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+ 16+ c par le nouveau Quotientc, & j'ai 240 +2bc+c
que j'écris au-dessous de la quantité B avec des signes
contraires, ; & réduisant ces deux quantitez je trouve
zero pour la troisiéme Réduction ; d'où je conclus que
l'operation est achevée, & que par consequent,
Vaa + 2ab + b +240 +2bc +=a+b.-+ 6

E x EMPLE I I.
Sort la quantité gaa

- 12ab + 4bb dont il faut ex,
traire la racine quarrée.
Diviseurs. Suantité proposee. Racine ou Quotient.

gaa--- 12ab + 4hb. (32.- 2b.

gaa
68 - 26. A. Iżab + 4bb

+12ab-4bb

B Le premier terme 98a étant un quarré dont la racine est 3a ; j'écris za au Quotient , & fon quarré gan au-dessous dė gaa avec le signe -, & la premiere Reduction

&
est la quantité A. Je double le Quotient 3a , ce qui me
donne 6a, qui font partie du premier diviseur, & que j'éa
cris à la gauche de la quantité A. Je divise
+ 6a, ce qui me donne – 2b que j'écris au Quotient &
à la droite de 6a, & j'ai par ce moyen le diviseur com-
2b. Je multiplie 6a

25
par

2b, ce qui me donne — 12ab + 4bb, & j'écris + 12ab- 4bb audessous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui se trouve égale à zero, fait voir que la quantité proposée est un quarré dont la racine est 32 — 2b, c'est-à-dire, que Vgan - 128b+ 4bb

2b. S'il venoit une Réduction qui ne pât être divisée par le double du Quotient, ce seroit une marque que

la quantité proposée ne seroit point quarrée ; & il faudroit alors se contenter de la mettre sous le signe radical. Par

12ab par

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plet 6a

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3a

,

exemple, si on vouloit extraire la racine quarrée de aa + bb, l'on trouveroit que la racine de aa est a : mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par 2a , ce qui feroit voir que aa + bb, n’est point un quarré; c'est pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette forte Vaa+bb. Il en est ainsi des autres.

Au reste, il est aisé de connoître par la formation des puissances , ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique , fi une quantité proposée est quarrée, ou un cube, &c. & d'en extraire par consequent la racine sans le secours d'aucune operation, ou par la seule inspection des termes de la quantité proposée,

63. Mais sans cela , & sans le secours des Régles que nous venons de donner, l'on peut, avec toute la facilité possible extraire toutes sortes de racines, quafrées, cu, bes, quarrées quarrées, &-c. par le moyen de la formu

. le generale proposée no. 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puissance dont l'exposant soit celui de la racine qu'on veut extraire, c'est-à.dire, que cet exposant soit , fi c'est la racine quarrée ; ;, si c'est la racine cube ,

si c'est la racine quarrée quarrée , &c. ce qui est facile en suivant ce qui est prescrit no. 31, comme on va voir par les Exemples qui suivent,

E x E M P L E I. Sort la quantité a' — 3aab + 3abb 63 dont il faut extraire la racine cube , ou ce qui est la même chose, qu'il faut élever à la puissance

Ayant fait a' =P zaab + 3abb I=9,& mer, tant ces valeurs de p& de q dans les deux premiers termes,+ mp 9

de la formule generale proposée no,

I

2

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3

m

3m

2

30; ( car les autres termes sont inutiles, lorsque les racines qu'on veut extraire, sont rationnelles ;) l'on aura a x- -zaab + 3abb 6, & faisant encore m

b' == l'on

zaab+ jabb b', ou 66

'b': mais

parceque le second terme

+25=
=-ab=b=b; le

ib troisiéme & quatrieme terme sont nuls. Ainsi l'on a ab pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que

јт - 3 to ma

I aura a to

I

a

3 -2

2 ti 6+ a

X

1 3

- 2+ a

.

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3

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a zaab + 3abb bj 3; ouvai — Zaab+abbb3

+ sa-b.

