vement du Corps, & nous ne pouvons les diftinguer les unes des autres que par la Loi & la grandeur connue de leurs effets, c'est-à-dire, par la Loi & la quantité de la variation qu'elles produifént dans le Mouvement. Donc; lorfque la cause eft inconnue, ce qui est le feul cas dont il foit question ici, l'Equation de la Courbe ADE doit être donnée immédiatement, ou en termes finis, ou en quantités différentielles. L'Equation eft donnée ordinairement en différences, lorfque le Mouvement eft accéléré ou retardé fuivant une loi arbitraire & de pure hypothese. Elle est au contraire donnée ordinairement en termes finis, quand la Loi du rapport des efpaces aux tems eft découverte par l'Expérience. Ainfi fuppofons que la puiffance qui accélére, foit telle que le Corps reçoive continuellement dans des inftans égaux des degrés égaux de viteffe; alors dt étant conftant, du le fera auffi, & par conféquent fera une quantité conftante. L'Equation odt du fera en ce cas donnée immédiatement par hypothese. Suppofons, au contraire, que dans un cas particulier on découvre par l'Expérience que les espaces finis parcourus depuis le commencement du Mouvement, font comme les quarrés des tems employés à les parcourir, l'Equation de la Courbe ADE sera è=2, d'où l'on tire

dt

Φ

dt

dde = 2d12 & du = 2d. On voit par-là que dans cette

fuppofition les accroissemens de viteffe à chaque inftant font égaux, & les Equations différentielles odt=dde

www

ødt du, fe tirent de l'Equation donnée de la Courbe ADE en termes finis.

Il est donc évident que quand la cause est inconnue, l'Equation ødt =+du est toujours donnée.

La plupart des Geométres préfentent fous un autre point de vûe l'Equation ødt du entre les tems & les viteffes. Ce qui n'eft, felon nous, qu'une hypothese, eft érigée par eux en Principe. Comme l'accroiffement de la viteffe eft l'effet de la cause accélératrice, & qu'un effet, felon eux, doit être toujours proportionnel à fa caufe, ces Geométres ne regardent pas feulement la quantité comme la simple expreffion du rapport de du à dt ; c'est de plus, felon eux, l'expreffion de la force accélératrice, à laquelle ils prétendent que du doit être proportionnel, dt étant conftant; delà ils tirent cet axiôme général, que le produit de la force accélératrice par l'Elément du tems eft égal à l'Elément de la vitesse. M. Daniel Bernoulli Mém. de Petersb. to. I.) prétend que ce Principe eft seulement de verité contingente, attendu qu'ignorant la nature de la caufe & la maniére dont elle agit, nous ne pouvons favoir fi fon effet lui eft réellement proportionnel, ou s'il n'eft pas comme quelque puiffance ou quelque fonction de cette même caufe. M. Euler, au contraire, s'eft efforcé de prouver fort au long dans fa Mécanique, que ce Principe eft de verité nécessaire. Pour nous, fans you loir difcuter ici fi ce Principe eft de verité nécessaire ou contingente, nous nous contenterons de le prendre pour une définition, & d'entendre feulement par le mot de

force accélératrice, la quantité à laquelle l'accroiffement de la viteffe eft proportionnel. Ainfi au lieu de dire que l'accroiffement de viteffe à chaque inftant est constant ou que cet accroiffement eft comme le quarré de la dif tance du Corps à un point fixe, ou &c. nous dirons fimplement pour abreger & pour nous conformer d'ailleurs au langage ordinaire, que la force accélératrice eft conftante, ou qu'elle eft comme le quarré de la distance; ou &c. & en général, nous ne prendrons jamais le rapport de deux forces que pour celui de leurs effets, fans examiner fi l'effet eft réellement comme fa cause, ou comme une fonction de cette cause : examen entiérement inutile, puisque l'effet est toujours donné indépendamment de la caufe, ou par expérience, ou par hypothefe.

