PREFACE. R Ien ne fatisfait davantage dans l'étude de la Géométrie que de découvrir de nouvelles verités, fur tout de ces verités fingulieres que les propofitions élémentaires d'où elles font déduites n'auroient point d'abord paru renfermer: mais il n'eft pas moins utile, & il eft fouvent auffi difficile de rappeller à leurs vrais principes des connoiffances acquifes par des voyes éloignées ou peu directes; il est même prefqu'impoffible qu'un pareil travail ne conduife à des découvertes particulieres aufquelles on ne feroit point parvenu par d'autres moyens. La clarté, & la fimplicité forment en effet le premier caractere des vrais principes fur lefquels les démonftrations mathematiques doivent être fondées, & par là ces principes nous donnent la facilité d'appercevoir comme d'un coup d'œil l'étendue précise des conclufions que nous en tirons; ils font d'ailleurs néceffairement en petit nombre, ce qui fait que nous faififfons aifément les rapports qu'ont entr'elles toutes les propofitions qui en dépendent, enfin, puifqu'ils ont immediatement leur fource dans la naturé de leur objet, ils font auffi par cette raison d'une fécondité qui remplit comme d'elle-même les vuides que laifferoient des verités détachées, qu'on pourroit devoir à des principes differens: fécondité d'où naissent naturellement ces chaînes non interrompues de conféquences qui font feu les capables de compofer un verita ble corps de fcience. Plus ces réfléxions paroîtront fra pantes, plus auffi on devra s'étonner de ce qu'on n'a point encore effayé de fe paffer autant qu'il feroit poffible du Calcul Differentiel dans la recherche des Proprietés, ou Affections des Lignes Géométriques. La confideration des Equations Algébriques de Degrés plus ou moins élevés fait d'un côté l'objet précis de l'Analyfe de Defcartes. Si d'ailleurs les Lignes Géométriques font nommées Géométriques, fi on les diftingue en des Ordres differens, c'eft en tant qu'elles font définies par des Equations. 11 paroît donc fuivre de-là que c'eft l'Analyfe de Defcartes, & non celle des Infiniment Petits qui devroit fournir les moyens principaux, & les plus naturels de découvrir les proprietés de ces Lignes. J'avouerai cependant que, par la nature même de l'Analyfe de Descartes, l'ufage qu'on en peut faire dans la recherche dont je parle eft néceffairement borné. Entrera- t'il des expreffions Differentielles dans les raports donnés d'un Problême, ou pour ra-t'il entrer de femblables expreffrons dans les raports que la Solution de ce Problême doit déterminer ? par exemple,s'agira-t'il de quelque Effection fur des Courbes Mécaniques, ou bien faudra-t'il affigner la valeur de l'Arc, ou de l'Aire d'une Courbe même Géométrique? ces deux cas, qui font les feuls où l'illuftre M. Newton ait employé le Calcul des Infinimens Petits, demanderont en effet qu'on ait néceffairement recours aux Equations Differentielles, & qu'on fupplée par la au peu d'étendue des Equations ordinaires; car j'évite de dire au défaut de l'Analyfe ordinaire, parce qu'il feroit injufte de reprocher à une Méthode qu'elle ne donne pas les moyens de connoître ce que fa nature ne permet pas qu'elle faffe découvrir. Mais il n'en eft pas ainfi des rap ports que peuvent avoir les Paramêtres des Lignes Géométriques avec les distances de leur Origine à leur Points d'Infléxion, ou de Rebrouffement, ou plus généralement à tous leurs Points Singuliers, ou Multiples, ou encore aux Affymptotes de leurs differentes Branches Infinies; il n'en eft pas non plus de même du raport des Abfciffes avec les Soutangentes des Points correfpondans Simples, ou Multiples, Ordinaires, ou Singuliers, ni enfin de celui que les Paramêtres de la Courbe, & le Sinus de l'Angle de fes Coordonnées ont aux Sinus des Angles que les dernieres directions des Branches Infinies peuvent former avec ces Coordonnées. Au contraire dans tous les raports de ce genre l'un des Termes doit néceffairement être exprimable Algébriquement par l'autre, & la dé |