comme DF & DK tirées du point D perpendiculairement fur BC & AC; c'est-à-dire, en faifant le parallelogramme GH, comme les finus des angles DCH & CDH, ou comme les côtez DH & HC de ce parallelogramme. Ces mêmes forces feroient auffi (Th. 21. part. 2. 3. 4.) chacune à la charge du point d'appui D de ce levier, c'est-à-dire, au poids T, comme chacun. de ces mêmes côtez à la diagonale DC : les forces des. puiflances R & S, c'est-à-dire, ces mêmes puiffances elles-mêmes, font donc entr'elles, comme DH, ou GC & HC; & au poids T, comme chacun de ces mêmes côtez du parallelogramme GH à fa diagonale DC. Ce qu'il falloit démontrer.

On pourroit encore démontrer cette même propofition en Se Servant des plans inclinez, pourvû qu'on en prît un qui fût perpendiculaire à la direction de quelqu'une des deux puissan-ces qui foûtiennent ce poids: car cette puissance, & la charge. de se plan alors égales, n'ayant qu'un même rapport avec ce· poids, non plus qu'avec l'autre puissance qu'on confidere en ce "cas comme le foûtenant feule fur ce plans on trouveroit par le Cor. 9. du Th. 26. que ce poids eft toûjours à chacune de ces. puiffances, comme le finus de l'angle que leurs cordes font entr'elles, à chacun des finus des angles que font avec la ligne de direction de ce poids chacune de ces cordes reciproquement prifes. Tout cela eft prefentement trop clair pour s'y arrêter, davantage.

COROLLAIRE I

On peut conclure generalement de ces démonftrations, ce que nous n'avons conclu ( chap. 1.) de la 68. prop. de M. Borelli, que pour les cas qu'elle comprend; çavoir, qu'il n'y en a aucun de poffible, où l'on puiffe conferver l'équilibre du poids T avec les puiflances R. & S, en changeant le rapport qu'elles ont entr'elles, ou avec lui, à moins qu'on ne change en même tems l'inclinaifon de ces cordes, fans changer aufli le rapport de ces mêmes puiffances, ou entr'elles, ou avec ce poids; parce.

que fans cela il n'eft pas poffible de faire que chacun des côtez CH & CG du parallelogramme GH, continue d'être à fa diagonale DC, comme chacune des puiffances R & S au poids T; ce qui doit cependant être, comme on le vient de voir, pour qu'elles faffent équilibre avec lui.

On peut comparer ce Corollaire aux Scholics des propofi tions 68. & 69. de M. Borelli.

COROLLAIRE II

Il fuit encore de ces démonstrations que chacune des F10.5.☎ puiffances R & S eft au poids T, comme chacune des parties GC & HC de leurs cordes, qui leur font proportionnelles, à la somme (fig. 5. ) de leurs fublimitez, ou à la difference (fig. 6.) qui eft entre la fublimité de l'une & la profondeur de l'autre, parce que dans le parallelogramme GH les angles GCD & CDH étant égaux, auffi-bien que les lignes GC & DH; de plus les angles qui fe font en P & en Q, étant auffi (avert.) égaux, les triangles GPC & HDQ font non feulement femblables, mais encore leurs côtez CP & DQ font égaux. Donc (fig. 5.) CP plus CQ eft égal à DQ plus CQ; & (fig. 6.) CP moins CQ fera auffi égal à DQ moins CQ. Or (fig. 5.) DQ plus CQ eft égal à CD, de même (fig. 6.) que DQ moins CQ. Donc (fig. 5.) CP plus CQ eft égal à CD, auffi-bien (fig. 6.) que CP moins CQ. Or felon les démonftrations précedentes, chacune des puiffances R & S elt au poids T, comme chacune de leurs proportionnelles CG & HC à CD. Donc chacune de ces mêmes puiffances eft à ce poids, comme chacune de ces mêmes proportionnelles à CP (fig. 5. ) plus CQ, ou (fig. 6.) à CP moins CQ; c'eft à-dire, (Déf. 1. & 2.) à la fomme (fig. 5.) de leurs fublimitez, ou bien (fig. 6. ) à la difference qui eft entre la fublimité de l'une & la profondeur de l'autre.

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COROLLAIRE III.

D'où l'on voit que la fomme des deux puiffances qui foûtiennent un poids avec des cordes, eft toûjours à ce poids, comme la fomme des longueurs de leurs cordes, qui leur font proportionnelles, à la fomme de leurs fublimitez, ou à la difference qui eft entre la fublimité de l'une & la profondeur de l'autre.

.

On peut comparer encore ces deux derniers Corollaires à la 69. prop. de M. Borelli, & au Corollaire qu'il en tire.

