tă base du poids EON; & la charge ou impression résultante du concours d'action de ces deux forces fur cette furface, fera encore à chacune d'elles comme cette diagonale AD à chacun des côte AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions dans le parallelogramme BACD.

III. Reciproquement fur quelque furface que ce foit encore, fi le parallelogramme BACD a encore fes cótez AB, AC, entreux en raifon de la puiffance R & de la pefanteur du poids EON, fur les directions defquelles on fuppofe ces côte ; & que la diagonale AD de ce parallelogramme foit perpendicu-Laire à cette furface quelconque SV en quelque point o de la: bafe du poids EON: ce poids fera toûjours alors foûtenu fur cette furjace par la puissance R en équilibre avec lui.

DEMONSTRATION.

que

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PART. I. Les Corol. 8. 9. du Lem. 3. font voir pour que la puiffance R foutienne le poids EON fur la' furface quelconque inclinée SV, l'impreffion ou la force réfultante du concours d'action de cette puiffance & de la pefanteur de ce poids fur lui, doit être dirigée fuivantune perpendiculaire menée du point A à cette furface, laquelle perpendiculaire paffe par la bafe de ce poids. Donc cet équilibre étant ici fuppofé entre la puiffance R & le poids EON fur cette fürface SV ou HG, & la diagonale AD y étant aufi fuppofée perpendiculaire à cette même furface, & la feule qu'on y puiffe mener du point A; l'impreffion réfultante du concours d'action de la puiffance R & de la pefanteur du poids EON fur lui, doit être ici fuivant cette diagonale AD, & cette diago→ nale paffer par la bafe de ce poids EON. Donc auílì (Lem. 3. Corol. 4.) cette force ou impreffion de A vers D fuivant AD perpendiculaire en O à la furface SV, qui en ce cas d'équilibre la foutient ainfi toute entiere, c'est-àdire, la charge de cette furface en ce point O, réfultan- te fur elle du concours d'action de la puiffance R & de las pefanteur du poids EON, doit être ici à chacune de ces. deux forces generatrices de celle-là, comme cette diago

nale AD est à chacun des côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions dans le parallelogramme BACD. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

PART. II. Puifque (Hyp.) la puiffance R & la pefanteur du poids EON font ici entr'elles comme les côtez AB, AC, du parallelogramme BACD; l'impreffion réfultante de leur concours d'action fur ce poids, doit être (Lem. 3. part. 4. & Corol. I. nomb. 1.) de A vers D fuivant la diagonale AD de ce parallelogramme comme (Lem. 3. Corol. 6.) fi ce corps au lieu d'être pouffé ou tiré par ces deux forces à la fois, ne l'étoit en ce fens que par une feule qui fut égale à ce qu'il lui en réfulte du concours d'action de ces deux-là. Donc dans le cas d'équilibre ici fuppofé entre la puiffance R & le poids EON sur la furface SV, cette diagonale doit être (Lem. 3. Corol. 8.9.) perpendiculaire à cette furface en quelque point O de la bale de ce poids; & ( Déf. 27.), la charge de cette furface, égale ( Ax. 4.) à cette force ou impreffion réfultante du concours d'action de la puiffance R & de la pefanteur du poids EON, que cette furface foûtient toute entiere d'une réfiftance directement oppofée, être ( Lem, 3. Corol. 1. nomb. 2.) à chacune de ces deux forces generatrices de celle-là, comme cette diagonale AD à chacun des côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs dire&tions dans le parallelogramme BACD, ainfi que dans la précedente part. I. Ce qui est tout ce qu'il falloit 2°. dé

montrer.

PART. III. Puifque l'on fuppofe encore ici la puiffance R & la pefanteur du poids EON en raifon des côtez AB, AC, du parallelogramme BACD, pris fur leurs directions ; & que de plus la diagonale AD de ce parallelogramme eft perpendiculaire à la furface SV ou HG en quelque point O de la base du poids EON ; l'impreffion réfultante du concours d'action de la puiffance R & de la pefanteur de ce poids EON fur ce corps, doit être ici ( Lem. 3. part. 4. & Corol. 1. nomb. 1.) de A vers D fuivant cette diagonale AD, & confequemment être auffi

(Hyp.) perpendiculaire à la furface SV par quelqu'un des points O de la base du poids EON. Donc (Lem. 3. Corol. 8. 9.) ce poids doit être ici en équilibre avec la puiffance R fur cette furface SV. Ce qu'il falloit 3°. dé

montrer.

AUTRE DEMONSTRATION.

