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étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'est aussi parceque les puissances des quantitez égales sont égales, que l'on peut délivrer une équation de quantitez irrationelles qui s'y rencontrent, ce qu'on appelle faire évanouir les signes radicaux : car s'il ne s'y en renconcontre qu'une , aprés l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens ; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui a pour exposant celui du signe radical. Ainli des quantitez irrationelles, cette équation xs Vxx+yy, l'on aura en divisant par a- x,

pour délivrer

XX

.

XX

Vxx+yy, ou en divisant par V** + yo, yxx+3y

x yoy

хх уу

Vxx + yy ,

& en

Xx

- *, & en quarrant chaque membre, l'on aura =aa — 2ax + xx, où il n'y a plus de quantitez irrationelles.

Mais s'il se rencontre deux quantitez irrationelles dans une même équation, op la délivrera de l'une , & ensuite de l'autre , comme on vient de dire. Par exemple, pour

délivrer de quantitez irrationelles, cette équation Vxx + yy +Vaa— 2ax + xx+yy=b, l'on aura en trans, posant , Vaa 2ax + xx + yy=6 quarrant chaque membre, l'on aura aa - 2ax+ xx + yy=bb 26Vxx+yy + xx+yy, &en ôtant ce qui se détruit par la réduction & transpolant, il vient 26xx+yy abb aa+2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx+4bbyy=6+ 2aabb +at+4abbx— 4.2x + 4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationelles.

AXIOME II I. 25.

O n peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe , une autre quantité égale incomplexe , ou complexe, ce qu'on appelle subfitucr:

g

C'est par le moyen de cet Axiome que l'on réduit plus

. sieurs équations à une seule, & que l'on en fait évanouir les lettres

que l'on veut, pourvu que chacune de ces lettres, ou quelques unes de leurs puissances se trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la Méthode.

26. On choisit une des équations (c'est ordinairement la plus simple ) & l'on met seule ( Axio. 1. & les Coroll. ) la lettre qu'on veut faire évanouir, dans un des membres; ( c'est ordinairement dans le premier), & l'om substitue dans les autres équations, en la place de cette lettre, ou de ses puislances , la valeur , ou celle de ses puissances, qui se trouve dans l'autre membre de l'é. quation que l'on a préparée; en sorte que cette lettre ne se trouve plus dans aucune , & l'on a alors une équation de moins. On recommencé de nouveau à choisir la plus simple des équations resultantes, & l'on met seule dans le premier membre , la lettre qu'on veut faire évanouir, & l'on substitue comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On reïtere la même operation jusqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'une aprés l'autre, toutes les lettres que l'on a dessein de faire évanouir,ou jusqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une seule équation. On va éclaircir ceci par des Exemples.

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а.

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a

EXEMPLES.. - SOIENT les trois équations A, B, C, dont on veut faire évanouir les deux lettres x & y. A. xx=yy:

D. x2=bb— 262+ kohe

xz B. *—y=a. E. *— 5+2=a.

b C. 3+y=b. F. az + bz2=bb --- 26+ 27.

G. 222 = 362+ az bb.
Je choisis l'équation pour faire évanouir
C

y, cire y =6-%&en quarrant chaque membre ( parce

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& j'en

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-2, j'ai l'e.

S2aa

que le quarré de y se trouve dans l'équation A , ) j'ai yy =bb-262+2; & mettant dans l'équation A, pour vy

sa valeur 66 262 +5, & dans l'équation B , pour y sa valeur 6-2, j'ai les deux équations D & G, où y ne se trouve plus. Je choisis de nouveau l'équation E pour faire évanouir x, & j'en tire x=a+b-k, & mettant dans l'équation D pour x fa valeur a+b quation F, qui devient par la réduction , & par la trans. position, l'équation G, où x & y ne se trouvent plus.

* 2°. Soient les deux équations aa + 2ax + xx=2YY + zby + bb, & yg + by = ad + ax , d'où il faut faire

yy a évanouir ý. Je remarque que si la seconde équay

' cion étoit multipliée par 2, l'on auroit 2yy + zby + 2ax, où les termes où y se trouve

.

sont les mêmes que dans la premiere ; c'est pourquoi fi l'on met dans la premiere pour 2yy + zby sa valeur + 2aa + 2ax tirée de la seconde, aprés l'avoir multipliée par 2, l'on aura aa + 2ax + xx=212 + 2ax + bb, qui se réduit à xx = aa + bb. Il en est ainsi des autres.

