quan

fous A, & le diviseur a sous B. Je divise aab+ abb encore par a, & j'écris le Quotient ab'+ba, & le diviseur b sous A, & sous B. Je divile ab + bb par b, &j'écris le Quotient a +6, & le diviseur b sous Ā, & sous B. Enfin je divise a+b par a +b; & j'écris le Quotient 1, & le diviseur b

, a+b, sous A & sous B. J'acheve l'operation comme celle des nombres , &je trouve tous les diviseurs de la cité as taabb au-dessous de B.

RESOLUTION. Des puissances, ou de l'extra{tion des racines des quantitez

algebriques. 58. XTRAIR E la racine d'une puissance , ou d'une quantité algebrique, c'est trouver , par une operation contraire à celle de la formation des puissances , uno quantité plus simple que la proposée , qui étant multipliée par elle-même , autant de fois qu'il est necessaire, produise la puissance ou la quantité proposée.

Il y a autant de sortes de racines,qu'il y a de puissances, & l'on donne à chaque racine le nom de la puissance à laquelle elle se rapporte. Ainsi la quantité qu'il ne faut multiplier qu'une fois par elle-même pour produire la quantité ou la puissance dont elle est la racine , est nom

. mée racine quarrée , ou seconde racine ; celle qu'il faut multiplier deux fois par elle-même , pour produire la puissance dont elle est la racine,est appellée racine cube,ou troisiéme racine ; celle qu'il faut multiplier trois fois, est nommée racine quarrée quarrée, ou quatrième racine; celle qu'll faut multiplier quatre fois racine quarrée cube, ou cinquième racine; celle qu'il faut multiplier cinq fois,

; racine cube cube , ou fixiéme racine, &c.

On se sert de ce caractere V qu'on appelle signe radical , pour signifier le mot de racine : mais pour le déterminer à signifier une telle racine, on y joint l'exposant de la puissance à laquelle se rapporte la racine en question, & cet exposant est alors appellé exposant du signe radical. Ainsi V, ou simplemeut V, signific ra

cine quarrée , ou seconde racine ; V, signifie racine cube, quatriéme racine , &c. De sorte quevab, ou Vaa+bb, Vaa + 2ab + 66, signifie qu'il faut extraire la racine

quarrée de ab, ou de aa + bb, ou de aa to 2ab + bb , &c.

Il y a des quantitez dont la racine proposée s'extraic exa&tement; d'autres, dont on ne la peut extraire qu'en partie;& d'autres, dont on ne la peut point du tout extraire.

59. Les quantitez dont on ne peut extraire exactement da racine, & qu'on eft obligé d'exprimer par le moyen du figne radical, sont nommées , fourdes , ou irrationnelles, & celles qui ne sont affectées d'aucun signe radical, sont nommées rationnelles. Ainsi Vab, Vāa+bb, sont des quantirez irrationnelles, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine quarrée ; Vaab est une quantité irrationnelle, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine cube ;

EXTRACTION

Des racines des quantitez incomplexes 60. PUISQUE (no. 22. ) pour élever une quantité in, complexe à une puissance donnée, il faut multiplier les exposans de cette quantité par l'exposant de la puissance proposée ; il est clair que pour extraire la racine proposée d'une quantité incomplexe, il n'y a qu'à diviser les expofans de cette quantité par l'exposant du signe radical convenable; ou, ce qui revient au même, multiplier les exposans de la quantité proposée par une fraction dont le numerateur soit l'unité , & le dénominateur soit l'expofant du signe radical dont il s'agit, c'est-à-dire , par-, s'il s'agit de la racine quarrée ; , s'il s'agit de la racine cube ; , s'il s'agit de la racine quarrée quarrée , &c: car les dénominateurs 2, 3 & 4 sont les exposans des fi

d

3

2

3

4

gnes

radicaux V, , V, &-c. L'on rend par-là l'operation de l'extraction des racines, semblable à celle de la formation des puissances , & l'on a des exposans pour les racines aulli bien que pour les puissances : car est l'expo sant de la racine quarrée; , l’exposant de racine cube;

l'exposant de la racine quarrée quarrée, &c. & l'on peut par consequent énoncer l'extraction des racines, en disant qu'il faut élever une quantité donnée à la puissance

5. &c. au lieu de dire qu'il en faut extraire la racine quarrée, cube , quarrée quarrée, doc.

