termination de ces raports est par conféquent un des objets les plus naturels de l'Analyse de Descartes. Penfer autrement ce seroit ne point connoître toute l'étenduë de la Méthode des Indéterminées, découverte la plus importante qu'ait fait en Géométrie ce Philosophe profond, l'Ornement & de notre nation, & de son siècle, qui osa le premier ouvrir au commun des hommes le chemin de la verité prefqu'inconnu, & peu frayé jusqu'alors, à qui par - là toutes les Sciences ont eu à la fois obligation, dont toutes les pensées ont été fécondes, dont les fautes mêmes ont été celles d'un grand homme.

Les idées que je viens de dévelop. per s'étoient déja présentées à moi il ya quelques années, & ce fut à peu près dans ce tems que je commençai la lecture de l'Enumeration des Lignes du troisième Ordre par M. Nelton. Ce Géométre, dont tous les Ouvrages portent un caractere singulier de sublimité, paroît en particulier dans celui-ci s'être élevé à une hauteur immenfe, à laquelle tout autre génie inoms pénétrant, & moins fort que le sien auroit tenté vainement d'atteindre: mais la route qu'il a tenue dans une entreprise si difficile se dérobe aux yeux de ceux qui apperçoivent avec étonnement le degré d'élévation au quel il est parvenu. On doit ceperdant en excepter quelques legeres traces qu'il a eu soin de laisser sur son paffage aux endroits qui avoient mérité qu'il s'y arrêtât plus long-tems. Ces endroits au reste sont presque toujours assez distans les uns des autres. Si l'on se propose donc de fuivre la même carriere, on est obligé de se guider foi-même dans de longs intervales; &, lorsqu'on essaye de le faire, on trouve bientôt qu'il n'est guére poffible d'y réussir qu'à l'aide de l'Analyse de Descartes, portée même à un degré de perfection que le seul M. Newton paroît avoir connu.

Je fus convaincu de cette verité par ma propre expérience. Le defsein que j'avois conçu de suppléer, s'il m'étoit possible, les preuves qui manquent dans le Traité de M. Newton m'engagea insensiblement à exa miner de plus près qu'on n'avoit fait encore la nature, & les proprietés des Equations Algébriques; je me servis des Indéterminées pour transformer ces Equations de differentes manieres nouvelles; je tirai enfin de la confrderation de semblables Transformées des conféquences ausquelles le plus souvent il étoit difficile de prévoirque cette confideration pourroit s'étendre.

Mais fr ce ne fut qu'à ce prix que je pus parvenir aux Démonftrations que je cherchois principalement, d'un autre côté l'utilité de mon tra vail ne se borna pas au feul avantage de les avoir trouvées. En effet les premieres vûës que ce travail m'a voit fournies, m'ont fait aussi decouvrir depuis un grand nombre d'ufages inconnus jusqu'à présent, aufquels l'Analyse de Descartes peut être employée avec plus de succès que le Calcul Differentiel. L'Ouvrage que je mets au jour a furtout pour objet d'expliquer & de démontrer tous ces nouveaux usages, & à cet égard il peut être regardé comme l'extenfion des penfées de deux grands hommes qui, si l'on hésite encore à accorder à l'un d'eux la superiorité sur l'autre, incontestablement au moins ont été

Fun & l'autre les premiers entre tous leurs contemporains.

Cet Ouvrage sera divisé en trois Sections.

La premiere qui aura peu d'éten duë, contiendra une Méthode pour trouver les Centres généraux des Lignes Géométriques de tous les. Ordres. Cette Méthode eft, autant que je peux le sçavoir, la seule qui ait éré donnée jusqu'ici pour une Effection femblable. Cependant, si je l'ai mise à la tête de mon Livre, ce n'est point par rapport à sa nouveauté, & ce n'eft pas non plus que l'invention des Centres soit nécessaire pour la Solution des Problêmes qu'on trouvera dans les Sections suivantes. La seule raison qui m'a porté à commencer par cette Mé thode c'est que la démonstration que j'en donne employe à la fois la plus grande partie ou des Principes ou des Transformations dont je fais usage dans tout le reste de l'Ouvrage, & que par là elle est très-propre à faire appercevoir comme d'un coup d'œil la fuire d'Axiomes, ou de Pratiques faciles qui doit servir comme de Baze à toutes les verités que je me propose de démontrer.

Dans la seconde Section j'expofe mes Principes dans un plus grand jour, & je décris plus au long les differentes Transformations que j'ai imaginées pour parvenir à faire connoître les Affections principales des Lignes Géométriques. Je découvre ensuite une Analogie finguliere entre le résultat de la plupart de mes Transformations, && celui des Differentiations ordinaires, & cette Analogie me sert à abreger, & à faciliter beaucoup la Pratique de mes propres Régles.

Avec ces fecours j'enseigne à dé terminer tout ce qui concerne les Branches Infinies qui peuvent se rencontrer dans les Lignes Géométriques, soit que la derniere direction de ces Branches doive être la même que celle des Ordonnées, soit qu'elle doi. ve être differente, soit qu'en ce cas, & supposant de plus les Branches Hyperboliques, l'Assymptote de ces Bran ches doive passer par l'Origine, soit qu'elle doive en être plus ou moins éloignée. J'enseigne de même à déterminer à tous égards tous les Points Simples, ou Multiples, Ordinaires ou Singuliers qui peuvent se rencon.