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C

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de trois termes : ou plûtôt lorsque plusieurs grandeurs dont le nombre surpasse 3, sont rangées de suite, de maniere que chacune d'elles puisse servir de consequent à celle qui la precede; & d'antecedent à celle qui la suit, cette rangée de grandeurs est appellée progression , arithmerique ou geometrique, selon que les raports que les grandeurs qui la composent ont entr'elles sont arithmetiques ou geometriques. A, B, C, sont des progressions arithmetiques. D, E, F, des progressions geometriques.

A.1.2.3.4.5, &c. D. 1.2.4.8.16, &c.
B. 10.8.6.4.2,&c. E. 81.27.9.3.1, doc.
C. 4.2.0–2–4,&c.

F.4.2.1.0.

&c. COROLLAIRE I. 19. I . est clair ( no. 18.) que dans une progression arithmetique , l'excés d'un terme quelconque par-dessus celui qui le suit, ou qui le précede, doit être toujours le même. De sorte que si on nomme le premier terme d'une progression arithmetique a ;

& l'excés qui regne dans la progression m, (m peut signifier un nombre quelconque, entier, ou rompu, positif, ou negatif) l'on pourra former par le moyen de ces deux lettres, une progression arithmetique generale en cette sorte, a.a tom, a st. 2m. At 3m,

&c. COROLLA IRE I I. 20. Il n'est pas moins évident

que

fi dans la progression geometrique, l'on divise un terme quelconque par celui qui le suit, la réduction, ou le quotient sera toujours le même ; c'est pourquoi li l'on nomme le premier terme d'une progression geometrique b, & la réduction ou quotient qui regne dans la progression n ( n signifie un nombre positif, entier, ou rompu), l'on pourra former une progression geometrique generale, en cette forte.

&c, car si une quantité b divisée par

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6

b

b

b.

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donc a.a

m :: 0.0

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.

n

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AC

une autre , donne au quotient n, la même quantité b, divisée par le quotient n donnera cette autre. 21. Ceci se

peut aussi appliquer aux proportions tant arithmetiques que geometriques. Soir par exemple, la proportion arithmetique suivante a : 6:c.d; si l'on

6 nomme a b, ou b--a,m;cdoud — c sera auslim;

mic
m, ou a.a+m:: 6.6+ m,

d'où l'on voit que la somme des extrêmes est égale à la fomme des moyens, c'est-à-dire, a+c+m=a+m+, puisque ces deux sommes, qui font les deux membres de cette équation , renferment les mêmes quantitez.

De même , si dans la proportion geometrique suivante a ..::c.d, on fait Ő=n l'on aura ausli 등 =N; & partant (no. 20.) a. ;

d'où l'on voit aufli

que

le produit des extrêmes est égal au produit des moyens , c'est-à-dire, : car ces deux produits qui sont les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez.

AXIOME I. 23. Su

i l'on ajoute , ou si l'on soustrait , ou si l'on mul. tiplie , ou si l'on divise des quantitez égales par des quantitez égales ; les sommes, ou les differences, ou les produits, ou les quotiens, seront égaux.

COROLL AIRES. 20t. I _ fuit qu'on peut ajouter, foustraire, multiplier, our diviser les deux membres d'une équation par les deux membres d'une autre, chacun par chacun. Par exemple , fia=b,&c=d, l'on aura a Ic=b+d,oua+d =6+r;ac=bd, ou ad=bc ; =

a 2°. Il suit aussi de cet Axiome, & de l'Addition & la Soustraction ont des effets contraires, que l'on peut

n

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=

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с

d

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ce que

:

paller tel terme que l'on voudra d'un membre d'une équation dans l'autre enchangeant son signe, ce qu'on appelle transposition. On peut même passer tous les termes d'un des membres dans l'autre , ce qu'on appelle égaler tout à zero. Ainsi cette équation aub-c=g fe

=g se peut changer en celle-ci a+b=5+c, ou en celle-ci a=8+1-6, ou en celle-ci a + 6 -3=0, ou o =8-a

-6 +c: car par exemple , dans le premier changement, on ne fait qu'ajouter e de part & d'autre du ligne d'égalité,

c & parcequ'elle y est soustraire , ce qui donne a+b-c+=8 +1, qui se reduit à a+b=8+c. Il en est ainsi des autres changemens.

