les quotiens 3a2, ab, 2b3, n'aïant plus de diviseur commun font

primitifs entre eux.

95 Si en divifant deux ou plufieurs quantités par un diviseur commun, les quotiens font primitifs entre eux, alors ce divifeur s'appelle le plus grand commun divifeur de ces quantités.

Par exemple fi nous divifons les nombres 48, 120, 168 par 24, comme les quotiens 2, 5, 7, n'ont plus de divifeur commun, le nombre 24 fera leur plus grand commun diviseur.

Par la même raison 2ab fera le plus grand commun diviseur des quantités algébriques 6a b, 2a'b', 4a'b'; car en divifant ces quantités par 2a'b, les quotiens za, ab, 26' font primitifs entre eux.

96 Pour trouver le plus grand commun divifeur de deux ou plufieurs quantités numériques ou algébriques propofées.

On cherchera tous leurs diviseurs primitifs communs, & le produit de ces divifeurs fera le plus grand commun divifeur demandé.

Par exemple fi l'on demande le plus grand commun divifeur des trois nombres 840, 2100, 2940.

Comme ces nombres font tous pairs on les divifera par 2, ce qui donnera 420, 1050, 1470, qui peuvent encore être divifés par 2, & dont les quotiens feront 210, 525, 735, qu'on divifera par 3; les quotiens 70, 175, 245, feront divifés par 5, & les résultats 14, 35, 49, aïant encore un divifeur commun 7 par lequel on les divifera, donneront pour quantités primitives entre elles les nombres 2, 5, 7, & le produit 2 × 2×3×5×7=420 fera le plus grand commun divifeur demandé.

On peut fouvent abréger beaucoup cette opération, par exemple reconnoiffant que les nombres propofés font tous multiples de 10, on auroit pû trancher dabord la derniere figure de chacun & regarder cette division comme faite par le diviseur 2 × 5 = 10, & les résultats 84, 210, 294, étant enfuite fucceffivement divifés par 2, par 3, & par 7, auroient donné les mêmes nombres 2, 5, 7, qu'on a trouvés. Si l'on demande le plus grand commun divifeur des deux polinomes algébriques.

En examinant ces polinomes, on reconnoîtra aifément qu'ils peuvent se diviser tous deux exactement par une même quantité a+ 26; & les divifant tous deux par ce divifeur commun a+2b...

Le premier donnera 12cm-4dm+3cn — dn,

Et le fecond 3.cxdx 3cy+dy

Et comme ces quotiens contiennent encore des lettres semblables;. on examinera s'il n'ont pas encore quelque divifeur commun, & trou-vant qu'ils peuvent encore être tous deux exactement divifés par une même quantité 3e-d, on les divifera tous deux par 3c-d.

Le quotient du premier fera

4m+n.

Et celui du fecond

x-y

Et le produit de ces deux divifeurs communs, c'est-à-dire, 3ac-ad+6bc2bd= (a+2b) × (3c-d), fera le plus grand commun diviseur des deux quantités algébriques propofées.

DEMONSTRATION.

Le résultat de cette opération est néceffairement le plus grand commun diviseur des quantités propofées.

Car en divifant par le produit de tous les divifeurs primitifs communs, les quotiens résultans font les mêmes qu'on auroit eu en divifant fucceffivement par chacun de ces divifeurs primitifs communs, & ces. quantités devenues primitives entre elles par l'opération ne peuvent plus avoir de divifeur commun (89); par conféquent le divifeur qui les rend primitives entre elles eft le plus grand commun diviseur poffible de ces quantités. Ce qu'il falloit démontrer.

97 On donne ordinairement une autre méthode de trouver le plus grand. divifeur commun de deux ou plufieurs quantités.

On commence d'abord à chercher le plus grand commun diviseur de deux des quantités propofées, enfuite on cherche le plus grand commun diviseur de ce premier diviseur trouvé, & de la troisième, puis comparant le plus grand commun diviseur trouvé des trois premieres quantités avec la quatriéme on cherche encore leur plus grand com-mun diviseur, en forte qu'on n'opere jamais que fur deux quantités à la fois, & le dernier divifeur trouvé est le plus grand commun diviseurde toutes les quantités propofées..

On trouvera le plus grand commun divifeur de deux quantités en divifant la plus grande par la plus petite, & fi la division se fait exac

tement la plus petite de ces deux quantités fera leur plus grand commun diviseur.

Si la divifion ne fait pas exactement, on divifera la plus petite de ces deux quantités par le refte de la premiere divifion, & fi cette feconde opération donne un quotient exact, le refte de la premiere fera le plus grand commun divifeur demandé.

Enfin continuant à prendre le diviseur & le reste de l'opération précedente pour le dividende & le diviseur actuels, on divisera toujours ainfi la plus grande de ces deux quantités par la plus petite, jusqu'à ce qu'on ait un quotient exact, & alors le divifeur qui aura donné ce quotient, fera le plus grand commun divifeur demandé.

Mais comme l'opération expliquée ci-devant (96) eft plus générale & n'exige prefque jamais que des divifions fimples, nous la croïons préférable à la derniere, comme plus expeditive.

98 Toute grandeur compofée eft le multiple commun de toutes ses aliquotes, c'eft-à-dire de toutes les qnantités qui peuvent la divifer

exactement.

Par exemple 144 eft multiple commun de 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, parce que 144 peut fe divifer exactement par chacun de ces nombres.