27. Op peut encore par le moyen de cet Axiome faire certains changemens dans une équation en faisant certaines suppositions. Par exemple , si l'on a x'=aab, en supposant ay

== xx ; & mettant cette valeur de x.x dans l'équation x} aab, l'on aura axy=aab, ou xy= ab; en divisant toute l'équation par a.

De même, li l'on a xx= ax+bb, en supposant ac

bb, l'on aura xx=ax+ac ; & si l'on a xx=ax+ ac , en supposant bb=ac, l'on aura xx= ax + lb. Ce qu'on appelle changer un rectangle en quarré, ou un quarré en rectangle. On a souvent besoin de faire ces changemens.

Pour ce qui reste à dire sur les équations : voyez l’Application de l'Algebre à la Geometrie, Section 1. art. 2 & 3.

On trouve dans les Ouvrages de plusieurs Sçavans Geometres, un grand nombre de Theorêmes démontrez sur les raports, proportions, & progressions; mais il

. y manque la Méthode de les démontrer tous par le mê.

>

و

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1

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me principe , qui est ce qu'il y a de plus à desirer tant en cette occasion que dans toutes les autres parties de Mar thematiques.

On pourroit tirer de ce que nous avons dit no. 18, 19 20,& 21, une Méthode pour démontrer tres-facilemene toutes les proprietez des proportions, & des progressions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'est pas affez generale , & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles ; c'est pourquoi je me suis déterminé à prendre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non feulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on se propose de démontrer par l’Algebre dans toutes les parties de Mathematiques Voici le principe.

PRINCIPE. 28. A Pre's avoir nommé les quantitez qui doivent entrer

dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la consequence aussi en équation; & en suivant les trois Axiomes précedens , & leurs Corollaires, on fera en sorte de rendre l'Hypothese femblable à la consequence, & alors le Theorene sera démontré. Et fi les termes de l'équation que renfermera la consequence , se trouvent entierement semblables ; de forte que par la réduction, elle puiffe devenir o=o. Le Theorême sera aussi démontré : car les termes d'une équation ne sçauroient être entierement semblables fans être égaux ,, & ne sçauroient se détruire sans être semblables.

EXPLICATION DU PRINCIP E. UN Theorême contient deux parties, l’Hypothese & la Consequence; l'Hypothese est ce que l'on y suppose; & la Consequence est la verité qu'il s'agit de démontrer.

2o. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypochefe en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aisé de changer en équation: car si l'ona, a.b:: 6. d. l'on aura (no. 11.)

1°.

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lij b:

=r-d, si la proportion est arithmetique , & í rá, fi la proportion est geometrique, puisque proportion n'est autre chose que l'égalité de deux ra. ports. 3°. Si l'Hypothese ne' renferme ni équation ni

pro: portion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prises arbitrairement, & l'on aura parce moyen des équations, comme on verra par ces Exemples.

4". On tirera de l'Hypothele autant d'équations qu'on pourra : car cela ne peut que faciliter les moyens de ren. dre l'Hypothese semblable à la Consequence.

Lorsqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez touchant les grandeurs inégales', & touchant les raports inégaux, l'on exprimêra l'Hypothese , & la consequena ce par le moyen du signe > , ou <, en cette sorte a> ou<b, > ou

ou <ă, & on se servira de ces expressions , que l'on pourroit appelfer inégalitez, comme fi c'étoient des équations: car il est clair qu'on peut ajou

soustraire , multiplier, & diviser les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales , les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puissances, en extraire les racines ; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, sans que le membre le plus grand cesse d'être le plus grand ; de sorte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence, ou la Consequence semblable à l'Hypothese, que si c'étoit des équations, & de démontrer par consequent toutes les proprietez des raports inégaux, de la même maniere que celles des raports égaux.

Ce qu'on dira dans la suite des raports & des tions, le doit entendre des raports & proportions geome. triques, à moins qu'on n'avertisse que c'est des raports & proportions arithmetiques qu'on veut parler.

ter,

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& des propor

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