capable de foûtenir le poids EON fuivant Ar fur le point O de la furface inclinée quelconque SV, l'y foûtiendra auffi fuivant Ap, & reciproquement. Car il eft vifible qu'on auroit alors rAOAO=2x RAO, c'est-à-dire, les deux angles rAO, AO, égaux ensemble à deux droits RAO; & qu'ainfi chacun de ces deux-là feroit le complement de l'autre à deux droits ; & confequemment auffi (Déf. 9. Corol. 2.) que le finus de J'un feroit pour lors le finus de l'autre. Donc alors le finus de l'angle CAO feroit en même raison au finus de chacun des angles AO, AO. Donc auffi ( Corol. 10.27.) là même puiflance R, qui dirigée fuivant celle qu'on voudra des lignes Ar, A, foûtiendroit le poids EON fur le point O de la furface SV, l'y foûtiendroit auffi fuivant l'autre de ces deux directions, tant qu'elles feront des angles égaux quelconques rAR, AR, avec AR (Hyp.) perpendiculaire fur AO, ou parallele à GH, & chacun moindre que RAN. P COROLLAIRE XXIX. Cela peut encore fe démontrer fans le fecours des finus: car tant que les directions Ar, A,, feront des angles égaux de part & d'autre avec AR, leurs paralleles Cd, CS, en feront aufli d'égaux avec CD parallele à AR. Par confequent CD étant perpendiculaire en D fur AO prolongée vers X, comme l'eit ( Hyp.) AR en A fur la même AO, les lignes Cd, Cd, feront égales entr'elles, & confequemment auffi Ab, Aß, côtez qui leur font oppposez dans les parallelogrammes bACd. BACS. Donc (part. 2. 3.) la puiffance R, qui dirigée fuivant une quelconque des lignes Ar, Ap, pourroit foûtenir le poids EON fur un point quelconque O d'une furface fixe inclinée quelconque SV, pourroit auffi l'y foûtenir suivant l'autre de ces deux directions, tant qu'elles feront des angles égaux de part & d'autre avec AR, & chacun moindre que l'angle RAN. Tout cela s'accorde avec la fin du Co ral. 17. Chacun de ces deux derniers Corollaires 28. 29. fait affez voir que tout ce qu'ils contiennent, feroit encore vrai, quand même chacun des angles rAR, AR, feroit égal à RAN: mais la puiffance R dirigée fuivant Ar, fe trouvant alors l'être fuivant AN directement à contre-fens du poids EON, le foûtiendroit alors feule (nomb. 1. des Corol. 15. 16.) fans le fecours de la furface SV; ce qui ne feroit plus de la prefente hypothefe, dans laquelle on fuppofe cette puissance & ce poids en équilibre entr'eux fur cette furface. Le cas où l'angle feroit plus grand que RAN de ce côté-là, y feroit encore plus contraipuifqu'alors (fuivant la reflexion qui eft entre les Corol. 15. 16.) il n'y auroit plus du tout d'équilibre entre cette puiffance & ce poids, bien loin de le foûtenir fur la surface SV,. ainsi qu'on le fuppofe ici. vent, COROLLAIRE XXX: Puifque (Corol. 28.) de toutes les directions Ar, AR, Ap, &c. fuivant lefquelles differentes puiffances peuchacune fuivant la fienne, foûtenir un même poids EON fur le même point O' d'une furface quelconque SV toûjours également inclinée en ce point O; la direction AR, perpendiculaire à AO, ou parallele au plan GH, eft celle qui exige la moindre de toutes ces puillances pour l'y foutenir: puifqu'auffi ( Corol. 10. 18.) cette moindre puiffance R dirigée fuivant AR, eft alors à ce même poids EON,comme le finus de l'angle CAO ouCAD eft au finus de DAR fuppofé droit, c'est-à-dire, comme le finus de l'angle CAD eft au finus total; il eft vifible que toute autre puiffance dirigée fuivant celle qu'on voudra des autres directions Ar, A., &c. comprises auffi dans l'angle DAN, & en équilibre avec le même poids EON fur le même point O de la même furface fixe SV, fera à ce poids en plus grande raifon que le finus de l'angle CAD au finus total, ou que OQ à AQ; & confequemment auffi (en fuppofant la direction FC du poids EON parallele à la hauteur HK du plan HG) en plus grande raifon que HK à HG, cette hypothefe rendant les triangles rectangles AOQ, GPQ, GKH, femblables entreeux; & en ge neral pour quelque hypothefe que ce foit de parallelifme ou de concours entr'elles des verticales FC, HK, en raifon d'autant plus grande (Corol. 15. 16.) que la direction Ar, ou Ap, de cette puiffance, fera un angle RAr, ou RA,, plus grand avec AR perpendiculaire ( Hyp.) à AO, ou parallele à HG, fans fortir de l'angle OAN. COROLLAIRE XXXI. Cela étant, & d'un autre côté (nomb. 1. des Corol. 15. 16.) la puiffance requife ici pour foûtenir le poids EON fur le point O de la furface SV fuivant une direction A, ou Ap,non perpendiculaire à AO,devant être d'autant moindre que ce poids (quoiqu'en raifon differente) que l'angle RArou RAP, de cette direction avec AR perpendiculaire ( Hyp.) à AO, sera moindre que l'angle RAÑ; il fuit en general qu'une même puiffance peut foûtenir un même poids fur un même point d'une furface inclinée fixe quelconque fuivant deux directions differentes, pourvû qu'elle foit moindre que ce poids, & qu'elle lui foit cependant en plus grande raifon que le finus de l'angle CAD au sinus total; c'est-à-dire, dans l'hypothefe ordinaire des poids de directions paralleles aux hauteurs des plans, pourvû que cette puiffance moindre que ce poids, fui foit cependant en plus grande raifon que le finus d'inclinaifon G du plan GH au finus total, ou (Déf. 9. Corol. 