D

PROPOSITION FI

E quelque maniere qu'un poids T foit foûtenu avec des cordes par quelque nombre de puissances A, B, D, E, ·F, &c. que ce foit, appliquées à un même nœud C, fi l'on prend fur leurs nauds autant de parties CG, CR, CM, CM, CP, &c. qui leur foient proportionnelles, & que fous deux de ces parties, par exemple, fous GC & RC, l'on faffe un parallelograme RG, dont la diagonale CH faffe encore avec une autre de ces parties CM le parallelogramme HM, dont la diagonale CL faffe encore avec une autre de ces parties CN le parallelogramme LN, dont la diagonale CD faffe encore avec une autre de ces parties CP le parallelogramme PQ, & ainfi jufqu'à la derniere de ces proportionnelles. On verra, I. que la diagonale du dernier de ces parallelogrammes, qui eft ici CK, fera dans la ligne de direction du poids T. 2°. Et que chacune de ces puiffances fera à ce poids, comme chacune des proportionnelles, felon qu'elles leur répondent», eft à cette même diagonale.

DEMONSTRATION.

1o. Puifque (hyp.) la puiffance A eft à la puiffance B comme CG à CR, il résultera (Lem. 2.) de leur concours d'action fur le point C une impression composée · fuivant CH, d'une force qui fera (Cor. 1. du même

Lem.) à chacune de ces puiffances, comme CH à chacu ne des lignes CG & CR qui les reprefentent: l'impreffion. que font enfemble ces deux puiffances fur le point C, eft donc la même que celle que feroit feule fur ce même point quelque nouvelle puiffance, qui lui étant appliquée fuivant CH, au lieu d'elles, leur feroit à cha cune, comme CH à chacune des lignes CG & CR ; & par confequent les trois puiffances A, B, D, doivent faire enfemble la même impreffion fur le point C que. cette nouvelle puiffance ( je l'appele H) feroit alors avec la puiffance D. Or (Lem. 2..) l'impreffion qui réfulteroit alors du concours d'action des puiffances D & H fur le point C, fe feroit fuivant CL, d'une force qui feroit (Cór. 1. du même Lemme) à celle de la puiffance D, comme CL à CM. Donc l'impreffion compofée qui réfulte du concours d'action des trois puiffances A, B, D, fur le point C, fe fait en effet fuivant CL, d'une force qui eft à celle de la puiffance D, comme CL à CM: elles ne font donc toutes trois ensemble fur ce point que la même impreffion que feroit feule quelqu'autre puiffance (je l'appelle L) qui appliquée fuivant CL, au lieu de ces trois, feroit à la puiffance D, comme CL à CM; &⠀⠀ par confequent les quatre puiffances A, B, D, E, ne doivent faire fur le point C que la même impreffion que feroit alors la puiffance L avec la puiffance E. Or (Lem 2.) l'impreffion qui réfulteroit alors du concours d'action de ces deux dernieres puiffances fur le point C, fe feroit fuivant CQ, d'une force qui feroit ( Cor. 2. du même : Lem.) à celle de la puiffance E, comme CQ à CN. Donc I'mpreffion compofée qui réfulte du concours d'action des quatre puiffances A, B, D, E, fur le point C, fe fait en effet fuivant la ligne CQ, d'une force qui eft àcelle de la puiffance E, comme CQ à CN. On prouvę, ra de même que l'impreffion compofée qui réfulte du concours d'action des cinq puiffances A, B, D, E, F, fe.: fait auffi fuivant CK, d'une force qui eft à la puiffance F., comme CK à CP. Et ainfi toujours de même jufquàs

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la derniere des puiffances appliquées à ce poids. D'où il fuit que l'impreflion compofée qui réfulte du concours d'action de toutes ces puiffances fur le point C, en quelque nombre qu'elles foient, fe fait toujours fuivant la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme l'on vient de dire, c'eft-à-dire ici, fuivant CK; & par confequent (Th. 1.Nouv. Mét.) cette diagonale eft toûjours en ligne droite avec TC, c'est-à-dire, dans la ligne de direction du poids T. Ce qu'il falloit démontrer.

2o. On vient de voir que le poids T eft foûtenu par les puiffances A, B, D, E, F, &c. de même qu'il le feroit, par exemple ici, par la puiffance F aidée d'une autre fuivant CQ, à qui elle feroit comme CP à CQ ( les directions de toutes demeurant toûjours les mêmes): Donc (prop. 1.) la puiffance F eft au poids T, comme CP à CK. Or (hyp.) la puiffance F eft à chacune des puiffances E, D, B, A, &c. comme CP à chacune des parties de leurs cordes CN, CM, CR, CG, &c. Donc chacune de ces puiffances eft au poids T, comme chacune de ces proportionnelles, felon qu'elles leur répondent, eft à la diagonale CK. Ce qu'on vient de dire de la puiffance F, fe prouvera de même de toute autre dont la proportionnelle feroit un des côtez du parallelogramme qu'on vient de démontrer, avoir toujours fa diagonale, comme ici CK, dans la ligne de direction du poids T: ainfi en general de quelque maniere qu'un poids foit foûtenu avec des cordes par quelque nombre de puiffances que ce foit, appliquées à un même noeud, chacune de ces puiflances elt toûjours à ce poids, comme chacune de leurs proportionnelles qui fervent de côtez aux parallelogrammes dont il eft ici queftion, eft à la diagonale du dernier, qu'on vient de voir se trouver toûjours dans sa ligne de direction.

COROLLAIRE.

D'où l'on voit que toutes ces puiffances prifes enfemble, font toûjours au poids T, qu'elles foûtiennent, com