duit du Sinus de l'autre angle par fon Cofinus, ce qui ne peut arriver, à moins que les angles ne foient complément l'un de l'autre à 90 degrés, & qu'ainfi l'angle DAC ne foit droit. On aura pour lors Ai: Ax:: Ap: Ad, Donc, fi on fuppofe la ligne A a infiniment petite, on voit que dans le cas où les trois Corps A, C, D, font à reffort, fi l'action des refforts a C, a D, n'eft pas comme les lignes Ax, Ad, le point A fera écarté de la ligne droite Aa dès le premier inftant, & qu'ainsi les loix du choc entre ces trois Corps feront fort différentes de ce qu'elles feroient, fi la compreffion & la restitution fe faifoient en un inftant.

152. Soit en général AB (Fig. 8) la direction du Corps choquant, Aa la Courbe qu'il décrit pendant la compreffion & la reftitution du reffort, Ai=x, ai=z, Cc=y, y, Ddu, le Cofinus de DAC le Cofinus de DAC=r, on aurą

-

·y,

Ax — Cc = x+rz―y, & Ad-Dd=z+rx—u, = 0 (x + rz y). dt';

& l'on trouvera

A d d x =

Addx

( x + r x y) dť2, Dddu

Addx
Addz

2

= 4(x+rx — u) dť2; Cddy, & at Ax = Cy,

On aura donc (en mettant dans les deux premiéres Equations, pour y & u leurs valeurs) deux Equations où il ne reftera plus que deux inconnues, & qui pourront se conftruire par les Méthodes expliquées ci- deffus, fi Q(x+rz — y) = F. (x+rz—y) & fi q ( z + rx — u ) =G.(z+rx— u).

153. Soient deux Corps A, a, (Fig. 59) unis par un reffort Aa, qui se choquent suivant AD, a d, de maniére que leur centre de gravité C refteroit en repos, s'ils pouvoient fe mouvoir fuivant AD, ad; ces deux Corps décriront deux Courbes semblables ag, AG pendant le tems de la compreffion, & la compreffion finira lorfque Gg fera perpendiculaire à chacune des Courbes ; enfuite pendant la reftitution du reffort, ils décriront les Courbes GF, gf femblables aux premieres, d'où l'on voit que leur Mouvement après le choc fera le même, que fi la compreffion & la reftitution fe faifoit dans un inf tant. Cela eft vrai en général, lorsque deux Corps à reffort viennent se choquer d'une maniére quelconque ; car il est aisé de voir que le Mouvement de leur centre de gravité ne changeant point par leur action mutuelle, il n'y a qu'à chercher quels feroient leurs Mouvemens après le choc, s'ils venoient fe frapper de maniére que leur centre de gravité fut en repos, & donner ensuite à tout le fyftême le Mouvement du centre de gravité.

Si les deux Corps étoient mous, leurs viteffes après le choc ne feroient pas les mêmes que s'ils étoient durs. Car dans le cas de la dureté des deux Corps, les vitesses avant le choc feroient aux viteffes après le choc, comme Cd à Ca, & dans le cas où ils feroient mous, c'eft à-dire où le reffort fe comprimeroit fans fe rétablir, les mêmes viteffes feroient comme Cd à Cg: or Cg <Ca. Donc &c.

CHAPITRE

CHAPITRE

IV.

Du Principe de la confervation des forces vives.

154. des Corps agiffent les uns fur les autres, foit en se tirant par des fils ou des verges infléxibles, foit en se pouffant, pourvû qu'ils foient à reffort parfait dans ce dernier cas, la fomme des produits des maffes par les quarrés des viteffes, fait toujours une quantité conftante; & fi les Corps font animés par des puiffances quelconques, la fomme des produits des masses par les quarrés des viteffes à chaque instant, est égale à la fomme des produits des masses par les quarrés des viteffes initiales, plus les quarrés des viteffes que les Corps auroient acquis, fi, étant animés par les mêmes puiffances, ils s'étoient mûs librement chacun fur la ligne qu'il a décrit. C'eft dans ces deux Principes que confifte ce qu'on appelle la confervation des forces vives.

M. Hughens eft le premier, que je fache, qui ait fait mention de ces deux Principes, & M. Bernoulli le premier qui en ait fait voir l'usage, pour réfoudre élégamment & avec facilité plusieurs Problêmes de Dynamique. J'entreprends de donner dans ce Chapitre, finon une démonstration générale pour tous les cas, au moins les Principes fuffifans pour trouver la démonftration dans chaque cas particulier.

155. Imaginons d'abord deux Corps A, B, (Fig. 60)

Y

que

d'une étendue infiniment petite, attachés à la verge infléxible AB; & fuppofons qu'on imprime à ces Corps des directions & des viteffes quelconques, représentées par les lignes infiniment petites AK,B D. Il faut par notre Principe, faire les parallelogrammes MC, NL, tels LC AB, & B × B M = A × AN; BC & AL feront les viteffes & les directions des Corps B & A. Or BC2 = BD' 2 CE x CD-CD, & AL' = AK' +2 PL x K L KL'. donc B. B C2 + A. AL' =A. AK' + B × B D' + A (2 PL. KL-KL') B (2CE.ÇD+CD2) qui se réduit à A. AK' +B.BD' +A.KL — B. CD, à cause CE PL&A. KL que =B.CD.

1

On a donc B.BC2+A.AL'—A.AK' + B.BD' A.KL-B.CD'.

COROLLAIRE I.

156. Si NA, B M font infiniment petites, c'eft-à-dire fi les viteffes AL, BC, ne différent qu'infiniment peu des viteffes AK, BD, la confervation des forces vives aura lieu. Car négligeant dans l'Equation les lignes KL, CD, on aura B.BC+A.ALA. AK' + B. BD'.

157. Si NA, BM ne font pas infiniment petites, & qu'on faffe CF CD; LO=LK, & en fens contraire, il est aisé de prouver que BF BD-4CE. CD, & A0' AK'+4PL × KL. Donc B. BF+A.AO3

1

― B (BD1 — 2BM. 2CE) + A (AK' +2. AN. 2PL) =B.BD'+A. AK', parce que CE=PL & A. AN =B.BM.

Donc la confervation des forces vives a encore lieu ici. Mais, fi l'on y fait attention, ce cas eft précisément celui du choc de deux Corps Elastiques (art. 137.)

De la confervation des forces vives dans les Corps qui fe tirent par des fils ou par des verges infléxibles.

158. Nous avons vu dans l'article précedent, que fi deux Corps font attachés au bout d'une verge infléxible, & qu'on leur donne à chacun une viteffe quelconque, la confervation des forces vives n'a lieu que quand les viteffes qu'ils prennent différent infiniment peu des vitesfes qu'ils ont reçues. Or la viteffe initiale réelle de chacun de ces Corps, peut différer d'une quantité finie de celle qu'on a imprimé à chacun fuivant une direction quelconque. Mais quand ils ont une fois commencé à se mouvoir chacun fur fa Courbe, leur vitefsse ne varie qu'infiniment peu d'un inftant à l'autre. Ainfi dans le cas de Part. 155. la fomme des produits de chaque masse par le quarré de fa viteffe eft toujours égale, non à la fomme des produits de chaque maffe par le quarré de la vitefse imprimée à chacune au premier instant, mais par le quarré de la vitesse initiale réelle de chacune.

159. Il faut donc préfentement démontrer en général, que fi des Corps fe meuvent en fe tirant par des fils ou