E X EMPLE I I. Sont la quantité aa + 2ab. - 29c+bb 26c+wc donc

cc il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance Ayant fait aa ou a' =p, + 2ab

2ac + bb C =q & mettant ces valeurs de p& de q dans les deux

9 premiers térmes de la Formule p" + mp 9,

2ab200+ bb · 26c+06, ou en en fai.

abct

m

l'on aura

2m

2m - 2 of ma

Х

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2

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cc. Mais parceque le second & troisième terme deviennent +6, & ; il suit que tous les au

— c tres terines , où b, &c se rencontrent font nuls. AinG aa + 2ab

2bc + CC 2, ou

cchr Vaatab 2ac + 66

2bc +=a+b.

2ac + 66

EXEMPLE II I. Soit la quantité 9aa + 12ab + 4bb dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance

Ayant supposé 9aa , ou 92+ =p, & 12ab + 4bb 5q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes de la Formule p" + mp 9, l'on aura 9 a

2

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m

m I

m 2 m

q

2 M2 a

mg

x 12ab +4bb,ou en faisant m=

х

9

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2 9

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Х

2

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:

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12

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Exg- x T2ab + 466, ou 97a+

, xizab + 466: mais 9" ou V,

ou V9=3; donc 3a+ * 12ab + 466,ouza+sa

x 12ab+ 4bb, ou 34+

++

6+2a6b, ou 3a + zaobta bb: mais le second terme za b=16; c'est pourquoi ce second terme est le dernier, & le troisiéine est nul. Ainsi Jaa +12ab+ 466 ou Vgaa + 12ab+4bb=3a + 2b,

REMARQUE. 64. S1 dans aucun terme la valeur de m, exposant de po ne se trouvoit point = 0, la racinede la quantité proposée seroit irrationnelle,& l'extra&ion fe pourroit con, tinuer à l'infini ; ce qu'on appelle approximation des racines:mais cela n'est point necessaire pour l'Application de l’Algebre à la Geometrie: car lorsque la racine d'une quantité est irrationnelle, on se contente de l'exprimer par le moyen du signe radical qui lui convient, comme on a déja dit,& comme on pourra voir dans la suite.

Pour

I

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Pour s'asseurer si on a bien extrait une racine , il est bon de l'élever à la puissance : car s'il vient la quantité proposée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple, l'on vient de trouver 3a + 2b pour la racine quarrée de gaa + 12ab + 4bb. Or si l'on multiplie 3a + 2b par 3a + 2b, l'on trouvera 9aa + 12ab+406 qui est la quan. tité proposée , c'est pourquoi l'extra&tion a été bien faite,

REDUCTION Des quantitez irrationelles à leurs plus simples expressions.

L y a des quantitez complexes, comme d'incomplexes, dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée : mais il arrive souvent que ces quantitez sont le produit de la puissance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité ; & en ce cas on peut extraire la racine en partie , en mettant devant le signe radical la racine de cette puissance , & l'autre quantité sous le signe radical. Par exemple, il est aisé de voir que aab + nac n'est point un quarré, & qu'on n'en peut par consequent extraire la racine quarrée , qu'en l'écrivant sous le signe radical en cette forte Vaab + aac : mais on voit aisément que aab + aac est le produit de aa qui est un quarré, par b+s, ou que Vaab +aac=Vaax V6+ c:

b =a; donc Vaao+aac=axVb+c=avb+ci & c'est ce qu'on appelle extraire une racine en partie, ou plûtôt ce qu'on appelle réduire une quantité irrationelle à sa plus simple expression, ce qu'on doit toujours faire quand cela se peut , soit que les quantitez soient complexes ou incomplexes.

Lorsqu'on ne voit pas par la seule inspection des termes, fi'une quantité irrationelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expression plus fimple, on l'examinera en cherchant ( no. 56 ou 577 tous les diviseurs qui la peuvent exactement diviser ; & s'il s'en trouve quelqu'un qui soit une puissance du même nom que la racine qu'on

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or Vaa

2

=

e

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