proportionnel. On marque ainfi cette proportion, quand c'eft une proportion arithmetique continue. 3.5.7. C'est à dire la difference de 3 à 5 est égale à la difference de 5 à 7. De même a. a + d. a + 2ď. C'est à dire la difference de a à a + d, est égale à la difference de a + dà a + 2d. Le terme ad eft moyen proportionnel arithmetique entre a & a + 2d. On marque ainfi une proportion geometrique continue 8.4.2. C'est à dire, 8 est à 4, comme 4 eft à 2. Le terme 4 eft un moyen proportionnel geometrique en 8 & 2. De même a.b.c fignifie que a eft à 6, comme b eft à c. Quand une proportion continue s'étend à plus de trois termes, on l'appelle une progression. Ainfi 1.3.5.7.9.11.13.15.17 eft une progreffion arithmetique. De même a. ad.a+2d.a+3d.a+4d. a + 5d. a + 6d. a+ 7d eft une progreffion arithmetique. Mais 64.32.16.8.4.2. 1 eft une progreffion geometrique. Tous les termes qui font entre le premier & le dernier s'appellent moyens proportionnels. Divifion de cet Ouvrage. ON partagera cette fcience du calcul des grandeurs en general en quatre Livres. On expliquera dans le premier le calcul des grandeurs entieres; dans le fecond, le calcul des fraations, tout ce qui regarde les rapports fimples & compofez, & les proportions; & le calcul des grandeurs incommenfura bles. Dans le troifiéme, les proprietez des progreffions arithmetique & geometrique, avec l'ufage de leur union dans les calculs; la formule pour élever les grandeurs complexes à toutes les puiffances poffibles; les proprietez des nombres figurez; les logarithmes, leur ufage, & une méthode facile de les conftruire. Dans le quatrième, on fera voir l'ufage du calcul pour apprendre les Mathematiques en les découvrant foi-même; c'est à dire, on donnera les principales Regles de la maniere d'employer le calcul dans les découvertes, & on les appliquera à la résolution de plufieurs Problêmes. SECTION II. Où l'on explique l'addition & la foustraction des grandeurs AJOUTER entieres. Addition des grandeurs entieres. DEFINITION I. TER plufieurs grandeurs données, c'est trouver la grandeur totale qui les contient toutes; cette grandeur totale s'appelle leur fomme. ON SUPPOSITION I. N fuppofe que l'on fçait ajouter ensemble les nombres moindres que dix, c'est à dire, qui ne contiennent que des unitez fans dixaines. L'Addition des nombres entiers. PROBLEME Ì. 65. AJOUTER ensemble tant de nombres entiers qu'on voudra, & en trouver la fomme. Regle ou operation. 1o. Il faut écrire tous les nombres, qu'on veut ajouter, les uns fous les autres, obfervant exactement d'écrire toutes les unitez de ces nombres les unes fous les autres dans un même rang, qui eft le premier; toutes les dixaines les unes fous les autres dans le fecond rang; toutes les centaines dans le troifiéme rang, & ainfi de fuite. Cette pratique eft abfolument neceffaire pour ne pas fe tromper. Il faut enfuite tirer une ligne fous ces nombres, & ce fera fous cette ligne qu'on écrira la fomme que l'on cherche. 2o. Il faut ajouter ensemble tous les chifres du premier rang, qui eft le rang des unitez, & il peut arriver tous ces cas, 1°. Si la fomme eft moindre que dix, il faut l'écrire sous la ligne qu'on a tirée, dans le rang des unitez. 2°. Si le rang des unitez ne contenoit que des zeros, il faudroit écrire o dans le rang des unitez. 3°. Si la fomme des unitez contient exactement une ou plufieurs dixaines fans unitez jointes aux dixaines, il faut écrire o dans la fomme au rang des unitez, & retenir les dixaines pour les ajouter aux dixaines du fecond rang. 4°. Si la fomme contient une ou plufieurs dixaines & de plus des unitez, il faut écrire les unitez dans la fomme au rang des unitez, & retenir les dixaines pour lesajouter avec les dixaines du fecond rang. 5o. Enfin, fi la fomme contenoit des centaines, il faudroit les retenir pour les ajouter avec le rang des centaines; mais ce cas n'arrive que quand il faut ajouter beaucoup de nombres. par 3°. Il faut pratiquer dans le fecond rang ce que l'on vient de prefcrire pour le premier, en regardant ce fecond rang comme fi c'étoit des unitez; faire enfuite la même chofe ordre dans le troifiéme rang, dans le quatrième, & dans tous les autres ; & le nombre que l'on aura écrit fous la ligne fera la fomme de tous les nombres qu'on vouloit ajouter. Ceci s'eclaircira par l'exemple fuivant. A 940253 B 870412 Exemple de l'Addition des nombres entiers. POUR ajouter les trois nombres A, B, C, 1°. Je les écris les uns fous les autres, de maniere les unitez foient exactement dans le premier rang, les dixaines dans le fecond, & ainfi de D 2600939 fomme. fuite, & je tire une ligne au deffous. que C 790274 2°. J'ajoute les unitez du premier rang, en difant 3 + 2 font 5.5+4 font 9. Ainfi la fomme du rang des unitez eft 9, que j'écris fous la ligne dans le premier rang. 3°. J'ajoute de même les dixaines en difant 5+1 font 6, 67 font 13. J'écris les trois unitez de 13 dans la fommé au fecond rang, & je retiens une dixaine pour l'ajouter avec le troifiéme rang. 4°. J'ajoute les centaines ou les chifres du troifiéme rang, en difant i que je retenois + 2 font 3. 3+4 font 7. 7 +2 font 9, j'écris 9 dans la fomme au troifiéme rang. 5°. J'ajoute les chifres du quatrieme rang, en difant o +0+0=0, j'écris o au quatriéme rang de la fomme. 6°. J'ajoute les chifres du cinquiéme rang, en difant 4+7 font 11. 119 font 20; j'écris o dans la fomme au cinquiéme rang, & je retiens 2. 7°. Je dis 2 que je retenois 9 font II. II+ 8 font 19. 19+ 7 font 26, j'écris 6 dans la fomme au fixiéme rang; & n'y ayant plus de rang à ajouter, j'écris dans la fomme les deux dixaines de 26, c'est à dire j'écris 2 au feptiéme rang, & la fomme D des nombres A+B+C, eft deux millions fix cens mille neuf cens trente & neuf. Démonftration de l' Addition. Il est évident, par l'operation même, que le nombre D, qu'on trouve par la pratitique de l'Addition, contient *la fomme de toutes les unitez, *11&13 de toutes les dixaines, de toutes les centaines, &c. des nombres qu'il falloit ajouter. Le nombre D eft donc la fomme des nombres propofez, qu'il falloit trouver, REMARQUES, I. ON 2. Quand on a beaucoup de nombres féparez à ajouter, on peut partager l'addition totale en plufieurs additions particulieres, ajoutant d'abord les dix premiers nombres, enfuite les dix fuivans, & ainfi de fuite. Après quoi il faut ajouter toutes les fommes trouvées par ces additions particulieres, en une feule fomme, qui fera la fomme de tous les nombres propofez. |