•

fous A, & le diviseur a sous B. Je divise aab+abb encore par a, & j'écris le Quotient ab + ba, & le diviseur b sous A, & fous B. Je divise ab + bb par b, & j'écris le Quotient a+b, & le diviseur b sous A, & fous B. Enfin je divise a + b par a + b; & j'écris le Quotient 1, & le diviseur a+b, sous A & sous B. J'acheve l'operation comme celle des nombres, & je trouve tous les diviseurs de la quantitè a3 + aabb au-dessous de B.

RESOLUTION.

Des puissances, ou de l'extraction des racines des quantitez algebriques.

58. EXTRAIRE la racine d'une puissance, ou d'une quantité algebrique, c'est trouver, par une operation contraire à celle de la formation des puissances, une quantité plus simple que la proposce, qui étant multipliée par elle-même, autant de fois qu'il est necessaire, produise la puissance ou la quantité proposée.

Il y a autant de sortes de racines, qu'il y a de puissances, & l'on donne à chaque racine le nom de la puissance à laquelle elle se rapporte. Ainsi la quantité qu'il ne faut multiplier qu'une fois par elle-même pour produire la quantité ou la puissance dont elle est la racine, est nommée racine quarrée, ou seconde racine; celle qu'il faut multiplier deux fois par elle-même, pour produire la puissance dont elle est la racine, est appellée racine cube,ou troifiéme racine; celle qu'il faut multiplier trois fois est nommée racine quarrée quarrée, ou quatrième racine; celle qu'll faut multiplier quatre fois racine quarrée cube, ou cinquième racine; celle qu'il faut multiplier cinq fois, racine cube cube, ou fixiéme racine, &c.

On se fert de ce caractere ✓ qu'on appelle figne radi cal, pour fignifier le mot de racine: mais pour le déterminer à fignifier une telle racine, on y joint l'expofant de la puissance à laquelle se rapporte la racine en question, & cet exposant est alors appellé exposant

du figne radical. Ainfi, ou fimplement v, signifie ra

cine

3

cine quarrée, ou seconde racine;✓, signifie racine cube, quatriéme racine, &c. De sorte que vab, ou Vaa+bb, Vaa+2ab+bb, signifie qu'il faut extraire la racine quarrée de ab, ou de aa bb, ou de aa+2ab+bb, &c. Il y a des quantitez dont la racine proposée s'extrait exatement; d'autres, dont on ne la peut extraire qu'en partie; & d'autres, dont on ne la peut point du tout extraire.

59. Les quantitez dont on ne peut extraire exactement la racine, & qu'on est obligé d'exprimer par le moyen du signe radical, sont nommées, fourdes, ou irrationnelles, & celles qui ne font affectées d'aucun signe radical, font nommées rationnelles. Ainsi Vab, Vaabb, font des quantitez irrationnelles, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine quarrée; Vaab est une quantité irrationnelle, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine cube; &c,

3

EXTRACTION

Des racines des quantitez incomplexes

60. PUISQUE (no. 22.) pour élever une quantité in. complexe à une puissance donnée, il faut multiplier les exposans de cette quantité par l'exposant de la puissance proposée; il est clair que pour extraire la racine proposée d'une quantité incomplexe, il n'y a qu'à diviser les exposans de cette quantité par l'exposant du signe radical convenable; ou, ce qui revient au même, multiplier les exposans de la quantité proposée par une fraction dont le numerateur soit l'unité, & le dénominateur soit l'expo. sant du signe radical dont il s'agit, c'est-à-dire, par,

I

2

s'il s'agit de la racine quarrée;, s'il s'agit de la racine

cube

I

4?

