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SECTION IX.

Corollaire general de la Théorie précedente.

D

Ans une Lettre écrite de Bâle le 26. Janvier 1717% M. (Jean) Bernoulli, après y avoir défini ce qu'il entendoit par le mot d'Energie, de la maniere qu'on le va voir dans la définition fuivante, m'annonça qu'en tout équilibre de forces quelconques, en quelque maniere qu'elles foient appliquées les unes fur les autres, oumédiatement ou im médiatement; la fomme des Energies affirmatives fera égale à la fomme des Energies negatives, prifes affirmativement.

Cette propofition me parut fi generale & fi belle, que, voyant que je la pouvois aifément déduire de

Théorie precedente, je lui demandai la permiffion qu'il m'accorda, de l'ajouter ici avec la démonftration que cette Théorie m'en fourniffoit, & qu'il ne m'envoyoit pas. La voici féparée pour toutes les Machines précedentes; la Théorie, qui en étoit achevée lorfque ce fçavant Mathématicien m'annonça cette propofition, ne m'ayant pas permis de la démontrer fur chacune de ces Machines en fa place, fans changer un très-grand nombre de citations répandues dans cette Théorie, & toutes celles des Figures qui auroient fuivi la premiere des nouvelles qu'il y auroit fallu ajouter dès la Section 2. ce qui m'auroit fort embarraffé, & exposé à de fauffes citations, n'étant pas poffible de n'omettre aucun de ces changemens. Pour l'intelligence de cette propofition de M. Bernoulli, & de la démonftration que la Théorie précedente en va fournir. Voici comment il s'expliquoit fur ce qu'il entendoit par le mot d'Energie, dans la Lettre où il m'annonçoit cette belle propofition.

DEFINITION XXXII.

હતું

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Concevez (difoit-il) plufieurs forces differentes qui «· agiffent fuivant differentes tendances ou directions four « tenir en équilibre un point, une ligne, une furface, ou « un corps; concevez aufli que l'on imprime à tout le fy-«ftême de ces forces un petit mouvement, foit parallele à foi-même fuivant une direction quelconque, foit au- «tour d'un point fixe quelconque : il vous fera aifé de“ · comprendre que par ce mouvement chacune de ces for-‹ ces avancera ou reculera dans fa direction, à moins que quelqu'une ou plufieurs des forces n'ayent leurs ten- " dances perpendiculaires à la direction du petit mouve-in ment; auquel cas cette force, ou ces forces n'avanceroient ni ne reculeroient de rien car ces avancemens" ou reculemens, qui font ce que j'appelle vitesses vir- « tuelles, ne font autre chofe que ce dont chaque ligne de « tendance augmente ou diminue par le petit mouvement; « & ces augmentations ou diminutions fe trouvent, fi «l'on tire une perpendiculaire à l'extrêmité de la ligne « de tendance de quelque force, laquelle perpendiculaire « retranchera de la même ligne de tendance, mife dans la «> fituation voifine par le petit mouvement, une petite « partie qui fera la mesure de la viteffe virtuelle de cette «

force.

Soit,

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, par exemple, P un point quelconque dans le « Fi15. fyftême des forces qui fe foutiennent en équilibre ; F,une «< de ces forces, qui pouffe ou qui tire le point P fuivant la « direction FP ou PF; Pp, une petite ligne droite que dé-« erit le point P par un petit mouvement, par lequel la « tendance FP prend la fituation fp, qui fera ou exacte- « ‹ inent parallele à FP, fi le petit mouvement du fyftême « fe fait en tous fes points parallelement à une droite don- a née de pofition ; où elle fera, étant prolongée, avec FP « un angle infiniment petit, fi le petit mouvement du fyftême le fait autour d'un point fixe. Tirez donc PC per- «' Fendiculaire fur fp, & vous aurez Cp pour la viteffe viru

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tuelle de la force F, en forte que FxCp fait ce que j'appelle Energie. Remarquez que Cp eft ou affirmatif ou négatif par rapport aux autres: il eft affirmatif, fi le point P " eft pouffé par la force F, & que l'angle FPP foit obtus ; »il elt négatif, fi l'angle FPp eft aigu: mais au contraire si le point Peft tiré, Cp fera négatif, lorfque l'angle FPp eft obtus ; & affirmatif, lorfqu'il eft aigu. Tout cela étant bien entendu, je forme (dit M. Bernoulli) cette

PROPOSITION GENERALE.
THEOREME XL.

En tout équilibre de forces quelconques, en quelque maniere qu'elles foient appliquées, & fuivant quelques directions » qu'elles agiffent les unes fur les autres, ou médiatement, ou immédiatement, la fomme des Energies affirmatives fera égale à la fomme des Energies négatives prifes affirmative

دو

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»ment.

DEMONSTRATION.

