FIG. 299

:: T. CAF (foit FP perpendiculaire en P fur CA) ::SAPF. SPAF:: AF. PF:: AF. CD ( Corol. du Lem. 19.) :: AMFN. CEDB:: AMFN. GH. c'est-à-dire, comme le fond ou la furface inferieure AMFN de la Liqueur est à fa furface fuperieure GH.

X. Toutes chofes demeurant les mêmes que dans le précedent art. 9. fi le fond AMFN du vafe prifmatique vertical ACDE eft incliné de 60 degrez à l'horifon, ou (ce qui revient au même) fi l'angle DFK ou CAF d'inclinaison de ce vafe fur ce fond, eft de 30 degrez, l'on aura ici AF2xPF=2×CD ; & confequemment (Corol. du Lem. 19.) ce fond ou fon aire AMFN=2xCEDB= 2×GH. Ainfi venant de trouver (art. 9.) que le poids total & abfolu de la quantité AGHF de Liqueur conte-nue dans ce vafe prifmatique vertical ACDF, eft à ce qu'il en refulte de preffion perpendiculaire fur fon fond AMFN d'inclinaifon quelconque avec lui: : AMFN. GH. l'on aura ici ce poids abfolu à cette preffion perpendicu laire:: 2×GH. GH:: 2. 1.c'est-à-dire, que ce poids ab folu fera ici double de cette preffion perpendiculaire du fond AMFN.

XI. Toutes chofes étant aussi les mêmes que dans l'art. 8. fi le vafe prifmatique ACDF du fond AMFN perpendiculaire à fa longueur CA, DF, eft incliné de 30 degrez à l'horifon; & qu'ainfi l'angle V DC foit de 30 degrez, l'on aura ici CD=2×CV—2xAF ; & confequemment (Corol. du Lem, 19.) l'aire CEDB ou fa parallele GH=2xAMFN. Or fuivant l'art. 8. de quelqu'angle que le vafe prifmatique ACDF de fond AMFN perpenpendiculaire à fa longueur CA, DF, foit incliné à l'hori fon; le poids abfolu de la quantité AGHF de Liqueur contenue dans ce vafe, eft à ce qu'il en refulte de preffion perpendiculaire à fon fond AMFN:: GH. AMFN. Donc en ce cas-ci de ce vafe prifmatique ACDF incliné de 30 degrez fur l'horifon, le poids abfolu de tout ce qu'il contient de Liqueur jufqu'au niveau quelconque GH, eft à ce qu'il en refulte de preffion perpendiculaire

au fond AMFN de ce vase: : 2×AMFN. AMFN :: 2. 1. c'est-à-dire, comme dans le précedent art. 10. que ce poids abfolu fera encore ici comine là double de cette preffion perpendiculaire du fonds AMFN.

REMARQUE.

Ce qu'on voit dans le précedent Th. 41. dans fes Corollaires, & dans fon Scholie, feroit ce qui arriveroit fi l'on ne confideroit, comme l'on a fait jufqu'ici, que l'action feule de la pefanteur, & les colonnes de Liqueurs comprifes dans les tuyaux ou vafes prifmatiques, que comme des corps folides foûtenus fur des plans inclinez par les fonds de ces vafes ou tuyaux, fuivant les longueurs defquelles ces corps ne preffent ou chargent ces fonds ou bafes que de ce que leurs pefanteurs leur donnent de forces fuivant ces longueurs de ces mêmes tuyaux. Mais fi l'on confidere ( Schol. de l'Ax. 9.) que la fluidité de ces colonnes de Liqueurs donne aux particules de chacune une égale facilité à être également preffée en tous fens, de la force entiere de la pefanteur ou du poids de ce qu'il y en a d'autres qui les chargent ; on verra dans la fuite que ces colonnes cylindriques ou prifmatiques de Liqueurs foûtenues fur les fonds de leurs tuyaux inclinez, ou non, y doivent toûjours preffer ou charger chacune chacun de ces fonds, comme feroit le poids entier de cette colonne totalement foûtenu fur ce fond : en voici la preuve dans le fuivant Th. 42. & dans les autres, où l'on confiderera ainfi les Liqueurs comme pefantes & comme fluides tout à la fois, & dans des vafes de figures quelcon

ques.

THEOREME XLII.

Soit un tuyau cylindrique ou prifmatique quelconque AKDX F10 301 arbitrairement incliné fuivant le plan vertical AKI fur fon fond horisontal KBDC de figure quelconque, & rempli d'une Liqueur quelconque jusqu'à telle hauteur ou niveau GH qu'on voudra, dont on confidere prefentement la fluidité. Je

dis que cette fluidité jointe à la pefanteur de ce que le tuyau incliné AKDX contient de cette Liqueur, lui fera presser de tout fon poids abfolu le fond horisontal KBDC de ce tuyau, c'est-à-dire, d'une force verticale précisément égale à celle. dont ce fond fcroit preffé par un prisme droit ou vertical KY Z D de la méme Liqueur qui auroit ce fond pour bafe horisontale.& dont la hauteur feroit égale à celle KY du niveau GH de ce que le tuyau incliné AKDX en contient au-deffus de ce fond korisontal KBD.C.

DEMONSTRATIOΝ.