3°. Il suit de ce Corollaire que l'on peut changer tous les signes d'une équation ; car il n'y a qu'à fuppofer qu'on fait passer tous les termes d'un membre dans l'autre ; & que l'on peut mettre seuls dans un des membres, les termes qu'on veut , avec les signes qu'on veut.

4. Il suit encore du même Axiome , & de ce que la division détruit ce que fait la multiplication ; & au con- . traire , qu'on peut délivrer une équation de toutes les fractions qui s'y peuvent rencontrer : car il n'y a qu'à multiplier toute l'équation par tous les dénominateurs l'un aprés l'autre , ou ce qui revient au même , la multiplier une seule fois par le produit de tous les dénominateurs, & ensuite réduire ( art. 1. no.37.) les termes fra. ctionnaires. Par exemple, pour ôter les fractions de cette équation

on la multiplira par c &

Aabcx puis par a, ou une seule fois par ac,

& l'on aura abeed: mais(art.i.n°37.) at acgx +

aabx , & becd ; donc abcx + acgx=becd qui n'a plus de fractions.

L'on abrege l'operation , & particulierement quand les dénominateurs font des polynomes , en écrivant les numerateurs des termes fractionnaires sans y rien chan. ger, & en multipliant les autres termes par les dénomi

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abx

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to go

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C

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لا

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AA

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nateurs. Ainsi

pour

ôter la fraction de cette équation =r, ayant multiplié c par 6-y, l'on aura xx - Aa=bc-cy. Il en est ainsi des autres.

5. Il suit aulli qu'on peut délivrer une lettre , ou telle puissance qu'on voudra d'une même lettre , qui se trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui la mul. tiplient ; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puissance: car il n'y a pour cela qu'à diviser toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre aprés avoir mis dans un des membres tous les termes où se trouve cette lettre, & tous les autres termes dans l'autre membre , & qu'à faire ensuite la réduction. Par exemple, si dans cette équation ax= =bc, l'on veut mettre x seule dans le premier membre , l'on aura en divisant toute l'équation para ,

: mais ( art. 1, no. 37. ) donc x

Le second membre ne peut être réduic.

Si dans celle-ci ax=ab + bx bc, l'on veut avoir x seule dans un des membres, l'on aura en transposa nt,& en fupposant que a furpaffe b, ax

bx = ab- bc, & en divisant tout par a—6, l'on aura

AX

bc

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be

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.

a

ax

óx

ab be

b

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Si dans cette équation ax— bx=aa-bb, l'on veut avoir x seule, en divisant par a-6, l'on aura

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Si dans cette équation aaxx + aayy

aaxx + aayy— 2ax-2axyy+

? xxyy = 0, l'on veut mettre yy seule dans le premier membre, l'on aura en transposant aayy — 2axyy + xxyy

— + = 2axi-- aaxx,&en divisant chaque membre par aa28x+xx, l'on aura yy=

Il en est ainsi des

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2axi

AAXX

44 24x + xx

autres,

X

Vzax).

AAXX

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Vaa-2ax xx

AXIOME II. 24. Les puissances & les racines des quantitez égales sont égales.

Ainsi ,

A inli six=+a, l'on aura en quarrant chaque mem. bre xx = xx=aa; & fixx= & fi xx = aa, les racines seront x=+a;

ta -ab, les racines seront x=+ Vab. Si xx=-ab, les racines seront x=+V-ab, qu'on appelle racine imaginaire , parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, celles sont toutes les quantitez irrationelles negatives. Siyy =

2ax! — aaxx, les racines seronty= mais ( art. 1. no. 66.) Vzax} aaxx=xVzax

*72ax an
Vaa 2ax + xx=a—x ; donc y
-

=
Si xx = ax + bb, les racines seront

= x = at VI aa+ bb: car en transposant, l'on a xx — ax=bb: : or si l'on extrait ( art. 1, no. 62 ) la racine du premier membre xx— ax, on trouvera qu'il y manque + aa, afin qu'il soit quarré; c'est pourquoi en ajoutant de part & d'autre

I aa= l'on aura xx

=

aa, &

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2

I

4

I

aa,

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bb: mais Vxx - ax + aa = (art. I. no. 62 ) * -a,

, & la racine du second membre ne s'extrait que par le moyen du signe radical ; donc x' 들 añ+V_da+bb ou en transposant xs { atvaa + bb. Si les signes

étoient

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