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BRARIES

1019449, dont on n'a pas pris la différence, le troisieme : & trouvez le quatrieme, ainsi qu'il fuit.

100000: 31439:: 1019449: 320504.

Ajoutez à ce quatrieme terme 320504, le nombre 914150, dont on a pris la différence avec fon précédent, la fomme 1234654, eft ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an pendant 36 ans.

I

Pour entendre la raifon fur laquelle cette méthode eft fondée l'on doit faire attention que la différence 31439, eft ce qu'il faudroit prêter pour recevoir 100000 livres au bout de 16 ans, puifque le nombre 882711 livres fait recevoir 100000 livres par an pendant 15 ans, & que 914150 livres les fait recevoir pendant 16 ans : donc puifque la fomme 31439 est devenue 100000 livres au bout de 16 ans, y compris le capital, les intérêts, & les intérêts des intérêts ; au bout du même tems, le quatrieme terme 320504, fera devenu 1019449 livres, qui eft alors fuffifant pour faire recevoir 100000 livres par an pendant 20 ans : mais au quatrieme terme 320504, on a ajouté le prêt 914150 qui fait recevoir 100000 livres par an pendant les 16 premieres années, tandis qu'on ne touche rien

fur le prêt ou portion 320504 livres, afin qu'il fe trouve alors fuffifant pour faire recevoir 100000 livres pendant les 20 autres années qui manquent jufqu'à 36 ans.

PROBLEME IV.

Connoiffant un prêt p qu'on veut acquitter, capital & intérêt, dans un tems donné, & en autant de payemens égaux r, un à la fin de chaque année, trouver la valeur des payemens.

Nous avons vu au troisieme Problême que pour recevoir r à la fin de chaque année pendant un tems donné, l'on avoit p=6,

ar

a+69

zaar+abr

vouloit recevoir r une fois; p=aa+2ab+bb?

fi on

fi on

3a3r+zaabr+abbr

vouloit recevoir r deux fois; p=+3aab+3abb+b3 9 fi on vouloit recevoir r trois fois, &c. Là on connoiffoit la valeur des payemens égaux r, & l'on cherchoit le prêt p qui devoit les procurer; ici on connoît le prêt p, & on demande la valeur des payemens égaux r. En inverfant les formules précédentes, l'on aura r= pour aap + 2 abp + b b p payer en un feul payement; r= zaa+ab pour payer en deux payemens égaux ; g_a3 p + 3 a abp + 3 a b b p+b3 p pour payer en trois paye

3a3+3 a ab abb

ap+bp

a

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mens égaux, &c. Décompofant une de ces va

leurs, par exemple, la derniere, l'on a r=1x a3+3aab+3abb+b3

a,

3aa+zab+bb

REGLE.

Ce qui montre que pour avoir la valeur des payemens, il faut élever le denier de l'intérêt & le denier de l'intérêt avec l'intérêt a+b, à autant de degrés qu'il doit y avoir de payemens; multiplier le prêt p par la puissance du denier de l'intérêt avec l'intérêt a+b, & divifer ce produit par celui qu'on fera en multipliant le denier de l'intérêt a par le quotient qu'on a en divifant par l'intérêt b la différence des puissances de a & de a+b. Car on doit remarquer, comme ci-devant, que le dénominateur 3 a a+ 3 ab+bb de la derniere fraction, eft le quotient que donne la différence 3aab+3abb+b' des troifiemes puiffances de a & de a+b, en la divifant par b.

EXEMPLE.

Soit le denier de l'intérêt a=20, l'intérêt b=1, le prêt p=100 liv. ; & l'on veut payer intérêt & capital en quatre payemens égaux.

Faites les quatriemes puiffances de a=20, & de a+b=21; vous aurez a* = 160000 & a+b* =194481: multipliez cette derniere puiffance par le prêt p=100, pour avoir le dividende

19448100; ôtez 160000 de 194481, pour avoir le reste 34481, qu'il faut diviser par l'intérêt, mais parce que b= = 1 le reste 34481 eft lui-même le quotient: multipliez-le par a= 20; le produit 689620, est le diviseur par lequel divifant le produit ci-deffus 19448100, l'on aura pour quotient 28 liv. 4 f. o d. qui est la valeur de chacun des quatre payemens égaux.

C'est par ce principe, qu'on a calculé la quatrieme Table; elle montre la valeur des payemens égaux felon le nombre qu'il doit y en avoir pour acquitter un prêt de 100 livres. Ainfi celui qui prête 100 livres, & qui veut en être payé capital & intérêt en cinq payemens égaux, doit recevoir 23 liv. 2 f. o d. à la fin de chaque année, fi les intérêts font comptés fur le pied du denier 20; s'il vouloit être payé en dix payemens égaux, les intérêts fur le pied du denier 16, il devroit recevoir à la fin de chaque année 13 liv. 15 f.o d. & ainfi des autres,

On trouve dans la Table tel nombre de payemens égaux qu'on veut, depuis 1 jufqu'à 50, d'année en année, après quoi ils ne font plus que de cinq en cinq ans jusqu'à 100 ans; ceux qui voudront les avoir d'année en année, il leur fera facile par le moyen des différences.

Les

ans,

Les personnes qui ont de la peine à saisir le vrai d'un principe, diront, fuivant l'exemple cideffus, que celui qui auroit prêté 100 livres, ne fe trouveroit que 12 livres 16 f. de bénéfice au bout des quatre ans, n'ayant reçu que quatre fois 28 liv. 4 f. & que 100 livres au bout de quatre devroient avoir rapporté 20 livres. Mais qu'on faffe attention que le prêteur reçoit une partie de fon capital à la fin de la premiere année, & que le débiteur ne doit plus payer aucun intérêt pour cette partie pendant les trois autres années. Il en eft de même des parties du capital que le prêteur reçoit à la fin de la feconde & de la troisieme année. Le détail fuivant le fera peut-être mieux entendre.

100 liv. of.od. Fonds qui travaille pendant la premiere année.

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៩។

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2

Somme due à la fin de la troisieme année.

4

Troisieme payement.

26

17

2

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6 10

Refte ou fonds qui travaille pendant la quatrieme année.
Intérêts dûs à la fin de la quatrieme année.

Somme due à la fin de la quatrieme année, qui fait juste ce
qu'il faut pour le quatrieme payement.

Si on veut acquitter une autre fomme quel

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