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22. D'où il est aifé de voir qu'on peut faire la même chose d'une maniere plus courte, en multipliant les Expofans de la grandeur donnée par l'Expofant de la puiffance à laquelle on veut élever cette grandeur. Ainfi la 3o puissance de ab, ou a’b'est a**3 b1×3 — a’b3; la 4o puisfance de a' eft a' 3×4 a3x. =a”; la 3°puissance de aab3, ou a’b3

2×3

6

eft a 63x3 = a ̊b'; la 3o puissance de -a, ou

est

mn

I

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IX 4 a eft a

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= a*, & en general la puiffance n de a" eft

a La puiffance n de ―a” est ± a

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gnifie un nombre pair, ou impair.

mn

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felon que n fi

23. Il est clair (no. 14, &15) que pour multiplier un produit ou une puiffance par un autre produit, ou par une autre puissance où se trouvent les mêmes lettres,il n'y a qu'à ajouter leurs Expofans. Ainfi a3× a2= å3

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=a1. On verra

dans la fuite pourquoi a —, & pourquoi ao=1&

MULTIPLICATION

Des quantitez complexes algebriques, & de la Formation de leurs puissances,

REGLE.

quan

24. ON multipliera tous les termes de l'une des titez par chacun de ceux de l'autre, en obfervant les Régles prefcrites n°. 14, & 15, & l'on aura le produit total que l'on réduira (n°. 11 ) à fa plus fimple expression,

b

EXEMPLES.

25. So IT la quantité à multiplier par

A. a+ 26-C.
B. 24+ 3b.
SC. 2aa+4ab

D.

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Produits particuliers. +3ab✦ 6bb— 3bc. Produit total. E.2aa7ab2ac6bb—3bc. Le premier terme 24 de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité 4 donnera la quantité C.

Le fecond terme 36 de la quantité B, multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité D; & ayant fait la réduction des deux quantitez C & D, l'on aura la quantité E qui fera le produit des deux quantitez A&B.Donc 24+ 26 −6 × 2a + 36 — 2aa+7ab— zac → 6bb— 3bc.

26. Soit la quantité à multiplier par

Produits particuliers,

Produit total

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Le premier terme aa de la quantité B ̧ multipliant la quantité A produit la quantité C. Le 2 terme bb de la quantité B multipliant la quantité A produit la quantité D, & en réduifant les produits particuliers C & D, Pon ale produit total E. Donc aa+ bb xaa —

64.

27.

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On fe contente quelquefois pour exprimer la multiplication de deux quantitez complexes, d'écrire entre deux le figne de multiplication.

Ainfi pour multiplier a+bpar ab, l'on écrit a+b xa−b, ou a + bxa b. llen eft ainfi des autres.

FORMATION

Des puiflances des quantitez complexes.

28. Pour élever une quantité complexe à une puissan

ce donnée, il faut, conime pour les quantitez incom plexes, la multiplier confecutivement autant de fois moins une que l'expofant de la puiffance donnée contient d'unitez. Ainfi pour élever a + b, à la 3o puissance, il faut (n. 24) multiplier a+bpar a+b, ce qui donne aa+zab +bb, qui étant encore multipliée par a+b, donne a3 + zaab → zabb + b3, qui eft la 3 puiffance, ou le cube de a+b. Il en eft ainfi des autres.

On peut abreger l'operation lorsqu'il s'agit d'élever un pobynome au quarré.

29. On écrira le quarré du premier terme + ou -deux fois le rectangle au produit du premier par le fecond, + le quarré du fecond; & ces trois termes feront lé quarré cherché, fi c'est un binome. Mais fi c'est un trinome, on écrira encore + ou — deux fois le pro duit des deux premiers par le troisième + le quarré du troifiéme. Si c'est un quadrinome, on écrira encore+ou deux fois le produit des trois premiers par le quatriéme. + le quarré du quatrième, & ainfi de fuite. Ainsi le quarré de a- b+c eft aa 2ab+bb2ac 2bc

+ cc.

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On a mis ici cette abréviation, parceque l'on a tresfouvent befoin de cette operation dans l'Application de I'Algebre à la Geometrie.

Voici une abréviation plus confiderable pour pour élever un binome à une puiffance quelconque.