3

s'il s'agit de la racine quarrée quarrée, &c: car les dénominateurs 2, 3 & 4 font les exposans des fi

d

2

3

4

gnes radicaux V, V, V, &c. L'on rend par-là l'operation de l'extraction des racines, semblable à celle de la formation des puissances, & l'on a desexposans pour les ra

I

cines auffi bien que pour les puissances: car - est l'expo

2

sant de la racine quarrée, l'exposant de racine cube;

I

4

, l'exposant de la racine quarrée quarrée, &c. & l'on

peut par consequent énoncer l'extraction des racines, en disant qu'il faut élever une quantité donnée à la puissance

2

I

3

I

,, &c. au lieu de dire qu'il en faut extraire la

racine quarrée, cube, quarrée quarrée, &c.

Si aprés la multiplication des exposans de la quantité proposée par les fractions dont on vient de parler, les exposans qui font alors fractionnaires, se peuvent tous réduire en entier, la racine proposée sera une quantité rationnelle ; si une partie de ces exposans se peut réduire en entier, & que l'autre partie demeure fractionnaire, la racine ne sera extraite qu'en partie, & l'on mettra la partie rationnelle devant le signe radical, & la partie irrationnelle aprés; fi tous ces exposans demeurent fractionnaires, la racine ne sera point extraite, & l'on fe contentera de mettre le signe radical devant la quantité proposée; enfin fi les exposans fractionnaires qui ne peuvent être réduits en entier furpassent l'unité, la puifsance de la lettre dont ils font expofans, sera en partie rationnelle, & en partie irrationnelle. Il faudra operer sur les coeficiens, comme sur les lettres, en y employant les extractions numeriques des racines, & la Méthode de trouver tous les diviseurs d'un nombre, expliquée no.56. Tout ce qu'on vient de dire fera éclairci par les Exemples qui suivent.

61.

EXEMPLES.

SOITA dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance; ayant multi

2

2 4 6

plié les exposans 2, 4 & 6 par l'on aura ab

I

22

ou abc aprés avoir réduit les exposans fractionnaires en entier, de forte que va2b+c=ab2, ce qui est évident.

De même, Vab=ab2=a√b: car a est la racine de

2

I

2

aa, ou a, & best la même chose que √b ; Vab

I I

=

a2b2=Vab; c'est-à-dire quevab est une quantité toute

I

I I

2

darbiavab; √72a2b3=6ab2ab: car il est clair par les Exemples précedens, que √ab = ab√ab, & je démontre que √72 = 6√2 en cette forte. Si l'on cherche (no. 56) tous les diviseurs de 72, & qu'on examine tous les quarrez quis'y rencontrent (s'il s'agissoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes, & ainsi des autres racines) on trouvera que 36 est le plus grand,

Or

36

= 2 & 36 × 2 = 72; c'est pourquoi √72 peut être regardée comme le produit de √36 × √2: mais√36 6; donc √72 = 672, & partant √72 a'b = bab√2ab. On trouvera de même que√12aab=2a√36, & que√6aabc= av6bc; parceque 6 ne peut être divisé par aucun quarré, Il en est ainsi des autres.

EXTRACTION

Des racines des Polynomes.

62. La Méthode d'extraire les racines des Polynomes, selon la maniere ordinaire, est semblable à celle d'extrai*re la racine des nombres,

.

Je dis, le premier terme aa est un quarré, dont la racine est a que j'écris au Quotient, & je soustrais le quarré de a qui est aa du premier terme aa de la quantité proposée, en l'écrivant au-dessous avec le figne -. Je à la maniere de la division la quantité proposée, & le quarré soustrait, & j'écris la Réduction A au-dessous d'une ligne.

réduis

Je double le Quotienta, ce qui me donne 2a que j'écris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier diviseur. Je divise le premier terme + 2ab de la quantité A par 2a; ce qui me donne + b que j'écris au Quotient, & à la droite du diviseur 2a, & j'ai le premier diviseur complet 2a+b que je multiplie par le nouveau Quotient b, & j'ai plus 2ab+bb que je soustrais de la quantité A, en l'écrivant au-dessous avec des signes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a + b, & j'ai 2a + 26 pour une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. Je divise de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + 2a, ce qui me donne + c que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau diviseur 2a + 2b; ce qui fait 2a + 2b + c pour le second diviseur complet. Je multiplie ce second diviseur 24