c'est-à-dire, les puisfances R, P, entr'elles en raifon reciproque des finus des angles DAR, DBP, compris chacun entre les directions de chacune d'elles & du poids qu'elle foûtient.

2o. Si outre les directions AD, BD, des poids EON, FQM, paralleles entr'elles vers quelque côté que ce foit, celles AR, BP, des puiffances RP, font auffi paralleles entr'elles vers tel autre côté qu'on voudra, ce double parallelisme rendant non feulement DB DS, mais encore DAR=DBP, doit auffi rendre ici RP, c'est-à-dire, les › puiffances R, P, égales entr'elles.

Dans la même hypothefe des charges égales O, Q, du plan HG, le Corol. 9. donnera EON. O:: SRAO. DAR. & la charge Q, ou fon égale ( Hyp.) O. FQM ::/DBP.PBQ. Donc (en multipliant par ordre ) EON. FQM::/RAOX/DBP. SPBQx/DAR. c'eft-à-dire, les pefanteurs des poids EON, FOM, entr'elles en raifon compofée de la directe des angles partiaux, RAO, PBQ, & de la reciproque des finus des angles totaux DAR DBP. Donc,

1o. Si les directions AR, BP, des puiffances R, P, font paralleles entr'elles, celles des poids étant telles qu'on voudra, les angles RAO, PBQ, fe trouvant alors égaux entr'eux, l'on aura pour lors ici EON. FQM: SDBP. sDAR. c'est-à-dire, les pefanteurs abfolues des poids EON, FQM, en raifon reciproque des finus des angles totaux DAR, DBP. ·

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2o. Or ce cas de parallelifme des directions AR, BP, des puiffances R, P, rend auffi (DBP—sDXA, & ( Déf. 9. Cor. 2.)/DAR=/DAX. Donc (nomb. 1.) ce même parallelifme rend pareillement ici EON. FQM::/DXA.. JDAX (Lem. 8. Corol. z.):: AD. XD. c'elt-à-dire, les pefanteurs abfolues des poids EON, FQM, en raifon des › côtez AD, XD, du triangle AXD.

3°. D'où l'on voit que fi outre les directions AR, BP,, des puiffances R, P, paralleles entr'elles, celles AD,BD, des poids EON, FQM, le font auffi entr'elles, ce double parallelifme joint à celui ( part. 1. 2.) des droites AO, BD, entr'elles, rendant les angles RAO PBQ, & DBP DAR, rendroit pareillement ici EON FOM, c'est-à-dire, les pefanteurs abfolues des poids EON,FQM, égales entr'elles.

COROLLAIRE. LIII.

Les noms O, Q, des charges du plan HG aux points O, Q, demeurant toûjours les mêmes, il fuit des Ĉorol. 33.39. 40. 44. 48. 5.2. que,

I. Puifque l'hypothese des poids EON, FQM, d'égales pefanteurs abfolues, quelque foit le refte, donne (Cor. ·33.) R. P::SDAQ×sPBQ. ĴDBQ×sRAO.

1°. Le Corol., 9. donnant P. Q::DBQ. (DBP. Cette hypothese donnera aussi R. Q::JĎAO×sPBQ. S.DBP× fRAO.

-2°. Le Corol. 9. donnant pareillement O.R::/DAR. ADAO. cette même hypothefe donnera O. P:: SDAR× SPBQ. SDBQX/RAO.

II. Puifque la même hypothefe d'égales pefanteurs abfalues des poids EON, FOM, donne de plus (Corol. 39.) O. Q: :SRAD×sPBQ.:/DPBxsRAO.

1°. Le Corol. 9. donnant R. Ŏ::/DAO. RAD.. cette hypothese de pefanteurs abfolues EON, FQM, égales entr'elles, donnera encore R.Q:: DAO×sPBQ. sDBP× RAO. ainfi que dans le nomb. 1. du précedent art. 1.

2o. Le Corol. 9. donnant pareillement Q. P: DBP. DBQ. la même hypothefe de pefanteurs abfolues des poids EON, FOM, égales entr'elles, donnera encore auffi O. P :: RAD SPBQ. SDBQ×sRAO. comme dans le nomb. 1. du précedent art. 1.

III. Puifque l'hypothese des puiffances R, P, égales entr'elles, quelque foit le refte, donne (Corol. 40.) EON. FQM::/RAOX/DBQ..SPBQX/DAO.

1°. Le

1. Le Corol. 9. donnant FQM. Q:: PBQ. /DBP. cette hypothefe de R=P,donnera aufli EON. Q::/RAO xfDBQ. SDBP×/DAO.

2°. Le Corollaire 9. donnant pareillement O. EON ::RAD. SRAO. cette même hypothefe de RP donnera auffi O, FQM:: /RAD×sDÉQ. SPBQ×SDAO.

IV. Puifque la même hypothefe de RP donne de plus (Corol. 44.) O.Q:: SRAD×sDBQ. /DBP/DAO. 1°. Le Corol. 9. donnant EON. ::RAO. JRAD. cette hypothefe de RP donnera encore EON. Q ::SRAOXSDBQ:SDBP×/DAO. ainfi que dans le nomb. 1. du précedent art. 3.

2°. Le Cor. 9. donnant pareillement Q. FQM :: JDBP. SPBQ. la même hypothefe de RP, donnera encore auffi O.FQM::SRADXSDBQ.SPBQxSDAO. comme dans le nomb. 2. du précedent art. 3.

V. Puifque l'hypothefe des charges O, Q, du plan HG en fes points O, Q, égales entr'elles, quelque foit le refte, donne (Corol. 48.)Ř. P::SDAO×/DBP: sDBQ× f.DAR.