Si aprés la multiplication des exposans de la quantité propolée par les fractions dont on vient de parler , les exposans qui sont alors fractionnaires, se peuvent tous réduire en entier, la racine proposée sera une quantité rationnelle ; si une partie de ces exposans se peut réduire en entier , & que l'autre partie demeure fractionnaire, la racine ne sera extraite qu'en partie , & l'on mettra la partie rationnelle devant le signe radical, & la partie irrationnelle aprés; fi tous ces exposans demeurent fractionnaires, la racine ne sera point extraite , & l'on se contentera de mettre le signe radical devant la quantité proposée ; enfin fi les exposans fractionnaires qui ne peuvent être réduits en entier furpaffent l'unité, la puislance de la lettre dont ils font expofans, sera en partie rationnelle , & en partie irrationnelle. Il faudra operer lur les coéficiens, comme sur les lettres, en y employant les extractions numeriques des racines , & la Méthode de trouver tous les diviseurs d'un nombre,expliquée no.56. Tout ce qu'on vient de dire sera éclairci par les Exemples qui suivent.

EXEMPLE S. 61. Soita’ b+ ( dont il faut extraire la racine quar

à rée, ou qu'il faut élever à la puissance ; ayant multi

2

4

6

с

2

1

plie les expofans 2, 4 & 6 par, l'on aura až bz cz, ou ou ab'ci aprés avoir réduit les exposans fractionnaires en entier, de sorte que Va2b4c6=ab”, ce qui est évident. De même, Va+b = ab 7 = avb: car a est la racine de aa, ou a, & bzęst la même chose que Vb ; Vab

' II a 767=Vab; c'est-à-dire quevab est une quantité toute

} I irrationnelle ; Valb=alba=a

I

2 a

2 b 2 = (no.j)

ز

I

I

aa? b 2 = avab;V72 a’b?=baby2ab: car il est clair par les Exemples précedens, que Va’b = abVab, & je demontre que V72= 6V2 en cette forte. Si l'on cherche (no. 56 ) tous les diviseurs de 72, & qu'on examine tous les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agissoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes , & ainsi des autres racines ) on trouvera que 36 est le plus grand, Or = 2 & 36 x 2= 72; c'est pourquoi V72 peut ;

être regardée comme le produit de V36 *V2: mais 736 66; donc V72 = 6V2, & partant V72 a'b = 6abVzab. On trouvera de même quevizaab=2aV3b, & quev6aabes av Gbc ; parceque 6 ne peut être divisé par aucun quarré, ll en est ainsi des autres.

72 36

EXTRACTION

Des racines des Polynomes. 62. L' a Méthode d'extraire les racines des Palynomes, selon la maniere ordinaire, est semblable à celle d'extraire la racine des nombres,

A

EXEMPLE I. Soit la quantité aa + 2ab + bb + 2a + 2bc+, dont il faut extraire la racine quarrée. Diviseurs. Quantité proposée. Racine, ou Quot.

aa+2ab+bb+-2ac+2bc+cc. (a+b+6.

1. 22 + b A. O +2ab+bb+ac+2bc+06

+ 2ab-bb 2. 23+25+. B.

otiac+2bc+CC

206—2bccc C.

0. Je dis , le premier terme aa est un quarré, dont la racine est a que j'écris au Quotient, &je soustrais le quarré de a qui est aa du premier terme aa de la quantité proposée, en l'écrivant au-dessous avec le signe — Je réduis à la maniere de la division la quantité proposée , & le quarré foustrait , & j'écris la Réduction A au-dessous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne ża que j'é. cris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier diviseur. Je divise le premier terme + 2ab de la quantité A par za ; ce qui me donne +b que j'écris au Quotient , & à la droite du diviseur 2a , & j'ai le premier diviseur complet-2a + b que je multiplie par le nouveau Quotient b ; & j'ai plus 2ab + bb que je soustrais de la quantité A, en l'écrivant au-dessous avec des signes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a +b, & j'ai 2a + 2b pour une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. se divise de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + ża , ce qui me donne +6 que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau di. viseur 2a + 2b; ce qui fait 2a + 2b + c pour le second diviseur complet. Je multiplie ce second diviseur 2x