Soit AKI l'angle quelconque d'inclinaifon du tuyau propofé AKDX fur ce fond horifontal KBDC.; & le parallelogramme de même nom AKDX, la fection de ce tuyau coupé par le plan vertical AKI prolongé, lequel. en rencontre la bafe ou le fond en la droite KD. Imagi nons prefentement la Liqueur contenue dans ce tuyau incliné AKDX, comme divifée en un nombre prefqu'infini de filets verticaux OM, RT, feparément mobiles y ainfi que que la fluidité le permet ; defquels les premiers OM foient empêchez en autant de points M par le côté inferieur AK de ce tuyau, de defcendre fuivant leurs diretions; & dont les autres RT foient auffi empêchez en autant de points T par le côté fuperieur oppofé XD de ce› tuyau, de monter jufqu'en S au niveau GH de la Liqueur qu'il contient. De deux points oppofez M, T, pris fur une même horisontale MT, foient imaginées MN, TV, perpendiculaires à ces côtez oppofez paralleles AK, XD, du tuyau incliné AKDX ; lefquelles de longueurs arbitraires, foient les diagonales de deux parallelogrammes rectangles EF, PQ, de côtez verticaux ME, TQ, pris fur les filets MO, TR, & d'horisontaux MF, TP, pris fur l'horifontale MT.

Cela pofé, il eft manifefte que les réfiftances que les côtez oppofez AK, XD, du tuyau incliné AKDX font en M, T, a la defcente verticale de OM filet de Liqueur, & à l'afcenfion verticale de l'autre filet RT que les plus longs que lui tendent à faire monter en S jufqu'à leur niveau

GH prolongé vers Z: que ces réfiftances que ces côtez opposez AK, XD, font aux filets OM, RT, font fuivant MN, TV, égales à des forces qui les fuppléeroient en repouffant feulement comme eux fuivant ces directions les points M, T, de ces filets OM, RT, de Liqueur ; & qu'ainfi chacune de ces réfistances se décompofe comme en deux forces purement paffives, fuivant MF, ME, & TP, TQ, dont chacune des horisontales fuivant MF,TP, foûtient par fon invincibilité ce que la Liqueur peut avoir d'action directement contraire à cette résistance horifontale. Quant aux autres forces fuivant les verticales ME, TQ, refultantes de ces réfiftances fuivant MN, TV, des côtez oppofez AK, DX, de ce tuyau incliné AKDX; 1. left pareillement visible que la premiere fuivant ME directement oppofée au poids du filet OM, le foutient en M dans le repos que lui exige le fuppofé de ce qu'il y a de Liqueur dans le tuyau incliné AKDX, fans lui laiffer aucune action fur le fond KBDC de ce tuyau, lequel confequemment n'en eft aucunement chargé. La même chofe fe démontrera de même de chacun de tous' les autres filets verticaux OM de ce qu'il y a de Liqueur dans l'efpace GKY fur le côté inferieur AK du tuyau incliné AKDX, dont il exprime tout ce qu'il a de furface: concave de ce côté là autour du cylindre droit KYZD. › Donc cette quantité GKY de Liqueur comprife entre ces cylindre droit & cette portion de furface inferieure du tuyau incliné AKDX, fe trouvant ainfi foûtenue toute entiere fur cette même portion oblique AK de furface; rien de cette quantité GKY de Liqueur n'agit ou ne pese fur le fond KBCD de ce tuyau incliné AKDX.

2o. Mais en recompenfe ce qu'il y a de cette Liqueur dans l'efpace HLD compris entre le plan HL perpen.i culaire à la droite KD,& ce que ce plan retranche du côté de HD de la furface fuperieure de ce tuyau incliné AKDX, preffe ce fond horifontal KBDC d'une force égale à celle dont il feroit preffé par la portion cylindri que HLDZ, que ce même plan HLretranche du cylin

dre droit KYZD de la même Liqueur; car la force fuivant TQ, refultante de la résistance que le côté fuperieur XD du tuyau incliné AKDX, fait fuivant fa perpendiculaire TV, à l'afcenfion du filet vertical RT de Liqueur, le trouvant directement opposée à l'effort dont le poids du furplus de longueur des plus longs tend à le faire monter jufqu'au point S de leur niveau GH, & empêchant cet effet, eft égale à cet effort fuivant RT, auquel par la même raifon le poids d'une portion ST de la même Liqueur feroit auffi égal. Donc la force de réfiftance avec laquelle le côté oblique XD du tuyau incliné AKDX, repouffe le filet vertical TR fuivant fa direction,eft égale au poids d'une portion ST de cette Liqueur. Par confequent le poids de ce filet TR, ainfi repouffé fuivant TQ, fait le même effort en ce fens fur le fond vertical KBDC du tuyau incliné AKDX, qu'y feroit ce même poids du filet TR augmenté du poids de ST, c'est-à-dire, le même effort qu'y feroit le poids d'un filet vertical entier SR de la même Liqueur. La même chofe fe démontrera de même de chacun de tous les autres filets verticaux TR de ce qu'il y a de Liqueur dans l'efpace HLD, retenus ou empêchez de monter par le côté fuperieur XD du tuyau incliné AKDX, dont il exprime tout ce qu'il y a de furface retranchée de ce côtélà par le plan vertical HL perpendiculaire à la droite KD. Donc cette portion HLD de Liqueur comprise entre ce plan vertical HL & cette portion de furface qu'il retranche de celle du tuyau incliné AKDX, charge ou preffe verticalement le fond horisontal KBDC d'une force égale à celle dont ce fond feroit preffé en ce fens par le poids de la portion cylindrique HLDZ, que le plan HL retranche du cylindre droit KYDZ de la même Liqueur.

Donc ce fond horisontal KBDC étant outre cela preffé verticalement par tout le poids de ce qu'il y a de cette Liqueur dans l'efpace AYHL commun à ce cylindre droit KYZD, & au tuyau incliné AKDX, & ne l'étant aucunement (nomb. 1.) par ce qu'il y en a dans l'espace GYK