mettant en la place de z dans les équations A & B fa valeur, l'on aura aprés avoir divifé par y

L'équation C donne cette construction. Soit menée par un point quelconque Qpris furDE la droite QM parallele à GH. Soit fait p. DQ :: QE. D2× 2E, & QE. DQ ::

AC. DQX AC & ayant

QE

DQX QE

le point M fera à la courbe cherchée IM.

Ayant prolongé DE du côté de E vers S, & mené par un point quelconque R pris fur ES la droite RF parallele GH; l'équation D donnera RF:

DR X CA

OF

DR XOF

& le point F fera à la courbe KF. Tout ceci est évident par la feule inspection des équations C & D.

Si l'on fait ya, l'équation C deviendra x —o, ce qui fait voir que la courbe IM paffe par le point D, & fi l'on fait yo, l'équation C donnera x——

ab

ab

qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de G, eft afymptote à la courbe IM, & s'en approche de plus en plus à l'infini, & l'équation D donne

ab

ab

qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de H, eft afymptote à la courbe KF.

L'on a conftruit ces équations en regardanty comme donnée, parceque fi on on l'avoit regardée comme inconnue, & x comme donnée, la construction auroit été plus compofée, & auroit dépendu de la Geometrie folide: car l'équation auroit été du troisième degré.

M' Descartes a nommé * dans cette fuppofition, les courbes IM & KF paraboloides.

7. Si la courbe FAM devient un angle rectiligne dont le fommet foit en A, la raifon de AP à PM, ou de 40 à OF sera constante; qu'elle foit donc comme b à c ( fi b exprime AC, cexprimera la parallele à DE menée de C jusqu'à une des droites AM, ou AF), & l'on aura z. y: b. c ; d'où l'on tire by : & mettant cette valeur ༢= C

de z dans les équations A & B, l'on aura les deux fui

༢.

vantes,

cxy=aby - byy - abc + bcy, &

cxy=aby—byy✦ abc bcy, qui font deux équa tions à l'Hyperbole que l'on conftruira par les régles de l'article 21, ou 22.

י,

* Geom. Liv. 3

8. Mais en ce cas on peut avoir des équations bien plus fimples en fuivant les Obfervations de l'art. 4. Soient menées du point fixe D les droites DE paralleles à AM, FIG. 100, quirencontrera GH en E;DP parallele à AF, qui rencon trera GH en O; & des points d'intersection M & F, les droites MQ & FP paralleles à GH, qui rencontreront DE & DP en Q & en P ; & ayant nommé les données DE, a ; AC, b ; DO, c; & les inconnues AE, ou MQ, x; AM ou EQ,y; AO óu FP, z; AF, ou OP,u; CE fera, b+ x; DQ, a ~g; CO, z—b ; DP, c+u; & les triangles semblables DEC, DQM & DOC, DPF donneront,a (DE). b+x (EC) a—y (DQ) x (QM), &c (DO). z— b ( OC ) :: c + u ( DP) .z (PF), d'où F'on tire ces deux équations by + xyab, & zu — bu be, qui font à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes; & que l'on conftruira par les regles de l'article 22.

9. Si la courbe FAM eft un cercle dont le centre foit FIG.IOF, C, l'on aura en nommant les lignes comme on les a nom

mées no. 6, 2bz — gy, d'où l'on tire z=b+Vbbyys
& mettant cette valeur de z dans les deux équations
༢.
generales, l'on en aura deux autres, dont l'on tirera
les deux qui fuivent,

Ee j

& par confequent les courbes IM, KF, dont elles expriment la nature, font du troifiéme genre.

Ces deux équations prefentent une construction affez fimple pour décrire par des points les deux courbes IM, &KF: mais les interfections M&F du cercle FAM avec la regle mobile DMF, en donnent une encore plus fimple: car ayant mené du point D une ligne quelconque DC, qui coupe GHen C, fil'on fait CM & CF chacune égale à la donnée b; les points M & F seront aux deux courbes IM & KF.

DEMONSTRATION.

Ατ
YANT mené des points M& Fles droites MP, MQ,
FO & FR paralleles à DE & à GH, les triangles fem-
blables MPC, DQM, & FOC, DRF donnent,

y (MP). Vbbyy (PC):: a—y (DQ).x(QM),& y (FO). √bbyy (OC) : a+y (DR). x (RF), d'où l'on tire les équations E & F. C.Q.F. D.

