motrices appliquées en A & en B ne feroient plus égales, mais elles feroient en raifon inverfe des bras CA, CB, & comme les chemins des points B & A en tems égaux, font en raifon directe de ces bras de Levier ; il s'enfuit que le produit des forces motrices par le chemin des points A, B feroit égal de part & d'autre. Ainsi on peut encore ici démontrer la confervation des forces vives, foit par le Principe de l'art. 157. en fuppofant les Corps incompreffibles, foit en imaginant un reffort infiniment petit placé en A & un autre en B. Ce qu'il eft inutile d'expliquer plus en détail pour des Lecteurs intelligens.

Donc la conservation des forces vives aura encore lieu dans le cas dont il s'agit ici; & il eft clair en combinant les Principes établis ci-deffus, qu'on pourra toujours la démontrer dans le choc des Corps Elaftiques.

172. Il résulte de tout ce que nous avons dit jufqu'à préfent, qu'en général la confervation des forces vives dépend de ce Principe, que quand des puiffances se font équilibre, les viteffes des points où elles font appliquées, eftimées fuivant la direction de ces puiffances, font en raison inverse de ces mêmes puiffances. Ce Principe eft reconnu depuis long-tems par les Geométres pour le Principe fondamental de l'équilibre ; mais perfonne, que je fache, n'a encore démontré ce Principe

en général, ni fait voir que celui de la confervation des forces vives en réfulte néceffairement.

Le Principe de l'équilibre dont nous venons de parler, peut toujours fe démontrer facilement; car, ou les puiffances font égales & directement oppofées, ou elles font appliquées à des bras de Levier différens, ou enfin la force résultante de ces puiffances paffe par quelque obftacle fixe & infurmontable, comme dans le Probl. X. Tout ce que nous avons dit ci-deffus eft, ce me femble, fuffifant pour démontrer les deux premiers cas : à l'égard du dernier cas, il eft vifible, que les puiffances décomposées dans une direction perpendiculaire à la force résultante feront égales, & que les viteffes dans ce même fens feront égales auffi, Or delà il est aisé de tirer la démonftration en la cherchant fur quelque cas, par exemple, fur celui du Problême X. où elle eft aisée à

trouver.

De la confervation des forces vives dans les Fluides.

173. Soit un vafe de figure quelconque & indéfini POTQ (Fig. 70) dont la partie ADCZ terminée par les paralléles AD, CZ, foit remplie de fluide. Soit imaginé ce fluide divifé en tranches FKG paralléles à AD; & que tous les points de chaque tranche foient animés par une force accélératrice représentée par l'ordonnée correspondante kf de la Courbe dfb, (les ordonnées a d représentant les forces accélératrices pofitives, c'est-à-dire qui tendent de L vers B, & les ordonnées kf celles

dont la direction eft en fens contraire); je dis que fi le fluide en cet état eft en équilibre,l'Aire ou furface adnmobc fera zero, c'est-à-dire la fomme des Aires positives égale à la fomme des Aires négatives.

P

Car pour l'équilibre, il faut qu'une tranche quelconque FKG foit preffée également de bas en haut, & de haut en bas or la preffion de la tranche FKG fuivant LB, eft la même que fi elle étoit chargée du Cylindre EHFG, dont le poids, en appellant LK, x, & la force accélératrice de chaque tranche, fera FG ×fodx, ou FG × (adin-nfk); on prouvera de même que la preffion de FG fuivant BA, fera FG (kfm-mog+gcb) & comme ces deux preffions doivent être égales, on aura adin nfk mog + gcb, & adin-nfkm+mog — gcb=o. Donc &c. Ce Q.

F. D.

=

kfm

COROLLAIRE.

174. Si au lieu de la force accélératrice o on fubftitue la petite viteffe du qui lui feroit proportionnelle, le tems étant conftant, c'eft-à-dire la petite viteffe avec laquelle chaque tranche, confidérée comme ifolée, defcendroit dans un inftant, on aura fdudx =o. Donc fi le Fluide se meut vers AB, & que du représente la viteffe perdue ou gagnée par chaque tranche, c'est-à-dire (art. 50) la viteffe par laquelle chaque tranche feroit reftée en équilibre avec les autres, on aura fdu dx — 0.

REMARQUE

REMARQUE.

175. Nous avons fait voir ci-deffus en général (art. 159) que la confervation des forces vives quand les Corps font animés par la pefanteur ou par une force accélératrice quelconque, dépend de la confervation des forces vives quand il n'y a point de forces accélératrices. Nous nous contenterons donc de prouver, que fi un Fluide ADZC, pouffé & mis d'abord en Mouvement par quelque cause (comme par un Piston) se meur dans le vafe POTQ, abstraction faite de la pefanteur, la confervation des forces vives aura lieu.

Pour cela, nous imaginerons le Fluide partagé en tranches égales & infiniment petites, dont la masse sera appellée m, & dont l'épaiffeur fera dx & y la largeur; on aura ainfi m=ydx. Si on ydx. Si on appelle appelle u la viteffe de chaque tranche, & u + du fa viteffe dans l'instant suivant ; il faudra par notre Principe, que les tranches animées des viteffes du fe faffent équilibre, c'est-à-dire que sdudx ferao. (Cor. préced.) Mais pour démontrer la confervation des forces vives, il faut prouver que fmu du = 0: mudu

I

or u = puisque la vitesse de chaque tranche est en raison inverse de fa largeur; m = ydx. donc fmudu fdudx = o. Donc &c.

AVERTISSEMENT.

M. Daniel Bernoulli dans fon excellent Ouvrage qui a

186

pour

TRAITE DE DYNAMIQUE.

titre : Hydrodynamica &c. a tiré les loix du Mouve ment des Fluides dans des vafes, de la conservation des forces vives, mais fans la démontrer. Comme notre Principe général exposé art. 50. nous a conduit à en trouver la démonftration, il est évident que nous aurions pû déduire immédiatement de ce même Principe le Mouvement du Fluide, ce qui auroit encore été plus lumineux & plus direct. Mais comme notre deffein n'est point de traiter ici des Fluides, nous nous fommes contentés de faire voir en deux mots l'ufage de notre Principe dans une matiére qui paroît fi épineuse. Nous nous contenterons donc ici de ce leger effai, & nous entrerons là-deffus dans un détail beaucoup plus grand, lorfque nous donnerons notre Traité des Fluides, dans lequel nous déduirons de notre Principe général, la folution des Problêmes les plus difficiles qu'on ait jusqu'à présent propofé fur cette matiére.

FIN.