De même sabc eft le multiple comme des quantités 5, a, sa, b, 5b, ab, sab, c, sc, ac, sac, bc, 5bc, abc; car on peut divifer exactement 5abc par chacune de ces quantités.

99 Deux ou plufieurs grandeurs peuvent avoir une infinité de multiples communs, & comme on peut toujours multiplier les grandeurs, il est évident que le plus grand multiple commun de deux ou plusieurs grandeurs, eft infini; mais au contraire le plus petit multiple commun de deux ou plusieurs quantités, eft nécessairement une grandeur unique & finie.

Quelquefois on a besoin de connoître le plus petit multiple de deux ou plufieurs quantités; pour y réuffir, on peut s'y prendre de différentes manieres: mais pour découvrir la plus fimple, & en mëme tems donner un exemple de l'utilité de l'Algébre, nous allons chercher par le moïen de ce calcul, ce qui compofe ce plus petit multiple commun.

Suppofons pour cela qu'on demande le plus petit multiple commun des trois quantités abed, b'c', c'df, on voit que le plus petit commun multiple de ces quantités doit être compofé de tous leurs diviseurs primitifs a, b, c, d, f; mais b ne fera pas multiple de b'=bxbxb: de même c ne contiendra pas ccxc; ainfi au lieu de b & de c,

on mettra b3 & c3 dans la fuite des divifeurs primitifs de ces quantités, qui deviendra a, b', c', d, f, & le produit ab'c'df de tous ces divifeurs primitifs, fera le plus petit multiple commun des quantités abcd, b'c', c'df.

100 Par conséquent pour trouver le plus petit multiple commun de deux ou plufieurs quantités, on commencera par chercher tous les divifeurs primitifs de chacune, on multipliera les uns par les autres tous les divifeurs primitifs inégaux, & lorsqu'il s'en trouvera plufieurs égaux dans quelqu'une des quantités propofées, on les fera entrer dans le produit autant de fois qu'ils font produifans dans la quantité qui les contient davantage : le réfultat de cette opération fera le plus petit multiple commun demandé.

Par exemple, fi l'on demande le plus petit multiple commun des quantités 210, 675, 1925, on divifera chacune d'elles en particulier par la fuite des nombres primitifs 2, 3, 5, 7, 11, &c.

On voit que le premier 210= 2 × 3 × 5×7, & que tous fes divifeurs primitifs font inégaux.

Le fecond 675 =3×3×3×5×5 eft compofé de deux diviseurs inégaux dont le premier 3 eft trois fois produifant, & le fecond s deux fois.

Enfin, le troisiéme 1925=5×5×7× 11, eft produit par trois divifeurs primitifs inégaux dont le premier feulement eft deux fois produifant.

pro

Le premier divifeur 2 n'étant point répété ne fera qu'une fois duifant, le fecond divifeur primitif 3 fera pris trois fois parce qu'il eft trois fois divifeur dans 675 : le troifiéme 5 étant deux fois divifeur dans 675 & dans 1925, fera pris deux fois, & les deux derniers divifeurs 7 & 11 qui ne font point répétés, ne feront pris qu'une

fois chacun.

On aura donc 2×3×3×3×5×5×7×11=2×27×25×7×11=103950 pour le plus petit commun multiple des nombres 210, 675, 1925.

DEMONSTRATION.

Pour démontrer la jufteffe de cette opération, il fuffira de faire voir que toute autre quantité plus petite ne fera pas multiple commun des grandeurs propofées, & que toute autre quantité qui en fera multiple, fera plus grande que celle qu'on a trouvée par l'opération. , plus petite que le commun

ab'c'd f

n

1o. Toute quantité telle que multiple ab'c'df, ne fera pas multiple commun des quantités propofées, puisqu'aucun des divifeurs primitifs dont elles font compofées, n'eft divifé par aucune grandeur n : & toute quantité b'c'df, dans laquelle un divifeur quelconque a ne fera pas produifant, ne contiendra pas celle des grandeurs propofées dans laquelle a eft compris : donc toute quantité plus petite que ab'c'df ne fera pas multiple commun des grandeurs abcd, b'c', c'df. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

2°. Au contraire nab'c'df, ou a'b'c'df, c'eft-à-dire, la grandeur ab'c'df multipliée par quelque grandeur n, ou par un des divifeurs primitifs a, fera multiple des grandeurs propofées abcd, b'c', c'df; mais elle fera n fois ou a fois auffi grande que le multiple commun ab'c'df, & par conféquent ne fera pas le plus petit multiple demandé. Ce qu'il falloit 2°.

démontrer.

Donc le commun multiple trouvé par l'opération fera le plus petit multiple poffible commun aux quantités propofées. Ce qu'il falloit

démontrer.

Relativement à la méthode dont il eft parlé ci-deffus (97) pour trouver le plus grand divifeur commun de plufieurs quantités, on donne auffi la maniere fuivante de découvrir le plus petit multiple commun de deux quantités : & lorsqu'on a trouvé ce plus petit multiple commun par rapport aux deux quantités premieres prifes, on cherche le plus petit multiple commun de ce premier résultat & de la troifiéme quantité proposée, & on continue jufqu'à ce qu'on ait operé ainfi fur toutes les quantités propofées. Par ce moïen on n'a jamais que deux quantités à confidérer.

Pour trouver le plus petit multiple commun de deux quantités fuivant cette méthode, on cherche d'abord leur plus grand commua divifeur (97), enfuite on divife l'une des deux quantités propofées par ce plus grand commun divifeur, & multipliant l'autre par le

qua