PART. I. Au lieu de la furface SV imaginons pour un moment une puiffance T, qui avec une corde ZT dirigée fuivant DA prolongée de ce côté-là, foutienne avec la puiffance R le poids EON prefentement foutenu avec des cordes feulement. Il est manifefte que puifque (Hyp.) la droite TD eft perpendiculaire en O à la furface SV, & la feule (Hyp.) qu'on lui puiffe mener par le point A ; non feulement cette furface SV ne peut fuppléer la puiffance T, & foutenir en fa place avec la puiffance R le poids EON, à moins (Lem. 3. Corol. 8. 9.) que cette perpendiculaire AO ne paffe par quelque point de la bafe de ce poids; mais encore qu'alors la réfistance ou (Déf. 27.) la charge de cette furface ou de fon point O feroit (princip. gener. Corol. 2.) égale à la puiflance T. Or cette puiffance T (à la place de la réfiftance de cette furface SV) foutenant-ainfi avec la puiffance R le poids EON, ou (ce qui revient au même) fe trouvant ainfi foûtenue par le concours d'action de la puiflance R & de la pefanteur du poids EON, comme fi elle étoit un poids dirigé fuivant ÂT, & foûtenu avec des cordes AR, AC, par deux puiffances R, C, dont celle-ci (C) fût égale à la pefanteur du poids EON, & de même direction AC cette pefanteur : cette puiffance T (dis-je ) ainfi foûte-nue, feroit alors ( Th. 1.part. 3. 4.) à la puiffance R & à la pefanteur du poids EON, comme la diagonale AD du parallelogramme BACD eft à chacun de fes côtez AB, ÁC,, correfpondans fur leurs directions. Donc non feulement cette diagonale AD perpendiculaire ( Hyp.) en O à la furface SV reftituée au lieu de la puiffance T, doit paffer ici par la bafe du poids EON ; mais encore la charge de cette

que

furface y doit être auffi à la puiffance R & à ce poids EON, comme cette diagonale AD du parallelogramme BACD eft à chacun deles côtez AB, AC, correfpondans fur les directions de cette puiffance R & de ce poids EON. Ce qu'il falloit encore 1°. demontrer.

PART. II. En fuppofant encore ici la puiffance T au lieu de la surface SV, dont elle fupplée la réfistance en équilibre (Hyp.) avec la puiffance R & le poids EON, comme fi cette puiffance T étoit un poids foutenu feulement avec des cordes AR, AC, par deux puiffances R, C, dont la feconde (C) fut égale à la pefanteur du poids EON, & de même direction AC que cette pefanteur; la part. 4. du Th. 1. fait voir que puifque Hyp.) les côtez AB, AC, du parallelogramme BACD font ici entr'eux comme la puiflance R& la pefanteur du poids EON, la direction TA de la puillance T doit être en ligne droite avec la diagonale AD de ce parallelogramme. Or les Corol. 8. 9. du Lem. 3. font voir auffi qu'afin que la furface SV fupplée cette puiffance T par fa résistance, la direction TA prolongée de cette même puillance T doit être perpendiculaire en quelque point O de la bafe du poids EON. Donc en ce cas d'équilibre entre la puiffance R & le poids EON fur la furface SV remise en fa place au lieu de la puiffance T, la diagonale AD du parallelogramme BACD doit être perpendiculaire à cette furface SV en quelque point O de la bafe du poids EON, & la réfiftance de cette furface alors égale (princ.gen. Cor. 2.) à la puiffance T, être auffi pour lors ( Th. 1. part. 4.) à la puiffance R & au poids EON, comme cette diagonale AD du parallelogramme BACD eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur leurs directions. Ce qu'il falloit encore 2. demontrer.

PART. III. Puifqu'on fuppofe encore ici les côtez AB, AC, du parallelogramme BACD fur les directions de la puiffance R & de la pefanteur du poids EON, & en raifon de ces deux forces ; la part. 6. du Th. 1. fais voir qu'une puillance Tappliquée au poids EON par le moyen

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d'une

d'une corde ZT dirigée fuivant la diagonale DA prolongée de ce parallelogramme, & qui feroit à la puiffance R & à ce poids EON, comme cette diagonale AD eft à chacun des côtez correfpondans AB, AC, de ce parallelogramme, demeureroit en équilibre avec cette puiffance R & ce poids EON ainfi foûtenu avec des cordes ZT,ER, par ces deux puiffances T, R. Donc fi au lieu de la le puiffance T, de qui la direction TD paffe (Hyp.) par point O de la furface du poids EON, une autre surface immobile SV fe prefente pour foûtenir ce poids par une bafe dans laquelle foit ce point O, & perpendiculairement à cette direction TD ou AD; cette furface SV (Lem. 3. Corol. 8.9.) foûtiendra effectivement le poids EON en équilibre avec la puiffance R. Ce qu'il falloit encore 3°.démontrer.

Ce qu'on voit ici des furfaces convexes SV, s'entendra fans peine des concaves: tout ce qui précede fe démontrera précisément de méme. Les cas où le point A de concours des directions de la puissance R& du poids EON fe trouveroit hors l'étendue de ce poids, fe réfoudront auffi comme les précedens : le Lem. 3. & fes Corollaires font voir que la diverfité quelcon que des fituations de ce point A, ne doit rien changer aux raifonnemens précedens, non plus qu'aux confequences qu'on en va déduire ; c'est-à-dire, que tout cela doit également convenir à toutes les fituations poffibles du point A de concours des directions du poids EON & de la puissance R. C'est pourquoi on n'en exprime point ici les figures, de peur d'en multiplier inutilement le nombre.

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On n'exprime point non plus la figure d'aucune furface korifontale, parce que la ligne de direction de quelque poids que ce foit, lui étant toûjours perpendiculaire, il fe foûtient deffus de lui même, & fans le fecours d'aucune puissance, par -même raison qu'il en a befoin ( comme on vient de le voir) pour demeurer en repos fur quelqu'autre furface que ce foit. Le prefent Th. 26.ne laiffe pourtant pas de s'étendre encore jusques là, ainsi qu'on le verrà dans les Corollaires.