Ainfi nous entendrons en général par la force motrice le produit de la maffe qui fe meur par l'Elément de fa viteffe, ou ce qui eft la même chose par le petit efpace qu'elle parcourroit dans un inftant donné en vertu de la cause qui accélére ou retarde fon Mouvement; par force accélératrice, nous entendrons fimplement l'Elément de la vitesse. Après de pareilles définitions, il est aisé de voir que tous les problêmes qu'on peut propofer fur le Mouvement des Corps mûs en ligne droite, & animés par des forces qui tendent vers un centre, ou exerçant les

uns fur les autres une Attraction mutuelle fuivant une Loi quelconque, font des problêmes qui appartiennent pour le moins autant à la Geométrie qu'à la Mécanique, &

dans lefquels la difficulté n'eft que de calcul, pourvû que le mobile foit regardé comme un point.

On imagineroit peut-être que l'Equation ødt =+ du regardée, non comme hypothese, mais comme Principe, feroit au moins néceffaire pour calculer les effets dont les causes font connues, comme l'impulfion, furtout quand cette impulsion confifte en de petits coups réïtérés. J'efpere qu'on verra dans la feconde Partie de cet Ouvrage, que non-feulement ce Principe y eft inutile, mais que l'application en eft infuffifante & pourroit même être fautive.

Sur la comparaifon des forces accélératrices entr'elles.

20. Si dans un Cercle quelconque PQD (Fig. 5) on tire les cordes égales & infiniment petites PD, DE, & qu'on prolonge PD en 0, enforte que D0=PD; qu'enfin on mene par les points O, E la ligne OQ, & par le point D la Tangente DN qui rencontre OQ en N, on aura par la propriété du Cercle DN2=NE×NQ; OD x OP ou 2 DO' = OE × 0Q.* Donc à cause que les lignes DN & DO, NQ & Q doivent être

2

*Lorfque les lignes PD, DE, DO font égales, on peut démontrer rigoureusement que OE2 NE. Car le Triangle DOE eft ifocele, l'Angle ODE a pour mesure la moitié de l'Arc PDE, & l'Angle NDE la moitié de l'Arc DE. D'où il s'enfuit que DN divise l'Angle ODE en deux également, & qu'ainfi à caufe de DODE, on a ỔÈ - 2 NE. Mais la démonftration que nous avons donnée s'étend encore au cas où PD, DE, DO ne feroient pas exactement égales, & où leur différence Teroit infiniment petite par rapport à elles.

regardées comme égales, on aura OE = 2 NE.

Donc fi on confidére l'Elément DE d'une Courbe quelconque ADE comme un petit Arc de cercle, ce qu'on peut fuppofer fans erreur; il s'enfuit que la différence feconde NE de l'efpace parcouru, eft double de l'espace réel que la puiffance accélératrice feroit parcourir au Corps dans l'instant BC, quoiqu'elle paroiffe lui être égale dans la Courbe confiderée comme Polygone, parce que la Tangente DN n'eft alors que le prolongement du petit côté de la Courbe,

Nous avons vû ci-dessus (art. 13) que quand les efpaces parcourus font comme les tems correspondans, un Corps qui parcourt un espace E dans le tems T, parcourroit uniformément dans le même tems l'efpace 2E avec la viteffe qu'il a à l'extrêmité de l'efpace E. D'où il s'enfuit que dans la Courbe polygone, NE confiderée comme l'effet de la puiffance accélératrice ou retardatrice, doit être regardée comme parcourue d'un Mouvement uniforme avec la viteffe infiniment petite que le Corps a acquis à la fin de l'inftant BC. En effet, dans la Courbe Polygone, les lignes NE, ne ne font plus entr'elles comme les quarrés des tems, mais comme les tems simples. On voit par-là de quelle maniére on peut réduire à un Mouvement uniforme l'effet inftantané de la puiffance qui accélére ou qui retarde le Mouve

ment.

Il faut, au refte, bien prendre garde à cette distinction des Courbes polygones & des Courbes rigoureuses, dans