Telle eft la propofition de M. Bernoulli, rapportée au commencement de cette Section ; & voici comment la Théorie précedente en fournit la démonstration.

PARTIE I.

Pour l'équilibre d'un poids foûtenu avec des cordes feulement, par tant de puiffances qu'on voudra, de directions quelconques; & pour l'équilibre d'un corps choqué par plusieurs autres à la fois.

I. Toutes chofes demeurant ici les mêmes que dans la Fig. 71. du Th. 6. Corol. 20. c'est-à-dire, le poids K étant foutenu en équilibre par tant de puiflances P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra, appliquées (comme lui) à autant de branches de corde, fur lefquelles branches ou cordons foient AB, AC, AE, AF, AM, &c. proportionnelles à çes puiffances P, Q, R, S, T, &c. des extrêmitez defquelles proportionnelles tombent autant de perpendicu

laires

laires Bb, Cc, Ee, Ff, Mm, &c. fur la direction AK du poids K prolongée de part & d'autre : cela, dis-je, étant ainfi dans les Fig. 253.254. comme dans la Fig. 71. Th. 6. Corol. 20. foit prife de A vers K fur la direction AK du poids K, une partie quelconque Aa dans la Fig. 2 53, où les. puiffances P, Q, R, S, T, &c. tirent droit, fans s'appuyer fur rien, & infiniment petite dans la Fig. 254. où les cordons de ces puiffances font appuyez fur des poulies f, λ, •, •, μ, &c. Du point a, fur les directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. foient autant de perpendiculaires ap, aq, ar, af, at, &c. qui rencontrent ces directions enp,q,r,f,t, &c.

Cela fait, il eft vifible que les triangles (constr.) rectangles Apa, AbB; Aqa, AcС; Ara, AeE ; Asa, AfF ; Ata, AmM, &c. ayant deux à deux (diftinguez comme on les Voit ici par la marque;) leurs angles égaux A, font femblables entr'eux pris ainfi deux à deux. Par confequent, en appellant b, c,e,f, m, &c. les forces fuivant la direction AK ou Ae du poids K, pour ou contre ce poids, réfultantes (Lem. 3. Corol, 6.) des forces abfolues des puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuivant leurs directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. l'on aura fuivant la part. 1. du Lem. 3. employée comme dans la démonftr. 2. du Th. 6.

Aa. Ap:: AB. Ab :: P. b — PXAP

Aa

Aa. Ag:: AC. Ac :: Q. c = 0xAg

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.Aa

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Fis. 253.

FIG. 254.

Donc Aq-+R×A ƒ➡S× As→P×Ap→T×A} ±&c.

Aa

=ce+f-b-m+ &c. ( Th. 6. démonftr. 2. ) =K ; ce qui en ce cas d'équilibre donne QxAq++R×Ar+S× AS PxAp-TxAt+&c=KxAa, ou K×Aa➡+P×Ap➡+I

xA1 + &c=QxAq+R×Ar+S×As±&c..

1o. Soit prefentement tout le fyftême de la Fig. 253. mû de maniere que fon point A parcourant la partie quelconque Aa de la direction AK du poids K, tous les cordons ou directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. des puiffances P, Q, R, S, T, &c. demeurent toujours paralle les chacune à foi-même ; & que lorfque le point A fera en a, & le poids K defcendu de la valeur de Aa fuivant fa premiere direction AK, ces autres directions ou cordons AB, AC, AE, AF, AM, &c. foient encore perpendiculaires en a aux mêmes lignes fixes ap, aq, ar, af, at,, &c. aufquelles elles l'étoient en p, q,r, f,t, &c. avant ce mouvement du point A, ou de tout le fyftême de la pre-fente Figure 253. Un tel mouvement faisant ainfi reculer ou avancer les puiffances P, Q, R, S, T, &c. fui-vant ces directions, chacune fuivant la fienne, des valeurs Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pendant que le poids K defcend de la valeur de Aa fuivant la fienne: la Déf. 3 1.fait voir qu'en prenant ici Aa pour la viteffe virtuelle de ce poids K, l'on y aura Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pour les vîteffes virtuelles de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. & que KxAa, P×Ap, Q×Aq, RxAr, S×AS, T×At, &c. feront les Energies de ce même poids & de ces mêmes puiffances.

2o. Soit aussi mû tout le fyftême de la Fig. 254.

mais

de maniere que fon point A parcourant la partie infiniment petite Aa de la direction AK du poids K, les cordons AB, AC, AE, AF, AM, &c. des puitfances P, Q, R, S, T, &c. qui y font appuyez fur les pouli.s fixes B, a, 8, 9, μ, &c. paffent de ABP, AλQ, AR, AS, AμT, &cenỆP,anQ, anh, ads, wuT, &c lef quelles recon

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