1o. Le Corol. 9. donnant P. FQM :: SDBQ. SPEQ. cette hypothefe de O=Q donnera aufli R. FQM::/DAOx ƒDBP.JPBQX/DAR.

2°. Le Cor-9. donnant pareillement EON. R::RAO. DAO. cette même hypothefe de O=Q_ donnera auffi EON. P::SRAO×f DBP. SDBQ×/DAR.

VI. Puifque la même hypothefe de O=Q donne de plus (Corol. 5.2.) EON. FÖM :: SRAO×sDBP.SPBQ× JDAR.

1o. Le Corol. 9. donnant R. EON ::SDAO. FRAO. cette hypothefe de O=Q donnera encore R. FOM ::SDAOxfDBP. SPBQX/DAR. ainfi que dans le nomb. 4.du précedent art. 5.

2°. Le Cor. 9, donnant pareillement FQM. P::/PBQ. JDBQ. cette hypothefe de O=Q donnera encore auli •EON. P:: RAO×sDBP. SDBQ×/DAR. comme dans le nomb. z.du précedent art. 5.

Tome II.

H

Fre, 2130

214

au-

les analo-

Toutes ces analogies réfultantes des Corol. 33. 39.40.44. 48.52. par le moyen du Corol. 9. dans les fix articles du pre-· Jent Corollaire 53. peuvent encore fe détailler en plufieurs tres, fuivant les differentes hypothefes qu'on y peut faire des angles qui y font compris : & cela de la maniere que gies de ces Corol. 33. 39. 40. 44. 48. 52. l'ont été ci-dessus,&qu'on le va voir encore dans les deux Corollaires fuivans. Voilà jufqu'ici pour des poids foûtenus fur differens points d'un même plan: en voici prefentement de foutenus fur diffe-rens plans.

COROLLAIRE LIV.

Soient prefentement deux poids EO, FQ, de même pefanteur abfolue, & de directions AD, BD, concourantes en tel point D qu'on voudra, foutenus fur deux plans HG; HL, de hauteurs & de longueurs quelconques (ce n'est que pour épargner les figures qu'on marque ici ces plans comme s'ils étoient de même hauteur; & que les directions, tant des poids, que des puiffances, n'expriment pas ici toutes les hypothefes qu'on en va faire: c'eft à Fimagination du Lecteur à faire le refte qu'il pourra fe figurer fans peine fur ceci.) un fur chacun, par deux puif-fances R, P, de directions quelconques ER,FP, qui prolongées concourent en A, B, avec celles des poils; defquels points A, B, foient AO, EQ, perpendiculaires en O, Q, à ces plans HG, HL. On trouvera ici, comme dans leCorol. 33.R.P::/DAO׃PBQ. (DBQx/RAO.Donc,

1o. Si les directions AR, BP, des puiffances R., P, font deux paralleles entr'elles quelconques, & celles AD, BD, des poids EO, FQ, deux autres paralleles entr'elles auffi quelconques, dont la feconde BD prolongée rencontre OA prolongée en N, laquelle OA prolongée rencontre auffi BP en V, & QB prolongée en M: ayant alors (RAQ SPVO=/BVM, ƒDAO=sBNM, SPEQ=ƒMBV, &/DBQJMBN; l'on aura pour lors R.P.: (BNMx SMBV./MBN×fBVM. Or (Lem. 8. Corol. 2.) BNM. SMBN:: BM. MN. Et SMBV.SBVM:: MV. BM. Donc

auffi pour lors R. P :: BM×MV. MN×BM :: MV.MŃ. quelques foient les hauteurs des plans HG, HL.

2o. Si les directions AR, BP, des puiffances R, P, font paralleles chacune à chacune des longueurs HG, HL, des plans fur lefquels elles foûtiennent chacune un des poids EO,FQ fçavoir, AR à HG, & BP à HL ; & fi les directions AD, BD, font paralleles auffi chacune à chacune des hauteurs de ces deux plans, ou à leur hauteur commune HK, s'ils ont la même : cette hypothefe rendant les angles RAO=HOA=HQB=PBQ, DAO HGK, DBQ=HLG; & confequemment auli /RAO SPBQDAO/HGK (Déf. 9. Corol. 2.)/HGL, DBQ=HLG; cette même hypothese donnera ici R. P:: /HGL/RAO. SHLG×sRÃO::SHGL.SHLG. c'est-à-dire, les puiffances R., P, entr'elles en raifon des finus des angles HGL ou HGK, & HLG, d'inclinaison des plans HG, HL, aux longueurs defquels on fuppofe ici que ces directions de ces puiffances font paralleles chacune à chacune, quelques foient les hauteurs de ces plans.

3°. Si l'on veut prefentement que ces hauteurs foient égales, ou la même HK pour tous les deux ; ayant pour lors (Lem..8. Corol. 2.).JHGL. SHLG:: HL. HG. l'hypothefe du precedent nomb. 2. ajoutée à celle-ci, donnera pareillement ici R. P:: HL. HG. c'eft-à-dire, les puiffances R, P, ici entr'elles en raifon reciproque des longueurs HG, HL, des plans, aufquelles on fuppofe encore ici que leurs directions AR, BP, font paralleles chacune à chacune de ces longueurs.

4°. Toutes chofes demeurant les mêmes que dans le nomb. 3. fi l'on imagine fur le diamétre HK le demi-cercle HTSK dans la Fig. 210. où le cercle entier HTSK dans la Fig. 21 1. lequel perpendiculaire aux plans HG, HL, en rencontre ces longueurs en S, T: leur hauteur commune HK étant ici fuppofée perpendiculaire à la droite KL, fur laquelle leurs bafes font auffi fuppofées; les perpendiculaires KS, KT, aux longueurs HG, HL,