Enfin le nombre 2 & tous les nombres qui ne feront marqués que 'd'un point étant mis de fuite & par ordre dans une Table, on aura tous les nombres primitifs jusqu'au nombre donné 1000.

Cette Table fuffira pour trouver tous les divifeurs de tous les nombres jufqu'à 1000000 carré de 1000.

TABLE DES NOMBRES PRIMITIFS
depuis o jufqu'à 1000.

2

I 59 139 233 337 439 557 653|769|883 61149 239 347 443 563 659 773 887 367 151 241 349 449 569 661 787 907 S 71 157 251 353 457 571 673 797 911 773 163 257359461 577 677 809919 79 167 263 367 463 587 683 811923 13 83 173 269 373467593691 821 929 1789 179 271 379 479 599 701 823937 19 97 181 277 383 487 601 709 827 941 23 101 191 281 389 491 607 719 829 947 29 103 193 283 397 499 613 727 839 953 31 107 197 293 401 503 617 733 853 967 37 109 199 307 409 509619 739 857 971 41 113 211311419521 631 743 859 977 43 127 223 313 421 523 641 751 863 983 47 131 227 317 431541643 757 877 991 |53| 137 | 229 | 331433547 647 761 881 997

On trouvera donc 170 nombres primitifs entre o & 1000. La conftruction de cette Table fera la feule démonftration de cette opération.

91 Une quantité quelconque eft égale au produit de tous fes divifeurs primitifs; par exemple 210=2×3×5×7.

Car ab=axb, ab2= a × b× b, a’b’— axaxaxbxb; 3a’b=3xaxaxb; 6a'b'=2×3 xaxaxbxb.

Mais ces divifeurs primitifs d'une quantité quelconque ne font pas les feuls divifeurs de cette quantité: les produits de chacun de ces divifeurs par chacun des autres & par leurs produits fous toutes les combimaisons possibles feront encore aliquotes ou divifeurs de la quantité

propofée. Car 1, a, b, ab, c, ac, be, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bed, abcd feront tous diviseurs de la quantité abcd.

92 Pour trouver tous les divifeurs d'une quantité numérique ou algébrique propofée.

On la divifera fucceffivement par chacun de fes divifeurs primitifs, en prenant le quotient de chacune de ces divifions pour le dividende de la division suivante, & pofant à part chacun de ces diviseurs primitifs, on multipliera fucceffivement chacun d'eux par chacun de ceux qui le précedent, & par leurs produits.

Par exemple, foit propofé d'une part le nombre 30030, & de l'autre la grandeur algébrique abcdfg.

Pour plus de briéveté, nous fuppoferons ces deux quantités égales, & chacun de leurs divifeurs primitifs égaux de part & d'autre.

Pofant d'abord l'unité vis-à-vis le dividende ou la quantité propofée 30030=abcdfg, le quotient de cette quantité par l'unité fera la quantité elle-même.

On examinera enfuite quel eft le diviseur primitif le plus fimple: ainfi remarquant que le nombre 30030 eft pair, & par conféquent divisible par 2, on le divifera par 2 que l'on fupofera égal à quelque diviseur primitif algébrique comme a, & divifant ces deux quantités 30030, abcdfg par 2=a, on aura pour quotient 15015= =bcdfg que l'on écrira vis-à-vis les divifeurs primitifs 2, a, par lefquels on les a divifées.

Les quotiens 15015, bcdfg ne pouvant plus être divifés par 2, a; on les divisera par 3 & b; & les nouveaux quotiens 5005, cdfg écrits visà-vis leurs diviseurs 3 & b ferviront de dividendes pour l'opération suivante, & ainfi de fuite en divifant toujours les nombres par la suite des nombres primitifs, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, & les quantités algébriques par la fuite de leurs produisans ou diviseurs primitifs a, b, c, d, f, g, &c.

Enfuite pofant dabord l'unité, on la multipliera par le premier di-
viseur primitif de chaque quantité, & ces diviseurs ou leurs produits
par l'unité feront pofés au deffous. Multipliant enfuite l'unité & le
premier diviseur primitif par le fecond, on aura deux termes dans cha-
cune des deux quantités, on multipliera l'unité, chacun des deux pre-
miers diviseurs, & leur produit par le troifiéme diviseur, & les quatre
termes qui viendront de cette multiplication feront écrits audeffous des
précedens, & continuant ainfi à multiplier chacun des divifeurs fui-
vans par chacun des précedens & leurs produits, on aura tous les divi-
feurs de la quantité numérique ou algébrique propofée.