30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puiffance donnée; au fecond la même lettre élevée à une puiffance plus baffe de l'unité, & multipliée par la 2o lettre ; au troifiéme, la même lettre élevée à une puiffance encore plus bafle de l'unité & multipliée par le quarré de la feconde; & ainfi de fuite, en abaiffant à chaque terme la puiffance de la premiere lettre de l'unité, & élevant au contraire celle du fecond de l'unité, jufqu'à ce que l'on arrive au terme, où la même premiere lettre n'aura qu'une dimenfion qui fera le pénultieme; & l'on écrira au dernier terme la feconde let

tre élevée à une puiffance égale à celle du premier. Ainfi pour élever a + b à la 4° puiffance, l'on écrira, A. aˆ±a3b → aabb + ab3 + ba. Si le binome est tout pofitif, tous les termes de la puiffance auront le figne +; fi la feconde lettre eft négative,les termes où elle fe trouvera élevée à une puiffance impaire, ou dont l'exposant est un nombre impair, auront le figne-, & tous les autres le figne+, comme on voit dans la puiffance A.

11 refte encore à trouver les coefficiens; en voici la Méthode.

le

On donnera au fecond terme pour coefficient l'expofant du premier ; on multipliera le coefficient du fecond par l'expofant que la premiere lettre a du binome a au même fecond & le produit divifé par 2, fera le coefficient du troifiéme. De même, le coefficient du troifiéme multiplié par l'expofant que la premiere lettre a au même troifiéme; & le produit divifé par 3, fera le cofficient du quátriéme ; & ainfi de fuite. De maniere que coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'expofant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divifé le nombre qui marque le lieu que ce même terme ocupe dans l'ordre des termes de la puiffance, eft le coefficient du terme fuivant. Ainfi la 4 puiffance du binome ab entierement formée est,

par

a++ 4a3b+ 6aabb +4ab3 +b+. Il en eft ainfi des autres. S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome on multipliera le coefficient de chaque terme de la puiffance par une puiffance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y eft élevée. Ainfi pour élever a+ 2b à la 3 puiffance, l'on y élevera premierement a+ b, & l'on aura a3 + zaab + zabb+b3, l'on multipliera enfuite les coefficiens des termes où b fe rencontre par la puiffance de 2 égale à celle où b y eft élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera 3aab par 2, 3abb par4, & b par 8, & l'on aura a3 + 6aab+1zabb +8, qui fera le cube de a+26.

On peut auffi élever par les mêmes régles un binome quelconque p+qà une puiffance indéterminée m ( m signifie un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif) qui fera,

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fera

q+mx

m

M 4 4

-3

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4

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*q* &c.Où l'on

voit que la premiere lettre p du binome a pour expofant dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'eft pourquoi fi ce nombre entier fe trouve dans quelqu'un égal à m, l'expofant de py o,& par confequent p=1, & ce terme fera le dernier de la puiflance m du binome pq. Mais fi ce nombre entier ne fe trouve jamaism, la puiffance m du binome p+q pourra être

continuée à l'infini.

31. Le binome p+q élevé à la puiffance m, comme on vient de faire, peut fervir de formule génerale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puiffance donnée.

Soit par exemple 2ax-xx qu'il faut élever à la 3o puiffance.

leurs 2ax,

zax &

1

xx=q, &m=3, l'on Ayant fuppofé 2ax = p, — xx=q, fubftituera en la place de p, de q, & de m, leurs va- xx, & 3 ; & en la place des puiflances de p & de q, les puiffances égales de leurs valeurs -xx, & l'on aura 8a3x3 12dax1 + bax3 —— x6 pour la puiffance cherchée: car m devient 3 au quatriéme terme de la Formule. De même pour élever a+ b-cà la 3 puiflance. Ayant fuppofé a=p, b—c=9, &m=3, l'on aura aprés les fubftitutions a3 → zaab→ 6abc +3acc —3bbc + 3bacc— c3. Il zabb +bi 3aac

-

en eft ainfi des autres.

32. On fe contente quelquefois pour élever uu polynome à une puiffance donnée, d'écrire à fa droite l'expofant de la puiffance à laquelle on le veut élever. Ainf pour élever ab au quarré, on écrit a +b; pour & en general, pour élever au cube, l'on écrit a+b' ;

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