1. & Lem. 8. Corol. 2.) que la hauteur HK de ce plan à fa longueur HG. COROLLAIRE XXXI. que En tout autre cas, c'est-à-dire, lorfque cette puiffance eft plus grande que ce poids, ou du moins lorfqu'elle lui eft égale, ou bien lorsqu'elle lui eft en même raison le finus de l'angle CAD au finus total; elle ne peut le foûtenir fur le même point O de la furface fixe SV, que fuivant une feule direction. Car en fuppofant toûjours › l'angle RAO ou RAD droit 2 1o. Si cette puiffance étoit plus grande que le poids EON, avec lequel on la fuppofe ici en équilibre fur le point O de la furface SV, la direction de cette puiffance non feulement ne pourroit être (Corol. 15. 16.) que dans l'angle droit RAD, telle qu'eft ici Ap; mais encore cette direction Ap y feroit unique, ne pouvant faire avec AD qu'un angle AD, dont le finus foit à celui de CAD com me le poids EON à cette puiffance, ainfi qu'il eft requis (Corol. 10.) pour leur équilibre fuppofé fur le point de la furface fixe SV. 2o. Si cette puiffance étoit égale à ce poids EON, des deux directions également éloignées de AR, fuivant lefquelles elle pourroit (Corol. 17.) fucceffivement foûtenir ce poids ; il y en auroit neceffairement une (nomb. I. des Corol. 15. 16.) fuivant AN, fuivant laquelle cette puiffance foûtiendroit (nomb. 1. des Corol. 15. 16.) feule ce poids fans le fecours de la furface SV; ce qui feroit içi contre l'hypothese. 3. Si cette puiffance étoit au poids en même raison que le finus de l'angle CAD au finus total ou de l'angle (Hyp.) droit RAD, elle ne pourroit le foûtenir ( Corol. 1o.) que fuivant AR. 4°. Enfin fi cette puiffance étoit à ce poids EON en moindre raifon que le finus de l'angle CAD au finus total ou de l'angle (Hyp.) droit RAD; elle ne pourroit plus du tout (Corol. 10.) faire équilibre avec ce poids fur la furface SV, ne pouvant y avoir d'angle, au finus duquel celui de l'angle conftant CAD puiffe être en moindre raifon qu'au finus total, c'est-à-dire, de finus plus grand que le total. Donc (nomb. 1. 2. 3. 4.) lorfque cette puiffance eft plus grande que le poids EON, ou qu'elle lui eft égale, ou bien lorfqu'elle lui eft en même raison que le finus de l'angle CAD au finus total; elle ne peut foutenir ce poids quelconque fur un même point quelconque de quelque furface fixe que ce foit, que fuivant une feule direction, ainfi qu'on le vient d'avancer, & fuivant aucune (nomb. 3 :) lorfque cette puiffance eft au poids EON en moindre raifon que le finus de l'angle CAD au finus total. Au contraire (Corol. 3.) elle le peut toûjours foûtenir fur ce même ponit de cette même furface fixe, fuivant deux directions differentes également éloignées de AR perpendiculaire à AO, ou parallele au plan HG, tant qu'elle eft moindre que ce poids, & qu'elle lui eft cependant en plus grande raifon que le finus de l'angle CAD au finus total. Fufqu'ici nous n'avons regardé le même poids que comme appliqué au méme endroit de quelque furface que ce foit, ou que comme appliqué au méme point d'un plan qui la toucheroit en ce point lorfqu'elle eft courbe ce qu'on a vu pour toutes fortes de furfaces revenir au même que fi ce poids n'eût été appliqué qu'au même point d'une plane, ou d'un plan incliné quelconque: de forte que ce poids fur differens points d'une même furface courbe,y doit étre confideré comme fur differens plans touchans de cette furface en ces differens points; ce qui étant compris dans ce qui précede de poids quelconques foûtenus chacun fur un même point auffi quelconque de quelque furface que ce foit, il ne nous reste plus qu'à confiderer ce poids fucceffivement foutenu fur differens points d'un plan incliné. Mais parce hors l'hypothefe ordinaire des directions des graves toutes. paralleles entr'elles, ce poids n'auroit plus (Th. 21. Cor. 37.) la méme pefanteur fur ces differens points d'un même plan, quand même tous fes points y conferveroient chacun la fienne, c'est-à-dire, la méme pour chacun de ces points; nous n'appellerons ici mêmes poids que ceux qui feront de pefanteurs égaLes aux differens endroits où nous les placerons, quelques differens qu'ils foient d'ailleurs entr'eux, pour rendre encore ce qui fuit general pour toutes les hypothefes imaginables des directions des graves. que COROLLAIRE XXXIII. Soit prefentement un même corps, ou deux differens Fío: 21: FON, FQM, de même pefanteur en differens points d'un 21*~ même plan incliné HG fur lefquels points ces corps foient |