Ainfi tous les diviseurs de 30030 & de abcdfg sont

1o. Tout produit d'un divifeur primitif d'une quantité par un ou
plufieurs autres divifeurs primitifs de la même quantité, eft néceffaire-
ment divifeur de cette quantité: car chacun de ces produits n'eft com-
pofé que des divifeurs de la quantité propofée, & par conféquent tout
produit de ces divifeurs primitifs qui ne furpaffera pas cette quantité,
la divifera exactement. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

2o. Les produits trouvés par l'opération font les feuls divifeurs pof-
fibles de la quantité propofée : car chacun des divifeurs primitifs
a été multiplié par tous les autres & par leurs produits; par conféquent

toute autre grandeur qui n'est pas comprise dans la lifte des divifeurs trouvés, comme mn, ou nq, a'b', b'c", &c. fera necessairemnt compofée de quelque divifeur primitif m, n, q, &c. différent de ceux qui forment la grandeur abcdfg propofée, ou de quelque puiffance a', b', c", &c. des divifeurs primitifs a, b, c, &c. de abcdfg, qui ne divife pas ce même produit abcdfg: donc toute autre grandeur né divisera pas la quantité proposée. Ce qu'il falloit 2o. démontrer.

93 Si fans vouloir fe donner la peine de chercher tous ces divifeurs, on fe contentoit d'en fçavoir le nombre. Dans ce cas après avoir trouvé tous les diviseurs primitifs, on posera à part le nombre 2 pour chacun de ces diviseurs primitifs inégaux, & lorfqu'il s'en trouvera plufieurs égaux, on ajoutera l'unité à leur nombre, & multipliant ces nombres l'un par l'autre, leur produit fera le nombre des divifeurs de la quantité propofée.

Par exemple fi l'on demande le nombre des divifeurs de la quantiré numérique 10500, ou de la grandeur algébrique a'be'd, on opérera comme ci-devant pour trouver tous leurs divifeurs primitifs.

Comme on peut diviser 10500 par 2 & 5250 par 2, pour ces deux diviseurs égaux, on pofera le nombre 3 = 2+1; 2625 étant divifé par 3, donne 875 qu'on ne peut plus divifer par 3, pour ce diviseur inégal, on pofera le nombre 2; le quotient 875 divifé par 5 donnera 175 qui divifé par 5 donne encore un quotient 35 qu'on peut encore divifer par 5, ainfi 5 fe trouve trois fois divifeur primitif, on posera donc le nombre 4 =3+1; enfin, comme le quotient 7 ne peut être divifé que par 7, le dernier nombre qu'on mettra à part fera le nombre 2, & le produit 3 × 2 × 4×2= 48 fera le nombre des diviseurs de la quantité proposée 10500.

Il est aisé de voir que la même regle aura lieu pour la grandeur

a2bc'd.

Par exemple, on trouvera en fuivant ce principe que la quantité 30300 ou abcdfg, aura 64 divifeurs ou 2 × 2 × 2 × 2×2×2..

DEMONSTRATION.

1°. Le premier divifeur primitif multiplié par l'unité ne donnera qu'un diviseur, le fecond multiplié par l'unité & par le premier en donnera deux, le troifiéme multiplié par l'unité par le premier par le fecond & par le produit des deux premiers en donnera quatre & ainsi de fuite, c'est-à-dire que le produit de chaque nouveau diviseur primitif, par les termes trouvés donnera autant de termes qu'on en a déja, & doublera par conféquent le nombre de ces termes. Donc pour chaque diviseur primitif inégal, ou doublera le nombre des divifeurs déja trouvés. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

2o. Mais lors qu'un diviseur primitif fera répeté, comme en le multipliant par les termes déja trouvés, on n'aura de nouveaux produits qu'à commencer au produit de l'unité par le diviseur primitif qui précede immédiatement & qui eft égal à celui par lequel on opere, on n'aura donc que la moitié du nombre des diviseurs qu'on auroit eu en multipliant par un diviseur primitif inégal. Donc on pofera le nombre 3 dans la fuite des grandeurs dont le produit doit indiquer le nombre des diviseurs demandé lorsque l'on aura deux diviseurs primitifs égaux ; on y fera entrer le nombre 4 quand on aura trois diviseurs primitifs égaux ; enfin quand le même divifeur primitif se trouvera n fois, on y fera entrer n+1. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

94 Lorfque plufieurs quantités ne feront pas primitives entre elles, comme 48, 120, 168, ou 6a1b, 2a'b', 4a'b', on pourra les diviser fans refte par une même quantité, comme 2, 3, 4, ou 2, b, a', & ce diviseur exact fera nommé divifeur commun de ces grandeurs.

Ainfi les nombres 2, 3, 4, par lefquels on peut divifer 48, 120, 168, font les diviseurs communs de ces nombres : de même les quan tités 2, a'b, font les divifeurs communs de 6ab, 2a'b', 4a3b3. Car en divifant les nombres 48, 120, 168, par 2, on aura les quotiens exacts 24, 60, 84, qu'on pourra diviser par 3, ce qui donnera les nombres entiers 8, 20, 28, enfin comme ces nombres ne font pas encore primitifs entre eux, & qu'ils peuvent être divifés par 4, cette derniere divifion donnera les quotiens exacts 2, 5, 7, qui n'ont plus de divifeur commun & qui font primitifs.