Les deux équations E & F font voir que les courbes IM & KF paffent de l'autre côté de leur axe DE par rapport à C, & que leurs parties qui font des deux côtez de DE, font égales & femblables.

ab

Si l'on fait y=o, l'on aura x= l'on aura x = +~, d'où l'on voit que GH prolongée de part & d'autre à l'infini, est afymptote aux deux courbes IM & KF.

́Si l'on fait x=o, l'équation E fe changera en ces deux fuivantes yy — 2ay+aa=0, —2ay+aa=0, & bbyyo, d'où l'on tire ya, &y=+b; il fuit de la feconde y±b, que les deux courbes IM & KF coupent l'axe DE en deux points 1& K, qui font éloignez du point E de la grandeur du demi diametre CM. Il fuit de la premiere

ya, que la courbe IM peut pafler par le point fixe D,
ce qui arrive lorfque b=a, & lorfque b furpaffe a avec
cette difference, que lorfque b=a, elle
elle coupe l'axe DE
au seul point D; & lorfque b furpaffe a, elle le
elle le coupe
au point D, & en un autre point plus éloigné de E que
le point D, de forte qu'elle fait en ce cas une efpece de
nœu, & eft femblable à la courbe du Problême préce-
dent. L'on auroit connu la même chose par le moyen
de l'équation F.

Nicomede auteur de cette courbe l'a nommée Con-
Coïde, & le point D, le pole de la Coucoïde.

EXEMPLE IV.

Problême indéterminé.

10. UN angle droit ABH, & un point fixe A, fur un de ses F1 0,10àì côtez AB étant donez. Il faut trouver dans cet angle le pointM, en forte qu'ayant mené du point A par M, la ligne AMG qui rencontre l'autre côté BH en G, & du même point M, la ligne MP parallele à BH, MG foit égale à AP.

& l'on

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & les inconnues AP, ou ( Hyp.) MG x; PM, ; BP fera, ax, AM√xx + yy ; aaura à cause des paralleles BG, PM. x (AP). √xx+yy (AM) :: a dx (PB). x (MG), d'où l'on tire après les réductions ordinaires, y =±

qui eft une équation du quatrième degré ; & par confequent la courbe dont elle exprime la nature, eft du troifiéme genre.

On voit par cette équation que la courbe a deux parties égales & femblables, l'une d'un côté de fon axe AB, & l'autre de l'autre.

=—=—a, d'où il fut que

Si l'on fait yo, l'on aura x=

la courbe coupe AB par le milieu en C, & qu'elle ne la rencontre en aucun autre point; puifqu'on ne trouve qu'une feule valeur pour x. Si l'on faitxo, l'on aura y=

qui pourroit faire penfer que la courbe passe aussi au point,puifque y y devient nulle: mais on en eft defabufé, lorsqu'on fait x moindre qu'una, ou négative: car alors les valeurs de y deviennent imaginaires; c'eft pourquoi la courbe ne rencontre AB qu'au feul point C.

Si l'on fait x=a, l'on aura y=+, ce qui fait voir que la ligne BH prolongée de part & d'autre à l'infini, est asyniptote à la courbe.

Si l'on fuppofe que x furpaffe a, ce qui eft poffibles le dénominateur a x du membre fractionnaire de l'équation, deviendra une quantité négative; c'est pourquoi les valeurs pofitives de y deviendront négatives, & les négatives deviendront pofitives; mais pour les laiffer dans l'état où elles font, il n'y a qu'à changer les fignes du dénominateur a & l'on aura d'où l'on voit que la courbe a en

xV2ax-aa

core deux parties qui font au-delà de l'afymptotę BH, dans les deux angles HBD, IBD faits par le prolongement BD de l'axe AB, & par la ligne HBI; que ces deux parties ont encore pour asymptote la ligne HBI: car fi l'on fait dans la derniere équation x=α, l'on aura y=+*, & que ces deux mêmes parties ne rencontrent point la ligne BD prolongée: car rien n'empêche d'augmenter x à l'infini, fans que les racines de y deviennent nnlles ou imaginaires, ce qu'on a deja remarqué en faifanty = o. Les deux équations précedenfourniffent cette

xV2ax

, &y=

XV 24x

tes y= conftruction. Soit 2ax— aa—zz, qui eft une équation